运筹学 第三章 运输问题

销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3Fra Baidu bibliotek
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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16
销地 产地
A1
A2
A3
2 2 2
B1
3
31 76
5
B2
B3
B4
11
9
4
1 1 1 1
53
21
10
3 3 2 2
2 10 0 0 0 7
8 1 116
3 5 12
20
20
因为任意非基向量均可表示为基向量的唯一线性组 合，因此对于任意空格都能够找到、并且只能找到 唯一的一条闭回路。
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18
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
B2
3
11
3
1
9
76
4
3
6
B3
B4
4
33
10
1
2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
销地
产地
B1
A1
（+）1 3
A2
（-） 3 1
A3
76
当表中的某个检验数小于零时，方案不为最优，需要调整。 方法是：选取所有负检验数中最小的非基变量作为入基变量， 以求尽快实现最优。
（1）确定调整量：例：取 24 ，1 表明增加一个单位的
x运24 输量，可使得总运费减少1。在以 为x2出4 发点的闭回路 中，找出所有偶数顶点的调运量： ，x14 3 x23 1
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二、最优解的判别
判别解的最优性需要：计算检验数。方法有两种
1.闭回路法
闭回路：是在已给出的调运方案的运输表上从一个代表 非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，遇到代表基 变量的填入数字的格可转90度（当然也可以不改变方向） 继续前进，这样继续下去，直至回到出发的那个空格，由此 形成的封闭折线叫做闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ij cij u，i v j
如 11 c11 u1 v1 3 0 2 1
。
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位势法计算检验数：
检验数： ij cij CB B1Pij
cij YPij cij (u1,...,um , v1,...vn )Pij
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31
销地
甲
乙
丙
丁
产量
产地
1
3
7
6
4 5 （0）
3
0
2
0
2
2
4
3
2 2 (-2）
2
3
4
3
8
5 3 （-4）
3
销量 3 （3） 3 （7） 2 （6） 2 （4）
把B1列划去。在剩下的3×3矩阵中再找最小运价，同
理可运费得单价其销他地 的基B本1 可行解B。2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
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13
销地 产地
A1 A2 A3
销量
B1
3
31
7
3 0
B2
11 9
64
6 0
B3
43 12
10
5 4 0
销地 运费单价
B1
产地
A1
3 x11
A2
1 x21
A3
7 x31
销量（吨）
3
B2
11 x12 9 x22 4 x32
6
B3
3 x13 2 x23 10 x33
5
B4
10 x14 8 x24 5 x34
6
产量 （吨）
7 4 9
于是可建立如下的数学模型：
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4
目标函数：MinZ 3x11 11x12 3x13 10x14
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销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量（吨）
3
6
5
6
那么在该例中，应有 3+4-1=6个基变量。
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1.最小元素法
最小元素法的思想是就近供应，即对单位运价最小 的变量分配运输量。
在表上找到单位运价最小的x21，并使x21取尽可能大 的并值，即x21=3,把A1的产量改为1，B1的销量改为0，
3、 从所有负检验数中选择最小者对应空格作为进基变量，
从此点出发作闭回路，确定调整量 ，奇点处增加 ，偶
点处减少 。
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30
例：用表上作业法，求解下面的 运输问题 ：
销地 产地
1 2 3 销量
甲
3 2 4 3
乙
7 4 3 3
丙
6 3 8 2
丁
4 2 5 2
产量
5 2 3
解:用最小元素法确定初始基可行解，如下表所示：
4、重复第二、第三步，直至得到最优解。
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10
一、确定初始基本可行解：
对于有m个产地n个销地的产销平衡问题，有m个关于产量 的约束方程和n个关于销量的约束方程。表面上，共有m+n个 约束方程。
但由于产销平衡，其模型最多只有m+n-1个独立的约束方 程，所以运输问题实际上有m+n-1个基变量。在m×n的产销 平衡表上给出m+n-1个数字格，其相对应的调运量的值即为 基变量的值。
销量
3
B2
11 9 4
6
B3
B4
4 （-）3 3
10
1 （+）2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
销地
产地
B1
A1
（+）1 3
A2
（-） 3 1
A3
76
销量
3
B2
11 9 4
6
B3
B4
4 （-）3 3
10
1 （+）2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
从非基变量 x11出发，找到一个闭回路如上表所示。回路有四个 顶点，除 外x1，1 其余都为基变量。 调整调运量：x11 ，1运费增加了3元； x，13 运1费减少3元
其中 Pij (0,....1,0....1, ,0...0)T
第i个分量
第m+j个分 量
又因为基变量的检验数为0，于是由（m+n-1)个基
变 量的检验数 cij ui v j 0
可解出 (u1,...,um , v1，,...进vn而)计算其他非基变量的检
验数。
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三、改进运输方案的办法——闭回路调整法
则调整量 x24 min(1,3) 1
（2）调整方法：把所有闭回路上为偶数顶点的运输量都减 少这个值，奇数顶点的运输量都增加这个值(见下表)。
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销地 产地
A1 A2 A3 vj
销地 产地
A1 A2 A3
vj
B1
13 31 10 7
2
B2
2 11 19 64
9
B3
43 12 12 10
x14 x24 x34 6
xij 0,i 1,2,3; j 1,2,3,4
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20 20
5
二、一般运输问题数学模型
设有m个产地，分别为 A1 , A2 ,.... Am ;
n 个销地，分别是 B1, B2 ,.... Bn ；
从产地 Ai运往销地 Bj 的单位运价是 cij ，运量 xij si 是产地Ai 的产量；d j 是销地Bj 的销量。
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地 运费单价
B1
B2
B3
B4
产量 （吨）
产地
A1
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
销量（吨）
3
4
10
5
9
6
5
6
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3
解：从表中可知：总产量 = 总销量。这是一个产销平衡的
运输问题。假设 表xi示j 从产地 运往i销地 的产j
品数量， i 1,2,3; j建立1,2如,3下,4.表格：
表上作业法适用于求解产销平衡的运输问题。（产销不平 衡的问题可转化为平衡问题）
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9
表上作业法 一般步骤：
1、找出初始基本可行解；
2、检查各非基变量的检验数，是否达到最优性条件，若达到，则得最优 解；否则 转第三步；
3、确定出基变量、进基变量，用闭回路方法进行调整，得到新的基可 行解；
否则产销不平衡。
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7
说明：从上述模型可以看出：
（1）这是一个线性规划的模型； （2）变量有m×n个； （3）约束条件有 m+n 个； （4）系数矩阵非常稀疏；系数矩阵的秩一般为（m+n-1),
而非m+n 。
若直接用单纯形法求解，显然单纯形表比较庞大，于是在 单纯形法的基础上创建了表上作业法求解运输问题这一特 殊的线性规划问题
销地 产地
A1 A2 A3
B1
03 31 97
B2
2 11 29 64
B3
53 12 12 10
vj
3
9
3
B4
ui
2 10
0
18
-2
35
-5
10
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表上作业法的一般步骤：
1、用最小元素法或Vogel法确定初始基可行解；
2、判断是否为最优：用闭回路法或位势法计算空格检验数， 若所有检验数均非负，则已得到最优解；否则进入第三步；
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
6
对上表用位势法进行检验如下表，可知已达最优解。
运筹学
OPERATIONS RESEARCH
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1
第三章 运输问题
运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及应用
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§1 运输问题的典例及数学模型
一、 引例
某公司从三个产地 A，1 A，2 将A3产品运往四个销地 ，B1 B2
B，3 B，4 各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
，运x23费增1 加2元； ，运费x减21 少11元
调整后，总运费增加：3-3+2-1=1元。
说明如果让 x1为1 基变量，运费就会增加，其增加值1作为
检验数，
的x11
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闭回路法计算检验数：就是对于代表非基变量的空格
（其调运量为零），把它的调运量调整为1，由于产销平衡的 要求,必须对这个空格的闭回路中的各顶点的调运量加上或减 少1。最后计算出由这些变化给整个运输方案的总运输费带来 的变化。以这个变化的数值，作为各空格（非基变量）的检验 数。
B4
产量
3
7
10
30
4 10
8
3
9
5
30
6
20
3
0
20
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应 的是非基变量（取值为零）.
在求初始基本可行解时要注意的一个问题： 当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情 况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。
判别最优解准则：如果所有代表非基变量的空格的检验
数都大于等于零，则已求得最优解；否则继续改进找出最优解。
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2.位势法
（1）对运输表上的每一行赋予一个数值ui ，对
每一列赋予一个数值 ，v j称为行（列)位势。
（2）行（列)位势的数值是由基变量的检验数所决 定的，即基变量要满足：
ij cij ui v j 0
x21 9x22 2x23 8x24
约束条件：
7x31 4x32 10x33 5x34 x11 x12 x13 x14 7
产量约束
x21 x22 x23 x24 4
x31 x32 x33 x34 9
x11 x21 x31 3
销量约束
x12 x22 x32 6 x13 x23 x33 5
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
则该运输问题的模型如下：
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6
mn
Min f
cij xij
i 1 j 1
m
s.t
xij d j
j 1,...,n
i 1
n
xij si j 1
i 1,...m
xij 0, i 1,...m,
说明：当
m
n
si d j
i1
j 1
j 1,...,n
时，称其为产销平衡的运输问题，
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
销地 产地
A1 A2 A3
vj
B1
13 31 10 7
2
B2
2 11 19 64
9
B3
43 12 12 10
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
我们先给u1赋个任意数值，不妨设u1=0，则从基 变量x11的检验数求得 v3=c13-u1=3-0=3 。
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§2 运输问题的表上作业法
从第一节的运输问题的数学模型可知，运输问题实际上 也属于线性规划，但由于运输问题的特殊性（变量个数较多， 系数矩阵的特点），如果用单纯形表格方法迭代，计算量很 大。今天介绍的 “表上作业法”，是针对运输问题的特殊求解 方法，实质还是单纯形法，但减少了计算量。
非基变量 x的ij检验数就可以用公式
求出。
ij cij ui v j
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销地 产地
A1 A2 A3
销量
销地 产地
A1 A2 A3
vj
B1
B2
3
11
3
1
9
76
4
3
6
B3
B4
4
33
10
1
2
8
10 3
5
5
6
产量 7 4 9
B1
13 31 10 7
2
B2
2 11 19 64
9
B3
43 12 12 10