动态圆模型

“动态圆”模型的应用
带电粒子在磁场中的运动经常涉及动态圆。

常见的动态圆模型有两种，往往都还涉及边界（极值）问题。

模型1如图1，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆。

模型2如图2，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。

使用时应注意各圆的绕向。

例1．如图所示，在圆形区域内存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束速率各不相同的质子从A点沿圆形磁场的半径方向射入磁场。

关于质子在该磁场内的运动情况，下列说法正确的是（）
A．运动时间越长的，其轨迹越长
B．运动时间越长的，其射出磁场时的速率越大
C．运动时间越长的，其轨迹对应的圆心角越大
D．运动时间越长的，其速度方向的偏转角越大
解析：该题考查动态圆的模型1．
质子沿半径方向射入，沿另一半径方向射出，轨迹半径r＝，偏转角等于圆心角θ＝
2arctan ＝2arctan ，偏转时间t＝＝·arctan ．由此可得偏转时间越长，圆心角越大，运动速率越小，选项C．D正确．
答案：CD
例2．如图甲所示，宽h＝2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里。

现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率，从平面内的各个方向射入磁场。

若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm，不计粒子的重力，则（）
A．右边界：－4 cm＜y＜4 cm内有粒子射出
B．右边界：y＞4 cm和y＜－4 cm内有粒子射出
C．左边界：y＞8 cm内有粒子射出
D．左边界：0＜y＜8 cm内有粒子射出
解析：该题考查动态圆的模型2。

作出如图乙所示的示意图，由几何关系可得：临界点距x轴的间距y＝＝4 cm。

答案：AD
例3．（2010全国I，第26题）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。

已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。

求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

解析：涉及动态圆的模型2。

（1）粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有，解得
由于，则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得．
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。

角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°；角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。

所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°。

（3）在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三角形中两个
相等的腰为，而它的高是，半径与y轴的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。

所用时间为。

所以从粒子发射到全部离开所用时间为。

有些时候，动态圆问题可以适当结合解析几何，难度陡增。

例4．（2009海南，第16题）如图，ABCD是边长为的正方形。

质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。

不计重力，求：
（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：涉及动态圆的模型2，但要做适当变化，可逆向思考。

（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。

令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。

电子所受到的磁场的作用力
①
该力应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。

圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上。

依题意，圆心在A．C连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为按照牛顿定律有
②
联立①②两式即得：③
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A
点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。

因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了决定该磁场区域的另一边界，我们
来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。

该电子的运动轨迹如右图所示。

图中，圆AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由③式知，圆弧AP的半径仍为，在A为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为：
④；⑤
由④⑤消去参数得：⑥
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周AFC，
它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。

因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以B和D为圆心、为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为
⑦
例5．（2011浙江，高考样卷，第24题）有一等腰直角三角形区域，直角边长为。

在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为的匀强磁场。

一束质量为、电荷量为，速度
范围在之间的带负电粒子从中点垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图所示。

重力不计，求：
（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑。

（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系。

（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系。

（4）荧光屏上光斑的分布区域。

解析：涉及动态圆的模型1。

根据带电粒子在磁场中运动规律，可得：，求出：1
在荧光屏处，对应的半径为，粒子速度为：2
故小于的带电粒子不能在荧光屏上留下痕迹。

当半径满足时，粒子运动时间为，当半径满足时，由图可知，
即得：
求出：3
当半径大于时，由图可知：，则可求出：，得：4
如图，根据几何关系可知：5
得：6
由该式可知，这是一条抛物线。

在磁场区域内，为了求出荧光屏最远处亮点坐标。

如图可得：
求出相切位置对应的半径，
对应的最远坐标为：7
对应的速度：
在磁场区域外，最远处的坐标可以参考图示求出。

先求出最大速度对应的半径：
圆心坐标为，圆方程为，直线方程为解出圆与直线的交点：8
过交点的切线方程为：
当时。

求出，最远处的光斑坐标为：9所以，光斑分布区域为：10接下来，例6中的第（2）问也有动态圆出现。

例6．（2011四川卷第25题）如图所示，正方形绝缘光滑水平台面WXYZ边长=1．8m，
距地面h=0．8m。

平行板电容器的极板CD间距d=0．1m且垂直放置于台面，C板位于边界WX上，D板与边界WZ相交处有一小孔。

电容器外的台面区域内有磁感应强度B=1T、方向竖直向上的匀强磁场。

电荷量q=5×10-13C的微粒静止于W处，在CD间加上恒定电压U=2．5V，板间微粒经电场加速后由D板所开小孔进入磁场（微粒始终不与极板接触），然后由XY边界离开台面。

在微粒离开台面瞬时，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平速度，在微粒落地时恰好与之相遇。

假定微粒在真空中运动，极板间电场视为匀强电场，滑块视为
质点，滑块与地面间的动摩擦因数=0．2，取g=10m/s2。

（1）求微粒在极板间所受电场力的大小并说明两板的极性；
（2）求由XY边界离开台面的微粒的质量范围；
（3）若微粒质量m o=1×10-13kg，求滑块开始运动时所获得的速度。

解析：
（1）由左手定则及微粒的偏转方向可知，该微粒带正电，即C板为正，D板为负；电场力的大小为①；
（2）涉及动态圆中的模型1．
由题意知两个轨迹边界如图所示，由此边界得
②
再由向心力公式得
③
且④
联立②③④式，得该微粒的质量范围：
（3）先将质量m o=1×10-13kg代入③④可得以及，其轨迹如图所示。

由图可知，也即是⑤
设微粒在空中的飞行时间为t,则由运动学公式可知⑥
设滑块滑至与微粒相碰过程中的平均速度为，将其沿YX以及WX方向分解，各自的分速度记为、，根据运动学公式
沿WX方向有⑦
沿YX方向有⑧
由⑤⑥⑦⑧可得以及
根据勾股定理知⑨
把当做该过程中间时刻的瞬时速度，设滑块初速度为，由运动学公式得
⑩
再根据牛顿第二定律知
⑾
联立⑥⑨⑩⑾得
设其方向与YX沿线夹角为，则
，即得。

说明：对于此题的第（3）问，标准答案采用的是正、余弦定理结合的办法，与本文所用方法不同，但结果一致。

物理部分
二、选择题（14～18题为单选题；19～21题为多选题）
14、下列叙述中，符合物理学史的是（）
A、牛顿应用“理想斜面实验”推翻了亚里士多德“力是维持物体运动的原因”的观点
B、牛顿通过研究，建立了万有引力定律
C、牛顿在前人研究的基础上，总结了行星运行的三大定律
D、牛顿曾说“我之所以比别人看得远,是因为我站在巨人的肩膀上”,牛顿所指的巨人
答案：B
15、如图所示，两梯形木块A、B叠放在水平地面上，A、B之间的接触面倾斜．连接A与
天花板之间的细绳沿竖直方向，关于两木块的受力，下列说法正确的是( )
A．A、B之间一定存在摩擦力作用
B．木块A可能受三个力作用
C．木块B可能受到地面的摩擦力作用
D．B受到的地面的支持力一定大于木块B的重力
答案：B
16、足够长的木板质量为m 1，沿水平地面做匀减速运动．t=0时刻，在木板上无初速放一质量为m 2的物块，物块与木板、木板与地面间的动摩擦因数相同．分别用v 1和v 2表示木板和物块的速度，下列反映v 1和v 2变化的图线中正确的是（ ）
，甲、乙两物体的质量分别为
答案：D
试题分析：要使两物体与圆盘不发生相对滑动，圆盘旋转的角速度最大时m 受到沿半径向内的最大静摩擦力和绳子的拉力，M 受到绳子的拉力等于最大静摩擦力，所以有：
l m Mg mg 2ωμμ=+，由此可知D 正确。

考点：本题考查了向心力的分析与计算。

18、如图所示是卫星绕地球运行时变轨前后的两个轨道，A 点是圆形轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的重合点，B 为轨道Ⅱ上的一点，则关于卫星的运动，下列说法中错误的是（ ）
A ．在轨道Ⅱ上经过A 时的速度小于经过
B 时的速度
B ．在轨道Ⅱ上经过A 时的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 时的动能
C ．在轨道Ⅱ上运动的机械能小于在轨道Ⅰ上运动的机械能
D ．在轨道Ⅱ上经过A 时的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 时的加速度 答案：D
19、如图所示，在空间存在竖直向上的匀强电场，质量为m 电量为+q 的物块从A 点由静止
开始下落，加速度为
2
1
g ，下落H 到B 点后与一轻弹簧接触，又下落h 后到达最低点C ．在由A 运动到C 的过程中（空气阻力不计），则（ ） A ．物块机械能减少
2
)
(h H mg +
B ．物块和弹簧组成的系统机械能减少
2
)
(h H mg +
C ．物块在B 点的速度最大
D ．对于系统，重力势能的减少量等于弹性势能与电势能的增加量之和 答案：BD
20、位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如右图所示，ab、
cd分别是正方形两条边中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、
ab上的点。

则下列说法正确的是
A．P、O两点的电势关系为φP＝φO
B．P、Q两点电场强度的大小关系为E Q＜E P
C．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零
D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功
答案：AB
21、如图所示，电阻为r的金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行(导轨电阻忽略不计)，定值电阻R与金属棒构成闭合回路，整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是()
A．ab杆中的电流强度与速率v成正比
B．外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
C．电阻R上产生的电热功率与速率v成正比
D．磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
答案：AD
22、利用图1示装置可以做力学中的许多实验．
（1）以下说法正确的是C ．
A．利用此装置“研究匀变速直线运动”时，必须设法消除小车和木板间的摩擦阻力的影响
B．利用此装置探究“加速度与质量的关系”并用图象法处理数据时，如果画出的a-m 关系图象不是直线，就可确定加速度与质量成反比
C．利用此装置探究“小车与木板之间的动摩擦因数”实验时，不需要将长木板的一端抬高以平衡摩擦力．
（2）甲、乙两同学在同一实验室，各取一套图示的装置放在水平桌面上，小车上放不同质量的砝码，在没有平衡摩擦力的情况下，研究小车与木板之间的动摩擦因数（实验中小车的轮子被锁死，小车只能在长木板上滑动）．实验中对小车及车内砝码研究，根据牛顿第二定律有F-μmg=ma，实验中记录小车的加速度a和小车所受的合外力F，通过图象处理数据．甲、乙两同学分别得到图2中甲、乙两条直线．设甲、乙用的小车及砝码质量分别为m甲、m乙，甲、乙用的小车与木板间的动摩擦因数分别为μ甲、μ乙，由图可知，m甲小于 m乙，μ甲大于μ乙．（填“大于”、“小于”或“等于”）
23、为了测定一节干电池的电动势和内阻，实验室提供了下列器材：
A．待测干电池（电动势1.5V左右，内阻不超过1.5Ω）
B．电流表A1（量程0～2mA，内阻R A1=10Ω）
C．电流表A2（量程0～0.6A，内阻约为0.1Ω）
D．滑动变阻器R1（0～20Ω，10A）
E．滑动变阻器R2（0～100Ω，1A）
F．定值电阻R3=990Ω
G．开关、导线若干
利用以上提供的器材，欲测量该电池的电动势和内阻，请回答以下问题：
（1）为测量方便且测量误差较小，上述滑动变阻器应选用D（填写序号字母）．
（2）在图1所示虚线框内补画出完整的电路原理图．
（3）根据合理的设计电路测量数据，电流表A1的示数记为I1，电流表A2的示数记为I2，某同学测出了6组I1、I2的数据，在图2坐标纸上作出I1和I2的关系图线．根据描绘出的图
点评：正确选择仪器是电学实验的经常考查的考点；本题为测量电源的电动势和内电阻的实验的变形，注意由于没有电压表，本实验中采用改装的方式将表头改装为电压表，再根据原实验的研究方法进行分析研究．
24、如图所示，直角坐标系xoy位于竖直平面内，在﹣3m≤x≤0的区域内有磁感应强度大
小B=4.0×10﹣4T、方向垂直于纸面向里的条形匀强磁场，其左边界与x轴交于P点；在x＞0的区域内有电场强度大小E=4N/C、方向沿y轴正方向的条形匀强电场，其宽度d=2m．一质量m=6.4×10﹣27kg、电荷量q=﹣3.2×10-19C的带电粒子从P点以速度v=4×104m/s，沿与x 轴正方向成α=60°角射入磁场，经电场偏转最终通过x轴
上的Q点（图中未标出），不计粒子重力．求：
（1）带电粒子在磁场中运动时间；
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标．
（2）当电场左边界与y轴重合时Q点的横坐标为5m．
25、如图所示，以A、B和C、D为端点的半径为R=0.9m的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，A、D之间放一水平传送带Ⅰ，B、C之间放一水平传送带Ⅱ，传送带Ⅰ以V1=8m/s 的速度沿图示方向匀速运动，传送带Ⅱ以V2=10m/s的速度沿图示方向匀速运动．现将质量为m=2kg的物块从传送带Ⅰ的右端由静止放上传送带，物块运动第一次到A时恰好能沿半圆轨道滑下．物块与传送带Ⅱ间的动摩擦因数为μ2=0.35，不计物块的大小及传送带与半圆轨道间的间隙，重力加速度g=10m/s2，已知A、D端之间的距离为L=1.0m．求：
（1）物块与传送带Ⅰ间的动摩擦因数μ1；
（2）物块第1次回到D点时的速度；
（3）物块第几次回到D点时的速度达到最大，最大
速度为多大．
代入数据解得：n=4=N
故第4次回到D 点速度达到最大，之后每次都在传送带上匀速
综上分析可知在D 点的最大速度为8m/s
答：（1）物块与传送带Ⅰ间的动摩擦因数是0.45；
（2）物块第1次回到D 点时的速度是4m/s ；
（3）物块第几次回到D 点时的速度达到最大，最大速度为8m/s
选做题：[物理—选修3－5](15分)
(1)(6分)用能量为15 eV 的光子照到某种金属上，能发生光电效应，
测得其光电子的最大初动能为12.45 eV ，则该金属的逸出功为
________ eV.氢原子的能级如图所示，现有一群处于n ＝3能级的氢
原子向低能级跃迁，在辐射出的各种频率的光子中，能使该金属发
生光电效应的频率共有________种．
答案 (1)2.55 2
(2)(9分)如图所示，在固定的光滑水平杆(杆足够长)上，套有一个质
量为m ＝0.5 kg 的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着
一个质量为M ＝1.98 kg 的木块，现有一质量为m 0＝20 g 的子弹以v 0＝100 m/s 的水平速度
射入木块并留在木块中(不计空气阻力和子弹与木块作用的时
间，g 取10 m/s 2)，求：
①圆环、木块和子弹这个系统损失的机械能； ②木块所能达
到的最大高度．
(2)①99 J ②0.01 m
解析①子弹射入木块过程，水平方向动量守恒，则有 m 0v 0＝(m 0＋M)v ，v ＝1m/s (2分) 机械能只在该过程有损失，损失的机械能为
ΔE ＝20021v m －20)(2
1v M m +＝99 J (2分) ②木块(含子弹)在向上摆动过程中，木块(含子弹)和圆环组成的系统水平方向动量守恒，则有： (m 0＋M)v ＝(m 0＋M ＋m)v ' v ′＝0.8 m/s (2分)
根据机械能守恒定律有20)(21v M m +＝20)(2
1v m M m '++＋(m 0＋M)gh (2分) 联立解得h ＝0.01 m (1分)。