截面应力的计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的前提下，剪应力一般都满足要求。
一、矩形截面梁的剪应力*QSz利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为：??；IZb公式中：Q――为横截面上的剪力；*――为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性Sz轴的静矩；IZ――为横截面对中性轴的惯性矩；b――矩形截面宽度。
计算时Q、Sz*均为绝对值代入公式。
当横截面给定时，Q、IZ、b均为确定值，只有静矩Sz*随剪应力计算点在横截面上的位置而变化。
h1hhh2bh24y2 2Sz?A?y?b(?y)?[y?(?y)]?(?y)?(1?2)222248h***bh33Q4y2QSz(1?2) 把上式及Iz?代入??中得到：??122bhhIZb可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘处（y=±0.5h），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：???3Q3QQ???1.52bh2AA由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力*QSz在腹板上距离中性轴任一点K处剪应力为：??；IZb1公式中：b1――腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母d标注的）；* Sz――为横截面上阴影部分面积A*对中性轴的静矩；*QSzmax； ?IZb1工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为：?max*公式中：Szmax――为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。
三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为：?max*QmaxSzQmaxmax???[?] *IZbb(IZ/SZ)感谢您的阅读，祝您生活愉快。
梁横截面上的切应力
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的切应力
在横力弯曲时，梁的横截面上有剪力FS，相应地在横截面上存
在切应力。本节以矩形截面梁为例，对切应力计算公式进行推导，
并对其他几种常用截面梁的切应力计算作简要介绍。
1.1 矩形截面梁横截面上的切应力
1. 横截面上切应力的计算公式
图a所示的简 支梁是一个矩形
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力 工字形截面上的最大切应力可按下式计算：
max
FS Af
式中：FS—横截面上的剪力； Af —腹板的面积。
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
2．圆形截面梁和薄壁圆环形截面梁 圆形截面和薄壁圆环形截面分别如图a、b所示。可以证明，梁 横截面上的最大切应力均发生在中性轴上各点处，并沿中性轴均匀 分布，其值分别为
1.2 其他形状截面梁横截面上的切应力
1. 工字形截面梁
工字形截面由上下翼缘和中 间腹板组成 （图a）。腹板是狭 长矩形，所以腹板上的切应力可 按矩形截面的切应力计算公式进 行计算，最大切应力仍然发生在 中性轴上各点处，并沿中性轴均 匀分布。在腹板与翼缘交接处， 由于翼缘面积对中性轴的静矩仍 然有一定值，所以切应力较大。 腹板上的切应力接近于均匀分布， 如图 b所示。翼缘上的切应力的 数值比腹板上切应力的数值小许 多，一般忽略不计。
A*
Iz
Iz
A*
ydA
M
FSdx Iz
S
* z
F3 bdx bdx
将F1、 F2和F3代入平衡方程，得
M
FSdx Iz
S
* z
M Iz
S
* z
bdx
目录
弯曲应力\梁横截面上的切应力
梁横截面上的应力
2）计算C截面上的最大拉应力和最大压应力。
C截面上的最大拉应力和最大压应力为
tC
M C y2 I
2.5103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
Z
28.8106 P a 28.8MP a
cC
M
B
y 1
Iz
2.5 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
17.0 106 P a 17.0MP a
3）计算B截面上的最大拉应力和最大压应力。
B截面上的最大拉应力和最大压应力为
tB
M
B
y 1
Iz
4 103 N m 5.2 10-2 m 7.6410-6 m 4
27.2 106 P a 27.2MP a
cB
M B y2 Iz
4 103 N m 8.810-2 m 7.6410-6 m4
【例4.17】 求图（a，b)所示T形截面梁的最大拉 应力和最大压应力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且y1=52 mm。
【解】 1）绘制梁的弯矩图。
梁的弯矩图如图（c）所示。 由图可知，梁的最大正弯矩发 生在截面C上，MC=2.5kNm; 最 大负弯矩发生在截面B上，MB= －4kNm。
入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正（拉）
或负（压）。即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉 应力，凹入边的应力为压应力。
（2）横截面上正应力的分布规律和最大正应力 在同一横截面上，弯矩M 和惯性矩Iz 为定值，因此
由公式可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到 中性轴的距离y成正比，当y=0时，σ=0，中性轴上各点处 的正应力为零。中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。离 中性轴最远的上、下边缘y=ymax处正应力最大，一边为最 大拉应力σtmax，另一边为最大压应力σcmax。
截面应力公式
斜截面应力公式是单元体斜截面应力公式σa=（σx＋σy）/2+（σx-σy）cos2а/2-τxysin2а和τa=（σx-σy）sin2a/2+τxycos2а
弯曲应力，又称挠曲应力，挠应力或弯应力。
弯曲应力是指法向应力的变化分量沿厚度上的变化可以是线性的，也可以是非线性的。
其最大值发生在壁厚的表面处，设计时一般取最大值进行强度校核。
壁厚的表面达到屈服极限后，仍能继续提高承载能力，但表面应力不再增加，屈服层由表面向中间扩展。
所以在压力容器中，弯曲应力的危害性要小于相同数值的薄膜应力。
杆件轴向压缩横截面（斜截面）的内力用截面法求解（切、取、代、平截面法求内力的四步），轴向压缩横截面上只有正应力等于该截面的内力除以该横截面的面积，斜截面的应力可以用横截面的应力公式推出，斜截面上应力有正应力和切应力。
把轴向的应力通过变换，换算到斜截面上去的。
如果正截面上只有拉压的话，换算到斜截面的时候，就会同时有拉压和剪切。
截面应力的计算PPT课件
，只是Ip值不同。
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剪应力的计算公式：
1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn
Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
max
Mn Ip
Mn Wp
R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
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圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面系数
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实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
II p
DD44
3322
( (1 1 4
)4
)
=d/D=0
Ip
D4
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两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等
可知：横截面上只有正应力σ，
且大小相等。
FP
s FN
FN
sdA s A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
s 轴心拉压应力公式：
FN
A
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1MPa=106Pa＝1N/mm2
1GPa=109Pa
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二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
矩形截面剪应力计算公式
矩形截面剪应力计算公式矩形截面剪应力计算公式材料科学是工程学的基础，而力学是材料科学中的核心。
矩形截面剪应力计算公式就是材料力学的基本理论之一。
本文将通过阐述矩形截面剪应力的定义、公式的具体推导以及应用范围，来介绍这一重要的理论内容。
矩形截面剪应力是指在矩形断面上，由上下两个平面间的剪切力所引起的单位面积切应力。
在实际应用中，我们需要通过材料试验方法来测定矩形截面的抗剪强度，即所能承受的最大剪应力。
而其计算方法就是通过使用矩形截面剪应力的公式。
矩形截面剪应力计算公式的推导需要从材料的性质入手。
通常情况下，剪切力的引入产生了一个偏移的角度，而这个角度又是由剪切挠度所决定的。
对于矩形断面的情况，剪切力所引起的偏移角度是非常小的，因此可以采用小角偏移法来计算剪应力。
具体来说，在矩形截面上，我们取两切面的距离为t，两面之间的夹角为Φ，则矩形截面的剪切力F作用下的剪应力τ的计算公式为：τ = F / (bt) * tanΦ其中b为矩形截面的宽度。
需要注意的是，在矩形截面剪应力的计算过程中，我们一般假设两个面材质均匀，距离较大以致于剪应力不会引起扰动，切应力沿截面等分布。
矩形截面剪应力计算公式在工程设计中十分重要。
对于建筑结构来说，设计师需要通过计算矩形截面剪应力的大小，来评估结构的承载力与抗震性能。
同时，在机械制造中，矩形截面剪应力的计算也是必不可少的一环，可以用于材料的强度评估和设计机件的尺寸。
总之，矩形截面剪应力计算公式是材料科学和力学学科中的重要内容。
通过本文的介绍，我们可以了解到矩形截面剪应力的定义、公式推导和应用范围，对于了解材料力学的基本理论和工程设计具有重要的参考价值。
截面混凝土的正应力验算
截面混凝土的正应力验算根据《公预规》7.1.5条，使用阶段正截面应力应符合下列要求：MPa f ck kc pt cu 2.165.0=≤+=σσσ式中：kc σ——在作用标准效应组合下混凝土的法向压应力，按下式计算：332211ouG ou G nu G kc W M W M W M ++=σ (2-32）1G M 、2G M 、3G M ——标准效应组合的弯矩值，见表2-11的①、②、③栏； 1nu W 、2nu W 、3nu W ——分别取表2-17，截面特性的第一、第二、第三阶段的值。
pt σ——由预应力产生的混凝土法向拉应力，按下式计算：nupn p n P ptW e N A N ∏∏-=σ (2-33）∏p N ——s l P p p A A N ⋅-⋅=∏∏6σσn A 、nu W ——取表2-17，第一阶段的截面特性； pn e ——sl p p s nb s l p nb p p pn A A A y A a y A e ⋅-⋅-⋅--⋅=∏∏66)()(σσσσ。
表2-35示出了正截面混凝土压应力验算的计算过程和结果，最大压应力在3号梁跨中截面下缘，为4.153 MPa>16.2MPa ，可见其结果符合规范要求。
2-35 正截面混凝土压应力验算表项目边梁3号梁跨中 4/L 变化点 支点 跨中4/L 变化点支点 1G M )(m kN ⋅2155.6 1617.67 943.16 0 2286.88 1715.16 1000.62 0 2G M )(m kN ⋅115.15 86.37 50.39 0 230.31 172.73 100.77 0 3G M )(m kN ⋅1061.33 796.00 464.38 0 1061.33 796.00 464.38 0 1nu W )(3m0.5580.5570.5590.6190.5270.5160.5180.5822nu W )(3m 0.590 0.585 0.577 0.627 0.547 0.543 0.535 0.588 3nu W )(3m 0.631 0.625 0.616 0.662 0.628 0.623 0.614 0.659 ∏p N )(kN3071.30 3041.74 3008.85 3176.78 3133.47 3100.40 3064.89 3212.88n A )(2m 0.8140 0.8140 0.8140 1.2496 0.7786 0.7786 0.7786 1.216 pn e )(m1.083 0.981 0.840 0.233 1.063 0.963 0.825 0.226 kc σ)(MPa 5.740 4.3262.527 0 6.451 4.919 2.877 0 pc σ)(MPa-2.188 -1.624 -0.823 1.345 -2.297 -1.802 -0.947 1.394 cu σ)(MPa3.5522.7031.7041.3454.1533.1171.9301.394。
拉压杆斜截面上的应力
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、 泊松比和剪切模量等参数，这 些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与 纵向变形关系的参数，泊松比 越大，材料横向变形越小，拉 压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形 能力的参数，弹性模量越大， 材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳 定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
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稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分 析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学 中的应力分析方法推导得出的，考虑 了杆件受力、截面尺寸等因素的影响 。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
截面剪切应力计算公式
截面剪切应力计算公式在我们学习力学的过程中，截面剪切应力计算公式可是个相当重要的家伙！这玩意儿就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解物体内部受力情况的大门。
咱先来说说啥是截面剪切应力。
想象一下，你拿着一把剪刀去剪一张纸，纸被剪断的那个地方，受到的就是剪切力。
而截面剪切应力呢，就是在某个横截面上面，单位面积所受到的这种剪切力。
那截面剪切应力计算公式到底是啥呢？它通常可以表示为τ = VQ /Ib 。
这里面，V 表示的是剪力，Q 是所求应力点到截面形心的距离与该点所在截面一侧部分的面积对形心的静矩的乘积，I 是整个截面对于中性轴的惯性矩，b 则是所求应力点处截面的宽度。
就拿我们生活中的一个例子来说吧，有一次我去工地，看到工人师傅们在搭建钢梁。
那钢梁长长的，承受着各种力。
我就好奇地问师傅，这钢梁会不会被剪断啊？师傅笑着说，这就得看截面剪切应力啦。
他们在设计的时候，就得用这个公式来算一算，确保钢梁能稳稳地支撑起整个建筑。
比如说这钢梁是个矩形截面的，宽是 b ，高是 h 。
那它对中性轴的惯性矩 I 就等于 bh³ / 12 。
要是剪力 V 已经知道了，再根据具体受力点的位置算出 Q ，就能算出截面剪切应力τ 了。
如果算出来的应力超过了材料能承受的极限，那可就危险啦，钢梁可能就会出问题。
在实际工程中，比如桥梁的建造，要是没算好截面剪切应力，那后果不堪设想。
桥可能在使用过程中突然断裂，这得多吓人啊！所以这个公式对于工程师们来说，那可真是宝贝，得精确计算，一点儿都不能马虎。
咱们再回到学习中来，同学们在学习这个公式的时候，可别被那些字母和符号给吓住了。
其实啊，只要多做几道题，多结合实际想一想，就会发现它也没那么难。
比如说，给你一道题，告诉你一个钢梁的尺寸和所受的剪力，让你算截面剪切应力。
这时候，别慌，先把公式写出来，把已知的数值代入进去，一步一步来。
算的时候要仔细，单位可别弄错了。
而且啊，这个公式还和其他的力学知识有关系呢。
切应力计算
一、简介一般情况下横力作用弯曲时，梁横截面上既有正应力σ又有切应力τ图9-146直梁横力弯曲时横截面上的剪力F S与相应的切应力之间有如下静力学关系图9-147从竖直平面内弯曲的矩形截面梁可以判明：弯曲切应力τ在横截面上不可能是均匀的若在横截面上均匀分布而上下边缘处在与边缘垂直的方向上有切应力τ，那么按切应力互等定理，在梁的顶面和底面就有切应力τ＇，这与梁自由表面上不可能有任何应力相矛盾图9-148至于不在横截面上下边缘处的切应力τ，因为与之互等的切应力τ＇在梁的纵截面上，它作为纵截面上切向分布内力的集度，当然可以存在图9-149事实上，木梁横力弯曲时的剪切破坏就发生在纵截面上(木材的顺纹抗剪强度远低于横纹抗剪抗度)直梁弯曲切应力的分析也是从分析与中性层平行的纵截面上的切应力τ＇入手的 一般情况下，梁的强度由正应力控制，但有些情况下必须考虑切应力的影响，并按切应力进行强度校核例如在截面上有较大剪力F s作用而弯矩较小，梁的跨度短而截面较高，组合截面梁的腹板较薄等情况下都必须考虑切应力二、几个具体截面的切应力计算设梁的横截面为矩形，b为宽度，h为高度，且h＞b，F s为横截面剪力图9-150对切应力分布做如下假设1)横截面上任一点切应力方向均与剪力F s平行2)距中性轴相等远处切应力大小相等求：横截面上任一点的切应力剪应力公式F s为横截面上的剪力I z为横截面对中性轴y的惯性矩b为横截面的宽度为切应力所在y处横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩 横截面面积对中性轴的静矩为图9-151将静矩代入切应力计算公式得矩形横截面上切应力τ矩形截面高度(y轴)按2次抛物线规律变化图9-152在横截面上下边缘处τ=0；在中性轴上y＝0处τ有最大值在y＝0处将代入矩形截面切应力计算公式中，得故矩形截面梁横截面上最大切应力为平均切应力的1.5倍其他几种形状截面梁的截面切应力均在中性轴上达到最大值，其分别为工字形图9-153圆形薄壁圆环图9-154三、切应力强度条件弯曲切应力强度条件是。
塔架根部截面应力计算公式
塔架根部截面应力计算公式
1.拉力计算
塔架在根部截面处会承受来自线路或其他结构的拉力，拉力计算公式如下：
σ=F/A
其中，σ为应力，F为拉力，A为根部截面的面积。
2.剪力计算
塔架在根部截面处还会承受来自风力或其他因素的剪力，剪力计算公式如下：
τ=V/A
其中，τ为剪应力，V为剪力，A为根部截面的面积。
3.弯矩计算
塔架在根部截面处还会承受来自线路或其他结构的弯矩，弯矩计算公式如下：
M=F*e
其中，M为弯矩，F为作用在塔架上的力，e为力的作用点到根部截面的距离。
以上公式是塔架根部截面应力计算的基本公式，但实际应用中还需要考虑一些其他因素，例如材料特性、载荷方向等。
此外，对于特定的塔架结构，可能需要采用更加详细和复杂的计算方法，例如有限元分析等。
总之，塔架根部截面应力计算是塔架设计和结构分析中非常重要的一部分，通过计算根部截面的应力，可以确定塔架的稳定性和安全性，为塔架的设计、制造和施工提供依据。
截面剪应力计算公式
截面剪应力计算公式截面剪应力计算公式1. 扭转截面剪应力计算公式公式：τzd=TJ×ℎ2解释：截面扭转剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将扭矩T除以截面惯性矩J并乘以截面高度的一半h。
例子：假设一根方形截面的梁，其边长为2cm，梁上受到的扭矩为500N*m，则计算过程如下：1.计算截面惯性矩J：J=a 412=(2cm)412=163cm42.计算截面剪应力τzd：τzd=TJ ×ℎ2=500N∗m163cm4×2cm2=375Ncm2所以，这根方形截面的梁上的扭转截面剪应力为375N/cm²。
2. 剪切形成结构的截面剪应力计算公式公式：τzd=V Q解释：剪切形成结构的截面剪应力是指在柱或梁的横截面上产生的剪应力，它的计算公式为将剪力V除以截面形心距离Q。
例子：假设一根矩形截面的梁，其宽度为10cm，高度为20cm，梁上受到的剪力为2000N，则计算过程如下：1.计算截面形心距离Q：Q=bℎ26=10cm×(20cm)26=40003cm32.计算截面剪应力τzd：τzd=VQ =2000N40003cm3=32N/cm2所以，这根矩形截面的梁上的剪应力为/cm²。
3. 螺旋剪应力计算公式公式：τ=2M πd3解释：螺旋剪应力是指在螺旋传动装置的剪应力，它的计算公式为将扭矩M乘以螺旋半径d然后除以螺旋半径的三次方。
例子：假设某螺旋传动装置的螺旋半径为5cm，承受的扭矩为1000N*m，则计算过程如下：1.计算螺旋剪应力τ：τ=2Mπd3=2×1000N∗mπ(5cm)3=8πN/cm2所以，这个螺旋传动装置的剪应力为约/cm²。
通过以上列举的计算公式，可以计算出截面剪应力的值，这些公式在工程领域中具有广泛的应用。
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式
径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力[t ] = 40 MPa，切
变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax =
(2) 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j 角，这种
角位移称为相对扭转角。
(3) 在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是
不沿壁厚变化的，故有 g
均半径。
jr0
，此处r0为薄壁圆筒的平 l
扭转
Me
g
AD BC
Me
j
薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过 材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T ) 与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线
其中 A 2 d A称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
tρ
G
T GIp
T
Ip
T
t max
d T
t max
D
扭转
t max
t
T
Ip
横截面周边上各点处( r)的最大
切应力为
t max
d
t max
Tr Ip
T Ip r
T Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单 位为 m3。
扭转
圆截面的极惯性矩 Ip 和扭转截面系数 Wp
实心圆截面：
d
Ip
2 d A
A
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的前提下，剪应力一般都满足要求。
一、矩形截面梁的剪应力 利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为：*z Z QS I b τ=； 公式中：Q ——为横截面上的剪力；*z S ——为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性轴的静矩；I Z ——为横截面对中性轴的惯性矩；b ——矩形截面宽度。
计算时Q 、*z S 均为绝对值代入公式。
当横截面给定时，Q 、I Z 、b 均为确定值，只有静矩*z S 随剪应力计算点在横截面上的位置而变化。
222**2214()[()]()(1)222248z h h h h bh y S A y b y y y y h =⨯=-⨯+-=-=- 把上式及312z bh I =代入*z Z QS I bτ=中得到：2234(1)2Q y bh h τ=- 可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘处（y=±0.5h ），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：33 1.522Q Q Q bh A A τ=⨯=⨯= 由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K 处剪应力为：*1z Z QS I b τ=； 公式中：b 1——腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母d 标注的）；*z S ——为横截面上阴影部分面积A*对中性轴的静矩；工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为：*max max1z Z QS I b τ=； 公式中：*max z S ——为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。
三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为：*max max max max *[](/)z Z Z Z Q S Q I b b I S ττ==≤。
危险截面应力计算
危险截面应力的计算需要考虑多种因素，包括截面的形状、尺寸、材料属性、外力大小和方向等。
以下是一些常见的计算方法：
1.静力分析法：通过建立平衡方程来求解截面上的应力。
这种方法适用于静载作用下的简单截面，
如矩形、圆形等。
对于复杂的截面形状，需要将其划分为多个简单的部分，分别进行计算。
2.弹性力学法：适用于各种形状的截面，考虑了材料的弹性性质，能够得到更精确的应力分布情况。
常用的方法有有限元法、差分法等。
3.实验法：通过实验测试来获取截面应力分布情况。
常用的实验方法有拉伸试验、弯曲试验等。
这
种方法可以得到真实情况下的应力分布，但实验成本较高。
需要注意的是，不同的计算方法适用范围和精度要求不同，需要根据实际情况选择合适的方法。
同时，危险截面的应力分布并不是固定不变的，会随着外力的大小和方向的变化而变化，因此在实际应用中需要不断调整和优化计算方法，以确保安全性和经济性。
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下，剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的 前提下，剪应力一般都满足要求一、矩形截面梁的剪应力利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:公式中：Q ――为横截面上的剪力;S ；――为横截面上所求剪应力处的水平线以下（或以上）部分面积A*对中性轴的静矩；I Z ――为横截面对中性轴的惯性矩;b ――矩形截面宽度。
计算时Q S ；均为绝对值代入公式。
当横截面给定时，Q l z 、b 均为确定值，只有静矩S ；随剪应力计算点在横截面上的位置而变化* *h1 h h h2 2bh 2 4y 2S ； A yb(- y) [y (- y)]-(-y )(1 2 )2 2 22 48h 把上式及I ;bh 3 代入虫 中得到：3Q(1 4^)12I Z b2bhh 2可见，剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘 处（y=± 0.5h ），剪应力为零；在中性轴处（y=0）处，剪应力最大，其值为：由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍，发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K处剪应力为:公式中：b i――腹板的宽度（材料表中工字钢腹板厚度使用字母S z ――为横截面上阴影部分面积A对中性轴的静矩;公式中：S zmax ――为半个截面（包括翼缘部分）对中性轴的静矩。
Cb）图皐工字卑梁横苗面的应力计算图三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为:*QmaxSzmax Zmaxmax I z b b（l z/S；）[]d标注的）；工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处，其值为:max* QS z max .；I Z b1。
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0
32
O
对于空心圆轴：
IP
D4
32
d 4
32
D4
32
1 4
D
d
D
三、最大切应力：
横截面上边缘点的切应力最大，其值为
令
WP
IP R
max
T W
max
TR IP
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数， 单位为mm3或m3。
完成任务：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，
A
d
300
B
C
a
F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度.
10KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
矩形截面 l k A k=11.3 k= 5.6
1. 拉伸图和应力——应变图
试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程
中，自动绘出试件所受应力 s =P/A与标距 段相
应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
2、低碳钢拉伸时的力学性能
变形发展的四个阶段:ob;bc;cd;de 10拉伸试验.swf
根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡 克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于
半径的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩
方向一致。
1. 几何变形方面
等直圆杆扭转实验观察：
dx O
dφ
a γp
cγ
d
d’
G
G’
d
dx
d
dx
tan
GG' aG
【任务2】圆轴扭转横截面上的应力应变
任务引领：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
一、圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：
物理关系
静力学关系
观察变形
应力分布规律
BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m， MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
解（1）作扭矩图 用截面法求得AB段、 BC段的扭矩分别为
T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图示。
(2) 计算最大切应力
由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段
可知：横截面上只有正应力σ，
且大小相等。
FP
s FN
FN
sdA s A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
s 轴心拉压应力公式：
FN
A
轴心拉压应变公式：
DL FNL EA
DL
s
L
E
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
A
d
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长
WP
D3
16
判断下图扭转切应力的分布
对的是哪些?
错的是哪些?
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量 轻， 结构轻便，应用广泛。
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1. 极惯性矩
I P
2dA
A
dA 2d
IP
D 2
2 2d
D 4
2、求应力
FNBA F=10
s AB
FN AB AAB
20 10 3
30 2
28.3MPa
4
s BC
17 .3 10 3 60 2
4.8MPa
3、求变形量
DLBA
FNBAL1 EA1
20 10 3 4 10 3 200 10 3 3.14 30 2
4
【任务3】平面弯曲的正应力
任务引领：一外伸T型钢梁，梁上荷载如图所示。已知 L1=6m ; L2=2m F=20kN，q=10kN／m，截面尺寸如图所 示，试求梁最大正应力。
学习目标：1、平面弯曲；
2、s
Mz y I
3、 s max
M yy max IZ
4、Iz组 （Izci ai2 Ai）
e
s
d
sb
b
se sP
a c ss
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h
1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
2
、
其
它
材
料
拉
伸
时 的
s 0.2
力
学
性
质
对于没有明显屈服阶段的塑性
令I p A 2dA
T
GI p
d
dx
代入物理关系式
G
d
dx
d T
dx GI p
T
Ip
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：
T
Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。
2）式中：T—横截面上的扭矩。
—该点到圆心的距离。
max
Mn Ip
Mn Wp
R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面系数
实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
IIp
DD44
3322
((114
)4
)
=d/D=0
Ip
D4
32
WP
D 3 ( 1 4)
16
轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。
AB段：
max
T1 WP1
22106 MPa 64.8MPa π 1203
BC段：
16
max
T2 WP2
14106 MPa 71.3MPa π 1003
16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆
，只是Ip值不同。
剪应力的计算公式：
1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn
Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
任务引领：图示支架，AB杆为圆截面杆，L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截 面杆，其边长a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆和BC杆横截面 上的ห้องสมุดไป่ตู้应力和伸缩量。
材料，用名义屈服极限σ0.2来表示。 0.2%
四、 材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
§2-5
1
、
塑 性
1 2 压 缩试 验 . s w f
材
料
（
低
碳
钢
）
的
压 缩
sp —
比例极限
se —
弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
s S — 屈服极限 E --- 弹性摸量
s
bc a
sb ss
ses p
de
O
o1 f e g
10拉伸试验.swf
e
s
sb
b
se sP
a c ss
o
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob s E
s P — 比例极限
f
s e — 弹性极限
E s tan
2、屈服阶段bc（失去抵
抗变形的能力）
s s — 屈服极限
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称 为纵向对称平面 。
0.566 mm
DLBC
L2
sL2
E
4.8 2 3 10 3 200 10 3
0.083 mm
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。
在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 拉伸标准试件： 圆截面 l=10d l=5d
一、 弯曲和平面弯曲
1. 弯曲: 受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用