工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核.
材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算_4209846
静矩、形心及其相互关系 (设x轴方向单位面积上的力为1个单位)
y
z
y
zC
dA
y
C
z
yC
O
O A
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
S z ydA
A
（联想中值定理）
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论
无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
弯曲应力和强度计算工程力学
的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单
向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ]，即
max
M max Wz
≤[σ]
（3.10）
式(3.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是，
式(3.10)只适用于许用拉应力[σl]和许用压应力[σy]相等
的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
相应地，抗弯截面系数为
Wz
Iz ymax
=
bh 2 6
(3.7b)
2. 圆形截面的惯性矩Iz
下面我们直接给出圆形截面的和圆环形截对中性轴的
惯性矩Iz计算公式：
(1) 圆形截面(图3-5)的惯性矩
Iz
d 4
64
(3.8a) 上一页 下一页 返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(图3-3)，微面积上的 微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截
面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对
中性轴z的合力矩就是弯矩M，即 FN= dA 0 和 A
M= ydA 将σ=Ky代入以上两式，得 A
FN= KydA 0 A
第三章 弯曲强度与刚度
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力 3.2 梁弯曲时正应力强度计算 3.3 弯曲切应力简介 3.4 梁的弯曲变形与刚度 3.5 提高梁的强度和刚度的措施 小 结
返回
3.1 梁弯曲时横截面上的正应力
3.1.1 纯弯曲变形
一般情况下，梁横截面上既有弯矩又有剪力。对于横截面上 的某点而言，则既有正应力又有切应力。但是，梁的强度主 要决定于横截面上的正应力，切应力居次要地位。所以本节 将讨论梁在纯弯曲(截面上没有剪力)时横截面上的正应力。
第八章-弯曲剪应力和强度校核(材料力学课件)[1].
![第八章-弯曲剪应力和强度校核(材料力学课件)[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/bcc2d6830b4e767f5bcfce20.png)
二、开口薄壁截面的弯曲中心
• 对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形 心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生 弯曲变形外，还将发生扭转变形。
模量较大。
P
h
zb
b
z
h
CL8TU20
CL8TU21
P
y1 y2
y1 [ t ] y2 [ c ]
Cz
CL8TU9
二、合理安排梁的受力情况
q
l
x
ql 2
M
M
8
q
x
l x 0.207 l 0.0214ql 2
CL8TU22
P
l
l
2
2
M Pl / 4
aPa
22
l
l
2
2
M
a l 2
Pl / 8
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘 负担了截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁：
max
Q SZ* max IZ b
Q
b
I S Z*
Z max
三、圆截面梁的剪应力
Q
下面求最大剪应力：
z
max
4 3
Q A
y
CL8TU18
弯曲剪应力强度条件
max
Qmax
S* Z max
IZ b
[ ]
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试 求最小直径dmin。
对于非对称截面梁。横截面上有一对形心 主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组 成两个形心主惯性平面xOy、xOz
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案
工程力学中的弯曲应力和弯曲变形问题的探究与解决方案引言：工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其中弯曲应力和弯曲变形问题是工程力学中的重要内容。
本文将探讨弯曲应力和弯曲变形问题的原因、计算方法以及解决方案，旨在帮助读者更好地理解和应对这一问题。
一、弯曲应力的原因在工程实践中，当梁、梁柱等结构承受外力作用时，由于结构的几何形状和材料的力学性质不同，会导致结构发生弯曲变形。
弯曲应力的产生主要有以下几个原因：1. 外力作用：外力作用是导致结构弯曲的主要原因之一。
例如，悬臂梁受到集中力的作用，会导致梁的一侧拉伸，另一侧压缩，从而产生弯曲应力。
2. 结构几何形状：结构的几何形状对弯曲应力有直接影响。
例如，梁的截面形状不均匀或不对称，会导致弯曲应力的分布不均匀，从而引起结构的弯曲变形。
3. 材料力学性质：材料的力学性质也是导致弯曲应力的重要因素。
不同材料的弹性模量、屈服强度等参数不同，会导致结构在受力时产生不同的弯曲应力。
二、弯曲应力的计算方法为了准确计算弯曲应力，工程力学中提出了一系列的计算方法。
其中最常用的方法是梁的弯曲方程和梁的截面应力分析。
1. 梁的弯曲方程：梁的弯曲方程是描述梁在弯曲过程中受力和变形的重要方程。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到梁的弯曲方程，并通过求解该方程，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
2. 梁的截面应力分析：梁的截面应力分析是通过分析梁截面上的应力分布情况，计算出梁在不同位置的弯曲应力。
该方法根据梁的几何形状和材料的力学性质，采用静力学平衡和弹性力学理论，计算出梁截面上的应力分布，并进一步得到梁的弯曲应力。
三、弯曲变形问题的解决方案针对弯曲变形问题，工程力学提出了一系列的解决方案，包括结构改进、材料选择和加固措施等。
1. 结构改进：对于存在弯曲变形问题的结构，可以通过改进结构的几何形状，增加结构的刚度，从而减小结构的弯曲变形。
例如，在梁的设计中，可以增加梁的截面尺寸或改变梁的截面形状，以增加梁的抗弯刚度。
工程力学知识点总结
B. 二力平衡公理：适用范围：刚体工程力学知识点总结第0章1. 力学：研究物体宏观机械运动的学科。
机械运动：运动效应，变形效应。
2. 工程力学任务：A.分析结构的受力状态。
B.研究构件的失效或破坏规律。
C.分研究物体运动的几 何规律D.研究力与运动的关系。
3. 失效：构件在外力作用下丧失正常功能的现象称为失效。
三种失效模式：强度失效、刚度失效、 稳定性失效。
第1章1. 静力学：研究作用于物体上的力及其平衡的一般规律。
2. 力系：是指作用于物体上的一组力分类：共线力系，汇交力系，平行力系，任意力系。
等效力系：如果作用在物体上的两个力系作用效果相同，则互为等效力系。
3. 投影：在直角坐标系中：投影的绝对值 二 分力的大小；分力的方向与坐标轴一致时投影为正；反之，为负。
4. 分力的方位角：力与x 轴所夹的锐 论=鼻 角a: 方向：由Fx 、Fy 符号定。
5. 刚体：是指在力的作用下，其内部 兀 任意两点之间的距离始终保持不变。
（刚体是理想化模型，实际不存在）6.力矩: 方向： 度量力使物体在平面内绕一点转动的效果。
力使物体绕矩心作逆时针转动时，力矩为正；反之，为负 力矩等于0的两种情况：（1）力等于零。
（2）力作用线过矩心。
力沿作用线移动时，力矩不会发生改变。
力可以对任意点取矩。
7.力偶：由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系，称为力偶。
（例：不能单手握方向盘，不能单手攻丝）特点：1.力偶不能合成为一个合力，也不能用一个力来平衡，力偶只能有力偶来平衡。
2. 力偶中两个力在任一坐标轴上的投影的代数和恒为零。
3.力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩。
即：力偶对物体转动效应与矩心无关。
三要素：大小，转向，作用面力偶的等效：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。
推论1:力偶可以在作用面内任意转动和移动，而不影响它对刚体的作用。
（只能在作用面内而不能脱离。
）推论2:只要保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，- 可以同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变对刚体的作用。
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。
弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。
本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。
在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。
根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。
在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。
从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。
首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。
其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。
最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。
同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。
同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。
希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。
工程力学教案
工程力学教案《工程力学》主要讲授静力学的基本内容和轴向拉压、扭转、弯曲、应力状态理论、强度理论、压杆稳定、组合变形等主要内容，该课程是电气工程，安全工程、测绘工程等专业的一门重要的专业基础课程，是相关专业的学生学习后续课程、掌握本专业技术所必备的理论基础。
以下是工程力学教案，欢迎阅读。
一、课程目的与任务掌握力系的简化与平衡的基本理论，构筑作为工程技术根基的知识结构；通过揭示杆件强度、刚度等知识发生过程，培养学生分析解决问题的能力；以理论分析为基础，培养学生的实验动手能力；发挥其它课程不可替代的综合素质教育作用。
二、教学基本要求1．掌握工程对象中力、力矩、力偶等基本概念及其性质；能熟练地计算力的投影、力对点之矩。
2．掌握约束的概念和各种常见约束力的性质；能熟练地画出单个刚体及刚体系的受力图。
3．掌握各种类型力系的简化方法和简化结果；掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质；能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。
4．掌握各种类型力系的平衡条件；能熟练利用平衡方程求解单个刚体和刚体系的平衡问题。
5．理解材料力学的任务、变形固体的基本假设和基本变形的特征；掌握正应力和切应力、正应变和切应变的概念。
6．掌握截面法；熟练运用截面法求解杆件（一维杆件）各种变形的内力（轴力、扭矩、剪力和弯矩）及内力方程；掌握弯曲时的载荷集度、剪力和弯矩的微分关系及其应用；熟练绘制内力图。
7．掌握直杆在轴向拉伸与压缩时横截面的应力计算；了解安全因数及许用应力的确定，熟练进行强度校核、截面设计和许用载荷的计算。
8．掌握胡克定律，了解泊松比，掌握直杆在轴向拉伸与压缩时的变形计算。
9．掌握剪切和挤压（工程）实用计算。
10．掌握扭转时外力偶矩的换算；掌握圆轴扭转时的切应力与变形计算；熟练进行扭转的强度和刚度计算。
11．掌握纯弯曲、平面弯曲、对称弯曲和横力弯曲的概念；掌握弯曲正应力公式；熟练进行弯曲强度计算；掌握杆件的斜弯曲、弯拉（压）组合变形的应力与强度计算。
梁的弯曲计算—弯曲切应力及强度计算(工程力学课件)
（3）几种特殊情况下必须进行梁的切应力强度计算。
短粗梁 自行焊接 木梁
梁的合理截面
max
M max Wz
(1) 将材料配置于离中性轴较远处
(2) 采用不对称于中性轴的截面
脆性材料
(3) 采用变截面梁
弯曲切应力及强度计算
弯曲
（内力图）
外力 —— 内力 —— 应力
弯曲变形 的条件
求约束反力
弯矩M 剪力Fs
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
梁横截面上的切应力 矩形截面梁
S
* z
bI z
x
σ 分布规律 τ 分布规律
Fs
S
* z
不同形状截面梁的最大剪应力
bI z
矩形截面梁
B
A
C
A
C
B
max l max h
梁内的主要应力是正应力！
危险截面、危险点
E右到B左
z
y
危险点
危险截面 24
D右 28
24
My
Iz
Fs
S
* z
bI z
危险截面上的危险点
max ≤[ ]
max ≤[ ]
正应力强度条件 切应力强度条件
三类计算：①强度校核、②截面设计、③确定许用荷载
（1）在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力 和切应力两种强度条件。
“等强度梁”
Wz (x)
M ( x)
[ ]
工字形截面梁
max
3 2
Fs A
max
材料力学——07 梁的弯曲应力与强度计算
（1）矩形截面中性轴附近的材
料未充分利用，工字形截
z
面更合理。
（2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。
2、根据截面模量选择：
为了比较各种截面的合理性，以 来W衡z 量。
截面越合理。
A
越W大z， A
截面形状 矩形
Wz
A
0.167h
圆形 槽钢
工字钢
0.125d (0.27~0.31)h (0.27~0.31)h (d=h)
在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的 切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性 关系”。
（一）矩形截面
F mn
A m dx n L
分析方法（截面法）：ຫໍສະໝຸດ 1、沿 mm,nn 截面截开，
取微段dx。
B
h
m
n
b
FQ
M
M+dM
FQ
(+)
m
n
(-)
FQ 图
(+)
M 图
1 m
n 2
kl
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力
纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长 度，这一纵向纤维层称为中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴 中性轴
中性层
（一）变形几何关系：
建立坐标系
m a b n dx
m
a by n
变形前：l bb dx d
变形后：l1 bb
( y)d
伸长量：ll1l (y)d dx
线应变： l ( y)d dx
第七章 梁的弯曲应力与强度计算
7．1梁横截面上的正应力
aP
Pa
A
B
FS
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料⼒学的基本计算公式-材料⼒学弯曲公式1.弯矩、剪⼒和荷载集度之间的关系式2?轴向拉压杆横截⾯上正应⼒的计算公式Cr=杆件横截⾯轴⼒刊，横截⾯⾯积仏拉应⼒为正）3. 轴向拉压杆斜截⾯上的正应⼒与切应⼒计算公式（夹⾓a从X轴正⽅向逆时针转⾄外法线的⽅位⾓为正）4. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距1,拉伸后试样标距11；拉伸前试样直径d,拉伸后试样直径dl）M = I l-I M = d l-d5. 纵向线应变和横向线应变6.泊松⽐外⼒偶KI N⾎矩计箕公式（P功率，n转速）T a = P a Sinaf= CrCDSafailIa= —siπ2α2Cr= EE7.胡克定律17?&受多个⼒作⽤的杆件纵向变形计算公式？9?承受轴向分布⼒或变截⾯的杆件，纵向变形计算公式14.剪切胡克定律（切变模量G 9切应变g ） T=G^ 15. 拉压弹性模量E 泊松⽐"和切变模量G 之间关系T 9所求点到11. 许⽤应⼒H=?脆性材料⾎=还，塑性材料氐=还12.延伸率 L -I 5- 1X100%110.轴向拉压杆的强度计算公式13. 截⾯收缩率A A-A IΨ= X100%圆截⾯对⼼的极惯性矩（a ）实⼼圆（b ）空⼼轴扭转时横截⾯上任⼀点切应⼒计算公式（扭矩32T18.圆截⾯周边各点处最⼤切应⼒计算公式19? 扭转截⾯系数Wrr=≠, （a ）实⼼圆Wl=^（b ）空⼼圆I 鲁（I F20.薄壁圆管（壁厚δ ≤ R o /10 , R o 为圆管的平均半21.圆轴扭转⾓炉与扭矩7；杆长⼈扭转刚度GHP 的关径不同（如阶梯轴）时23.等直圆轴强度条件24.塑性材料E = (WA)I 叫脆性材料I T l = (°?8 ~ Io )I er lGi I TT26. 受压圆筒形薄壁容器横截⾯和纵截⾯上的应⼒计径）扭转切应⼒计算公式T ~2τ^δTL 系式"瓯22同⼀材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直扭转圆轴的刚度条件？乳≤l^lZ 或27. 平⾯应⼒状态下斜截⾯应⼒的⼀般公式Cr K + 6 6 —VCre =—2 —+—2 —c∏s2a-τx≡m2α28. 平⾯应⼒状态的三个主应⼒tan2α? =-―啦-29?主平⾯⽅位的计算公式∏30.31. 受扭圆轴表⾯某点的三个主应⼒°ι=r, 5 =0,三向应⼒状态最⼤与最⼩正应⼒H=巧，?? =σ?33.三向应⼒状态最⼤切应⼒宁34.⼴义胡克定律El =丘冋⼀叭円+如】 =—IOi-V(σ?+σi)l= jlσr3-v(o1+σ2)j⾯最⼤切应⼒35.四种强度理论的相当应⼒40. 平⾏移轴公式（形⼼轴ZC与平⾏轴ZI的距离为a, 图形⾯积为M）4 =亿+^4_ My41. 纯弯曲梁的正应⼒计算公式σ~42. 横⼒弯曲最⼤正应⼒计算公式50.弯曲正应⼒强度条件^rIiaX43.矩形、圆形、空⼼圆形的弯曲截⾯系数?44.中性轴⼀侧的横截⾯对中性轴Z 的静矩，b 为横截⾯在45. 矩形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处46.⼯字形截⾯梁腹板上的弯曲切应⼒近似公式47. 轧制⼯字钢梁最⼤弯曲切应⼒计算公式49.圆环形薄璧截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴⼏种常见截⾯的最⼤弯曲切应⼒计算公式（Ema X 为51. ⼏种常见截⾯梁的弯曲切应⼒强度条件52. 弯曲梁危险点上既有正应⼒o⼜有切应⼒τ作⽤时的强度条件% =3⼗卅或% = 3⼭ M㈣,[σj = o? ItlSd2w_ M(X)53. 梁的挠曲线近似微分⽅程^r = -^a_ J■⼚54. 梁的转⾓⽅程^?dx+cι55.梁的挠曲线⽅程？窖W+⾦556.轴向荷载与横向均布荷载联合作⽤时杆件截⾯底部边缘和顶部边缘处的正应⼒计算公式偏⼼拉伸(压缩).-?,÷.M≡.σι∣ιaxGuin .58.建⽴的强度条件表达式幻嗚何TF如^4 = ^λ?2+0.75Γ2≤[σ]59⼆圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩叫和MZ同时作⽤时,合成弯矩为M =何硕60.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩％和MZ 同时作⽤时—?2 +0.75Γ2 = — +ΛfJ +0.75Γ2 ≤[<τj62.弯拉扭或弯压扭组合作⽤时强度计算公式F63. 剪切实⽤计算的强度条件FHX ? r164. 挤压实⽤计算的强度条件％卞⼀%65.等截⾯细长压杆在四种杆端约束情况下的临界⼒66.压杆的约束条件：(a)两端较⽀U=I(b) ⼀端固定、⼀端⾃由µ=2 67. 压杆的长细⽐或柔度计算公式" 68. 细长压杆临界应⼒的欧拉公式% = ^~λ> λt =兀69.欧拉公式的适⽤围61.Ii = ----- = --- 王70. 压杆稳定性计算的安全系数法% F l71. 压杆稳定性计算的折减系数法Cr=?≤72. …关系需查表求得。
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版4-6习题答案
第四章习题4-1 求下列各梁指定截面上的剪力Q和弯矩M。
各截面无限趋近于梁上A、B、C等各点。
4-2 试列出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求和。
4-3 用叠加法作以下各梁的弯矩图。
并求出。
4-4 用剪力、弯矩和分布载荷集度之间的微分关系校核前面已画的剪力图和弯矩图是否正确。
4-5 不列剪力方程和弯矩方程，作以下各梁的剪力图和弯矩图，并求出和。
4-6 用合适的方法作下列各梁的剪力图和弯矩图。
4-7 试根据载荷、剪力图和弯矩图之间的关系，检查下列各梁的剪力图和弯矩图是否正确，并对错误之处加以改正。
4-8 作下列构件的内力图。
4-9 在梁上行走的小车二轮的轮压均为P ，如图所示。
问小车行至何位置时梁内的弯矩最大？最大弯矩值是多少？设小车的轮距为c，大梁的跨度为。
参考答案4-1 解：题（b）（1）求支反力（见图）由，l-P l=0 =由，（2）剪力按计算剪力的规则（3）弯矩按计算弯矩的规则其它各题的答案：（a）（c）（d）（e）（f）4-2 解：题c(1)剪力和弯矩方程以左端A为原点，任一截面距左端的距离为x（图）\剪力方程:弯矩方程:(2 )剪力图与弯矩图按上述剪力方程和弯矩方程绘剪力图和弯矩图（3）与值由及得=200N =950题（f）（1）求支反力（见图）由，600-1004040=0=由，q4020-60=0=校核：+=2667+1333=4000N=q40=10040 所以支反力计算正确（2）剪力和弯矩方程以左端为原点，任一截面距左端的距离为x，则得剪力方程：弯矩方程（2）剪力图和弯矩图按上述剪力及弯矩方程绘出图及所示的剪力图和弯矩图所示剪力图和弯矩图.图中最大弯矩的截面位置可由，即剪力的条件求得Q（x）=3333-100x=0x=33.3cm（4）及由及得=2667N ，=355其他各题的答案：（a）=ql =（b）（d）（e）（g）（h）（i）（j）4-3 解：题c分别作、q单独作用时的弯矩图（图、），然后将此二图叠加得总的弯矩图。
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M
dA
z
y
z σ dA
M=∫ A σdA· y源自y 正应力 公式：My s = Iz
E ∫ y2dA = ρ A E I z = ρ 1 M = 中性层曲率公式 E I ρ z
EIz —— 梁的抗弯刚度
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正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力： smax = 令 得 Iz Wz = ymax Mymax
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Ch10
弯曲应力
梁的横截面上一般同时存 在正应力和切应力。
a
A
C F FQ
+
F
F D
a
B
§10-1 弯曲正应力
纯弯曲： 梁弯曲时，横截面上只有 弯矩而没有剪力。CD段 剪切弯曲： AC、DB段
F
M
+
Fa
1
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一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
dq
a
1
b
y
a'
dx
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
1
b'
4
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变形前
dx= ab=O1O2
变形后 O' O' =ρdθ 1 2
=O1O2
1 O1 2 O2 2
dq
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变 1 O1' 2 O2' 2
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ
a
1
b
y
a'
dx
1
b'
dx
=
y
ρ
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二、物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
6
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三、静力学关系
E ∫A FN= σdA = ∫ A ydA =0 ρ
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
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s tBmax
D t max
M B ytBmax = = 21.4MPa Iz
D t max
s cBmax
M B ycBmax = 38.6MPa = Iz M B ycDmax = = 12.1MPa Iz
D MD y s c max s = = 21.7MPa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
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第十九次课结束处
F=20kN A C B
3m
3m
M max 1 2 4 3 = 91.8MPa s max = 2. 矩形截面 Wz = bh = 32.67 10 mm Wz 6 3. 圆形截面 由 1 d 2 = bh 得 d = 133.5mm 4 M max 1 3 4 3 s max = = 128.4MPa Wz = d = 23.36 10 mm Wz 32
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
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对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M( x ) y Iz Mmax Wz
M( x ) 1 = ρ( x ) E Iz
q=20kN/m
A
220 C 2m 60
D
4m 40 +
B
c yc=180
z
280
1.5m 22.5 M/kN· m 解： 1. 作弯矩图
x
60
y
MB=-40kN· m MD=22.5kN· m
B、D截面为危险截面
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
smax =
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例6-1 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 F=20kN A 3m 解： 1. 求最大弯矩Mmax C 3m B
M max
1 1 = Fl = 20kN 6m = 30kN m 4 4
B
c
yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 s tBmax = B t max = 21.4MPa Iz B yt max = 100mm B 6 4 M y I z = 186.6 10 m 13 s cBmax = B c max = 38.6MPa B yc max = 180mm Iz B、D截面为危险截面
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
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s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
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例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
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假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
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横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 形规律： 取微段梁dx 1 O1 dx 2 O2 2 1 O1' 2 O2' 2
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面