截面应力的计算
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静力学关系
物理关系
观察变形
应力分布规律
应力和变形公式
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形 状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。 （2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变 成了平行四边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况 下），只是夹角发生了改变。
Me
Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改 变，只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的 距离也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。 根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡 克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于 半径的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭 矩方向一致。
3、卸载定律及冷作硬化
d
e
b
e P
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。
a c
d
s
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
f
h
o
g
1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
2 、 其 它 材 料 拉 伸 时 的 力 学 性 质
任务引领：图示支架，AB杆为圆截面杆，L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截 面杆，其边长a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆和BC杆横截面 上的正应力和伸缩量。
A
d
3 00
C
a
B F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度. A=100mm2
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
0
两个塑性指标:
断后伸长率 伸长率
A0 A1 l1 l0 100% 100% 断面收缩率 A0 l0 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
屈服极限 E --- 弹性摸量
bt
2 、 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩
o
脆性材料的抗拉与抗压性质 不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉 伸时的强度极限
bc
bc bt
低碳钢压缩, 愈压愈扁
铸铁压缩, 约45开裂
建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 圆截面 l=10d l=5d 拉伸标准试件： k=11.3 k= 5.6 矩形截面 l k A
1. 拉伸图和应力——应变图 试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程 中，自动绘出试件所受应力 =P/A与标距 段相 应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
【任务3】平面弯曲的正应力
任务引领：一外伸T型钢梁，梁上荷载如图所示。已知 L1=6m ; L2=2m F=20kN，q=10kN／m，截面尺寸如图所 示，试求梁最大正应力。 学习目标：1、平面弯曲；
2
d T GI p dx
d T dx GI p
代入物理关系式
G
d dx
T Ip
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：
T Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
2）式中：T—横截面上的扭矩。
—该点到圆心的距离。
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。
【任务2】圆轴扭转横截面上的应力应变
任务引领：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
一、圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：
Mn Mn max I p Wp R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴 极惯 性矩 实 心 圆 轴
4
o d D
4 D D 4
o
D
) 4 (1 Ip I p I ( 1 ) =d/D=0 32 32 32 3 抗扭截 D3 D W ( 1 4 )
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等 可知：横截面上只有正应力σ， 且大小相等。 F
FN
P
FN dA A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴心拉压应力公式：
FN A
17.3 103 4.8MPa 2 60
2 0 1 03 4 1 03 0.5 6 6 mm 2 3.1 4 3 0 2 0 0 1 03 4
FNBAL1 EA 1
DLBC L2
L2
E
4.8 2 3 103 0.083 mm 3 20010
1. 几何变形方面
dx
等直圆杆扭转实验观察： dφ
a γp G G’ c γ d d’
O
d dx d dx
GG ' d tan aG dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心 的距离成正比。
´
2. 物理关系
胡克定律： 代入上式得：
完成任务：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，
BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m， MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。 解（1）作扭矩图 用截面法求得AB段、 BC段的扭矩分别为 T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图示。
0 .2
对于没有明显屈服阶段的塑性 材料，用名义屈服极限σ 0.2来表示。
0 .2 %
四、 材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件 常 温 、 静 载
§2-5
、 塑 性 材 料 （ 低 碳 钢 ） 的 压 缩
1
12压 缩试验 .swf
p — S —
比例极限
e —
弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
.
1
模块四：截面应力计算
【任务1】：轴心拉压的应力与应变 【任务2】：圆轴扭转横截面上的应力与应变 【任务3】：平面弯曲正应力计算 【任务4】：平面弯曲剪应力计算 【任务5】：组合变形应力计算 【任务6】：平面应力状态应力计算
模块四;截面应力的计算
学 （1）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位； （2）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律； 习 （3）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力； 内 （4）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算； （5）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算； 容：
D
4
O
32
对于空心圆轴：
IP
D 4
32
d 4
32
D 4
1 32
4
D
d D
三、最大切应力：
横截面上边缘点的切应力最大，其值为 令
IP WP R
max
TR IP
max
T W
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数， 单位为mm3或m3。
(2) 计算最大切应力 由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段 轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。 AB段： T1 22106 max MPa 64.8MPa π WP1 1203 16 BC段：
max
T2 14106 MPa 71.3MPa π WP2 1003 16
（6）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式； （7）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式； （8）掌握斜弯曲、拉(压)弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心 ； （9）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。
1）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力； 学 （ （2）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径， 习 能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。 目 （3）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。 （4）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。 标： 弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。。
轴心拉压应变公式：
FN L DL EA
DL L E
A C d
300
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长 a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆 和BC杆横截面上的正应力和伸缩量。
a
B F
解：
1、以B点为研究对象
2、低碳钢拉伸时的力学性能
变形发展的四个阶段:ob;bc;cd;de
d
e
10拉 伸试验 .swf
b
b a
s e p
O
c
o1 f
e g
明显的四个阶段
10拉 伸试验 .swf
1、弹性阶段ob
E
e
b
P — 比例极限
b
f
e P
c a
s
o
e — 弹性极限 E tan 2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面 杆，只是Ip值不同。
剪应力的计算公式： 1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
FN AB sin 30 0 F 0 FN AB 20 KN
FNBA
FNBC
FN BACOS300 FN BC 0 FN BC 17.3KN
2、求应力
F=10
AB
FN AB 20 103 28.3MPa 2 30 AAB 4
BC
DLBA
3、求变形量
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
—位于截面内的应
力称为“ 切应力”
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
D4
面系数
P
16
WP
16
判断下图扭转切应力的分布
对的是哪些?
错的是哪些?
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量 轻， 结构轻便，应用广泛。
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1. 极惯性矩
IP
A
D 0
2 dA
2 2
dA 2d
IP
2d
重点：轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。 难点：剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力
状态分析的解析法、图解法。
【任务1】：轴心拉压
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
G Байду номын сангаас
´
d d G G G dx dx
d G dx
3. 静力学关系 dA
2
d T A dA A G dA dx d G A 2 dA dx
O
令I p A dA
10KN
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
F1
P
DF
ΔA
σ
DF P DA
F2
p lim
DF DA
DA0
dF dA
（总应力）
σ —垂直于截面的应 力称为“ 正应力”
物理关系
观察变形
应力分布规律
应力和变形公式
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形 状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。 （2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变 成了平行四边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况 下），只是夹角发生了改变。
Me
Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平 面的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改 变，只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的 距离也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。 根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡 克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于 半径的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭 矩方向一致。
3、卸载定律及冷作硬化
d
e
b
e P
b
f
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系， 这就是卸载定律。
a c
d
s
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
f
h
o
g
1、弹性范围内卸载、再加载
2、过弹性范围卸载、再加载
2 、 其 它 材 料 拉 伸 时 的 力 学 性 质
任务引领：图示支架，AB杆为圆截面杆，L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截 面杆，其边长a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆和BC杆横截面 上的正应力和伸缩量。
A
d
3 00
C
a
B F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度. A=100mm2
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
0
两个塑性指标:
断后伸长率 伸长率
A0 A1 l1 l0 100% 100% 断面收缩率 A0 l0 5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 — 30% 60% 为塑性材料
屈服极限 E --- 弹性摸量
bt
2 、 脆 性 材 料 （ 铸 铁 ） 的 压 缩
o
脆性材料的抗拉与抗压性质 不完全相同 压缩时的强度极限远大于拉 伸时的强度极限
bc
bc bt
低碳钢压缩, 愈压愈扁
铸铁压缩, 约45开裂
建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。 在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 圆截面 l=10d l=5d 拉伸标准试件： k=11.3 k= 5.6 矩形截面 l k A
1. 拉伸图和应力——应变图 试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程 中，自动绘出试件所受应力 =P/A与标距 段相 应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
【任务3】平面弯曲的正应力
任务引领：一外伸T型钢梁，梁上荷载如图所示。已知 L1=6m ; L2=2m F=20kN，q=10kN／m，截面尺寸如图所 示，试求梁最大正应力。 学习目标：1、平面弯曲；
2
d T GI p dx
d T dx GI p
代入物理关系式
G
d dx
T Ip
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：
T Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆 截面直杆。
2）式中：T—横截面上的扭矩。
—该点到圆心的距离。
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。
【任务2】圆轴扭转横截面上的应力应变
任务引领：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
一、圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：
Mn Mn max I p Wp R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴 极惯 性矩 实 心 圆 轴
4
o d D
4 D D 4
o
D
) 4 (1 Ip I p I ( 1 ) =d/D=0 32 32 32 3 抗扭截 D3 D W ( 1 4 )
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等 可知：横截面上只有正应力σ， 且大小相等。 F
FN
P
FN dA A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
轴心拉压应力公式：
FN A
17.3 103 4.8MPa 2 60
2 0 1 03 4 1 03 0.5 6 6 mm 2 3.1 4 3 0 2 0 0 1 03 4
FNBAL1 EA 1
DLBC L2
L2
E
4.8 2 3 103 0.083 mm 3 20010
1. 几何变形方面
dx
等直圆杆扭转实验观察： dφ
a γp G G’ c γ d d’
O
d dx d dx
GG ' d tan aG dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心 的距离成正比。
´
2. 物理关系
胡克定律： 代入上式得：
完成任务：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，
BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m， MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。 解（1）作扭矩图 用截面法求得AB段、 BC段的扭矩分别为 T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图示。
0 .2
对于没有明显屈服阶段的塑性 材料，用名义屈服极限σ 0.2来表示。
0 .2 %
四、 材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件 常 温 、 静 载
§2-5
、 塑 性 材 料 （ 低 碳 钢 ） 的 压 缩
1
12压 缩试验 .swf
p — S —
比例极限
e —
弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
.
1
模块四：截面应力计算
【任务1】：轴心拉压的应力与应变 【任务2】：圆轴扭转横截面上的应力与应变 【任务3】：平面弯曲正应力计算 【任务4】：平面弯曲剪应力计算 【任务5】：组合变形应力计算 【任务6】：平面应力状态应力计算
模块四;截面应力的计算
学 （1）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位； （2）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律； 习 （3）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力； 内 （4）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算； （5）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算； 容：
D
4
O
32
对于空心圆轴：
IP
D 4
32
d 4
32
D 4
1 32
4
D
d D
三、最大切应力：
横截面上边缘点的切应力最大，其值为 令
IP WP R
max
TR IP
max
T W
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数， 单位为mm3或m3。
(2) 计算最大切应力 由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段 轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。 AB段： T1 22106 max MPa 64.8MPa π WP1 1203 16 BC段：
max
T2 14106 MPa 71.3MPa π WP2 1003 16
（6）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式； （7）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式； （8）掌握斜弯曲、拉(压)弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心 ； （9）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。
1）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力； 学 （ （2）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径， 习 能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。 目 （3）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。 （4）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。 标： 弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。。
轴心拉压应变公式：
FN L DL EA
DL L E
A C d
300
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长 a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆 和BC杆横截面上的正应力和伸缩量。
a
B F
解：
1、以B点为研究对象
2、低碳钢拉伸时的力学性能
变形发展的四个阶段:ob;bc;cd;de
d
e
10拉 伸试验 .swf
b
b a
s e p
O
c
o1 f
e g
明显的四个阶段
10拉 伸试验 .swf
1、弹性阶段ob
E
e
b
P — 比例极限
b
f
e P
c a
s
o
e — 弹性极限 E tan 2、屈服阶段bc（失去抵 抗变形的能力） s — 屈服极限
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面 杆，只是Ip值不同。
剪应力的计算公式： 1、横截面上任意一点剪应力计算：
Mn Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
FN AB sin 30 0 F 0 FN AB 20 KN
FNBA
FNBC
FN BACOS300 FN BC 0 FN BC 17.3KN
2、求应力
F=10
AB
FN AB 20 103 28.3MPa 2 30 AAB 4
BC
DLBA
3、求变形量
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡） 1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
—位于截面内的应
力称为“ 切应力”
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
D4
面系数
P
16
WP
16
判断下图扭转切应力的分布
对的是哪些?
错的是哪些?
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量 轻， 结构轻便，应用广泛。
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1. 极惯性矩
IP
A
D 0
2 dA
2 2
dA 2d
IP
2d
重点：轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。 难点：剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力
状态分析的解析法、图解法。
【任务1】：轴心拉压
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
G Байду номын сангаас
´
d d G G G dx dx
d G dx
3. 静力学关系 dA
2
d T A dA A G dA dx d G A 2 dA dx
O
令I p A dA
10KN
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
F1
P
DF
ΔA
σ
DF P DA
F2
p lim
DF DA
DA0
dF dA
（总应力）
σ —垂直于截面的应 力称为“ 正应力”