第四章 第2节 换元积分法

u2 C cos x2 C.
5
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 dx 2x
1 2
3
1 d(2x) 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2x)
u 32 x
1
1du 1 ln u C
1 ln( 3 2x) C.
2u 2
2
一般地
f
(ax b)dx
1 a
[
f
(u)du]uaxb
例3
求
x(1
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
wk.baidu.com( x)dx 化为 f [(x)]d(x).
因此，第一类换元法就是将被积函数中的某一 部分当作一个变量u，使积分变为变量u的积分。
9
例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2xdx
1 2
sin
2
xd(2x)
u2
x
1
2
sin udu
1 cosu C 2
如果 u ( x)（可微）
（F[(x)]) f [(x)](x)
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
3
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [( x)]( x)dx f [(x)]d(x) [ f (u)du]u(x)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2sin xcos xdx u sin x 2sin xd(sin x) 2udu
u2 C sin x2 C;
解（三） sin 2xdx 2sin xcos xdx ucos x 2 cos xd(cos x) 2udu
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1
2
1 du u
1 2
ln
u
C
1 ln(1 2
2ln x) C.
12
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
15
例7
求
1 1 e xdx.
解
1
1 e
x
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
dx
1
如果 u ( x)（可微）
（F[(x)]) f [(x)](x)
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
8
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [( x)]( x)dx f [(x)]d(x) [ f (u)du]u(x)
1 2ln
dx. x)
解
x(1
1 2ln
dx x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d x
(1
2
ln
x)
u 1 2ln x
1
2
1 du u
1 2
ln
u
C
1 ln(1 2
2ln x) C.
7
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
2
在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)]d(x).
因此，第一类换元法就是将被积函数中的某一 部分当作一个变量u，使积分变为变量u的积分。
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例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
2xdx
1 2
sin
2
xd(2x)
u2
x
1
2
sin udu
1 cosu C 2
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
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例8
求
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx.
解
x
1 x
1
1 x2
,
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx
x 1
e xd(x
1)
x 1
ex
C.
x
17
例9
求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
13
例5 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
14
例6
求
x
2
1 8x
dx. 25
解
x2
2x 1dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d
(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
12
12
18
例10
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
u2 C cos x2 C.
10
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 dx 2x
1 2
3
1 d(2x) 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2x)
u 32 x
1
1du 1 ln u C
1 ln( 3 2x) C.
2u 2
2
一般地
f
(ax b)dx
1 a
[
f
(u)du]uaxb
例3
求
x(1
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
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例11 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2sin xcos xdx u sin x 2sin xd(sin x) 2udu
u2 C sin x2 C;
解（三） sin 2xdx 2sin xcos xdx ucos x 2 cos xd(cos x) 2udu