2第二节换元积分法

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1 a
[
f
(u)du]uaxb
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例3 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
ln
x a
ln x
x2 a
a2
C1
x2 a2 C.
x2 a2
x
t a
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例12 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解就 x a 求解，类推 x a
令x a sect dx a sec t tan tdt
1 dx
x2 a2
a
sec t tan a tan t
x
解：令 x t 则x t2 dx 2tdt
1
dx
x
2
t 1
t
dt
2
t
11 dt t 1
2
(1
t
1 )dt 1
2t
2
d (1 t) 1 t
2t ln 1 t ] C
2 x 2ln 1 x C
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例9 求 1 x2 dx
解令
x
sin t
2
t
2
1 x2 dx cos t cos tdt
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定理4.2.1 设 f (u)具有原函数， u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（微分法）说明使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
1 2
1
cos
2t
dt
1 t 1 sin t cos t C
22
1x t
1 arcsin x 1 x 1 x2 C. 1 x2
2
2
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例10 求
x 1 dx
3 3x 1
解令 t 3 3x 1 , x 1 t3 1 , dx t2dt
3
3
x 1 dx 3x 1
x
x
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(1 ln x )2 d(1 ln x )
x
x
(1 ln x )1 C x
x C x ln x
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4.2.2 第二类换元法
问题 x5 1 x2dx ?
解决方法改变中间变量的设置方法.
过程令 x sin t dx cos tdt,
d
tan
x 2
ln
tan
x 2
d
ln tan
x 2
2
1 ln2(tan x ) C
2
2
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例（12）求 x(1 x)6 dx
解 x(1 x)6 dx [1 (1 x)](1 x)6 dx
[(1 x)6 (1 x)7 ]dx (1 x)6d(1 x) (1 x)7d(1 x)
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
例（3）求
1
x
2
8
x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
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例（4）求
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x
dx
1
ex 1
ex
2
10
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例（9）设 f (sin2 x) cos2 x, 求 f ( x).
解令 u sin2 x cos2 x 1 u,
f (u) 1 u,
f
(u)
1
udu
u
1 2
u2
C
,
f (x) x 1 x2 C. 2
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例（10）求
x
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例（6）求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 2x 3
2x 3
2x 1
2x 1 2x 3
2x 1dx
1 4
2
x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d
(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1 2x 33 1 2x 13 C.
ln tan x
ln tan x
sin
2 x
2 s in
2 x cos x 22
2
sin
x 2
2 c os2
x
ln tan x
tan
x
2 cos2
x
d( x) 2
cos x 2
2
2
2
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ln tan x 2
tan x
s e c2
x 2
d( x) 2
2
ln tan x 2
tan x
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
x4
1 2a2
a2t 2 1d a2t 2 1
3
a2t 2 1 2
C
3a2
3
a2 x2 2
3a2 x3 C.
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说明（一）
当分母的阶较高时, 可采用倒代换
x 1. t
即令 x 1 ,以便消去被积函数中的根号 t
1 4 x2 arcsin xdx.
2
解
4
1 x2 arcsin
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1 arcsin
xd
(arcsin
x 2
)
ln arcsin x C. 2
2
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例（11）求
ln tan x
2 dx. sin x
解 ln tan x
tdt
t
0,
2
sec tdt ln(sect tan t) C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
ln x x2 a2 C.
x
x2 a2
t a
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例13 求
a2 x4
x2
dx
a
0
解就 x 0 讨论。令 x 1 t
a2 x2 dx t a 2t 2 1dt
则
F ( x)
d dt dt dx
f [(t)](t)
1,
(t)
f t f (x).
说明F ( x)为 f ( x)的原函数,
f ( x)dx F( x) C [ 1(x)] C,
f (x)dx
f
[
(t
)]
(t
)dt
t
1
(
x
)
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例8
计算
1
dx
1 3
t4
2t dt
1 3
1 5
t5
t
2
C
1
5
3x 13
1
3x
1
2 3
C.
15
3
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例11 求
1 dx (a 0). x2 a2
解
令 x a tan t dx a sec2 tdt
t
2
,
2
x
1 2
a
2
dx
a
1 sec
t
a
sec2
tdt
sectdt ln(sect tan t) C1
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例7 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2
sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
tan
x 2
2
ln tan x C 2
ln csc x cot x C.
tan
x
sin x 2
(1 x)7 (1 x)8
C
7
8
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1 ln x
例（13）求 (x ln x)2 dx
解
1 ln x
1 ln x
(x ln x)2 dx
dx x2 (1 ln x )2
x
(1
ln x x
)2
1 ln x2
x
dx
(1 ln x )2 d ( ln x )
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.
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例4 求 tet2 dt.
解
tet2 dt 1 et2 dt2 2
想一想：
1 et2 C. 2
f x f x dx ?
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x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
sin5 t cos2 tdt
（应用“微分法”即可求出结果）
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一般地，设 f x， t ，t 均连续，x t 的反
函数存在、可导并且
f t t dt F t C
则
f xdx F 1 x C.
1 ln 1 u C 1 ln 1 cos x C.
2 1u
2 1 cos x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x) C.
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补充例题：
例（1）求
(1
x x
)3
dx.
解
x
x 11
(1 x)3dx (1 x)3 dx
[ (1
§4.2 换元积分法
➢4.2.1 第一换元法 ➢4.2.2 第二换元法
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4.2.1 第一类换元法
问题
e2xdx e2x C,
解决方法利用复合函数，设置中间变量.
过程令 t 2x dx 1 dt, 2
e2xdx 1 etdt 1 et C 1 e2x C.
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
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例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
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例（8）求 cos 3x cos 2xdx.
解 cos Acos B 1[cos( A B) cos( A B)], 2
cos 3x cos 2x 1 (cos x cos5x), 2
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
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例（2）求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
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例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
2
xd
(2
x)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
12
12
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例（7）求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos x 1 cos2 x
dx
1 cos x sin2 x
dx
1 sin 2
x
dx
1 sin 2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
定理4.2.2 设 x t 是单调可导函数，且 t 0 ，
又设 f tt 具有原函数，则有换元公式
f
x ( x)dx
(t )
f [ (t )] (t )dt
关键：把积分变量看成中间变量
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证设 (t) 为 f [(t)](t) 的原函数, t 1 x
令 F (x) [ 1(x)]
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
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例（5）
解
求
x
(1
1 x
1 x2
)e
x
1 x
dx
.
1 1 x2 ,
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx
x 1
e xd(x
1)
x 1
ex
C.
2
2
2
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在一般情况下：
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理