第二节换元积分法

第二节 换元积分法

要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。 重点：第一、二换元积分法。 难点：选择恰当的变量代换。

作业：习题4－2（252P ）***6)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32)33)35)36)38)39)40)1,2

问题提出： 利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如⎰xdx 5sin 、⎰

dx xe x 2

2．为了求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算．按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法.

一、第一换元积分法

复合函数的微分 已知函数)(),(x u u F y ϕ==，则复合函数)]([x f y ϕ=， 因此导数 )()]([x x f y ϕϕ''='，

微分 du u F dx x x F dy )()()](['=''=ϕϕ．

如 函数2

sin x y =，令2

x u =，得u y sin =，

导数

x x x u dx

du du du dx dy 2cos 2cos 2⋅=⋅=⋅=， 微分 xdx x x d 2cos )(sin 2

2

⋅=， 上式两边积分得，

22

2

cos 2(cos sin )sin x u

x xdx udu u c x C =⋅===+=+⎰⎰

. 再如 22

2

2x u

x u u x e xdx e du e c e C =⋅===+=+⎰

⎰

.

这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量u 来化简运算. 定理1 设函数)(u f 具有原函数)(u F ，且)(x u ϕ=可导，则函数)]([x F ϕ是函数

)()]([x x f ϕϕ'的原函数，即有换元公式

()

[()]()[()][()]

u u f x x dx F x C f u du ϕϕϕϕ='=+=⎰⎰.

这个公式称第一换元公式（或凑微分法）.

证明思路，上式两边求导，得[()][()]'()dF x f x x dx ϕϕϕ=.

计算方法

（1）分被积式为两部分du dx x =')(ϕ和)()]([u f x f =ϕ，且)(u f 的原函数易求； （2）对该积分求出的原函数)(u F 中的u 换为函数)(x ϕ，即)(x u ϕ=.

如 22cos 2cos sin sin 2x u

xdx udu u C x C ====+=+⎰

⎰

， 要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分：

()adx d ax b =+，221dx xdx =

，x d dx x ln 1=，)1

(12x d dx x -=，

x d x

dx 2=， x x de dx e =，x d xdx cos sin -=

arcsin d x =，

2

1

arctan 1dx d x x

=+. 下列分类举例：

1．直接引入新变量（乘个常数或除个常数即可）

例1．求不定积分⎰+x dx 232.

解 ⎰

⎰=+===+u

du

x dx u x 23232ln ||ln |32|u C x C =+=++. 一般地 积分⎰⎰⎰=+===++=+du u f a

b ax d b ax f a dx b ax f u b ax )(1)()(1

)(

例2．求不定积分

⎰+)ln 21(x x dx

.

解

⎰+)ln 21(x x dx ⎰⎰+=+=x x d x x d ln 21)

ln 2(21ln 21ln

1(12ln )1

ln |12ln |212ln 2

d x x C x +=

=+++⎰. 例3．求不定积分dx x x ⎰

-2

1. 解 dx x x ⎰

-2

1)1(121)(1212

222x d x x d x ---=---

=⎰

⎰ 332222

121(1)(1)233

x c x C =-⋅-+=--+.

例4．求不定积分

dx x

e x

⎰

3

.

解

dx x

e x

⎰

3

x d e x d e x x 332233⎰⎰=

=23

e C =+.

2．通过代数变形后再引入新变量

例5．求不定积分

⎰+22x a dx

.

解 ⎰+22x a dx ⎰⎰+==+==22

211)(1)(1u du a a

x a x ad a u a

x

11arctan arctan x

u C C a a a =+=+. 即有公式 ⎰+2

2x a dx =1arctan x

C a a +. 例6．求不定积分⎰-+x

x e

e dx

. 解 ⎰-+x

x e e dx ⎰⎰+=+=1

)(12

2x x

x x e de e dx e arctan x e C =+. 例7．求不定积分

⎰

-2

2

x

a dx )0(>a .

解

⎰-2

2

x

a dx ⎰

⎰

-=-=

2

2

)(1)(11a x

a x

d

a

x dx a arcsin x C a =+ 即有公式

⎰

-2

2x a dx arcsin

x

C a =+ 利用上述公式计算不定积分

⎰

-+2

23x

x dx

.

解

⎰

-+2

23x

x dx ⎰

⎰

++--=-+=1

)12(3232

2

x x dx

x x dx

1

arcsin

2

x C -=

=+. 例8．求不定积分

⎰-22a x dx

. 解 因为)1

1(2112

2

a x a x a a

x +--=-， 所以 dx a

x a x a a x dx ⎰⎰+--=-)1

1(2122

1(ln ||ln ||)2x a x a C a

=--++