2(3).二重积分的换元法
重积分的换元法
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
Ω
= ∫∫∫ f ( r cosθ , r sinθ , z )rdrdθdz .
Ω
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
| J |= r sin ϕ ,
D
y− x y+ x
dxdy, 其中D由 x 轴、y轴和直
所围成的闭区域． 线 x = y − x,
v = y + x,
D
x+ y=2
v−u , 则x= 2
v+u y= . 2
o
v
u = −v
x
v=2
D → D′, 即 x = 0 → u = v;
y = 0 → u = −v; x + y = 2 → v = 2.
变换后区域为
D′ ： x + y = 1 ⇒ u = 1 D′ x = 0 ⇒ u−v = 0 o y=0 ⇒v=0 y ( x + y )2 ∫∫ x + ye dσ = ∫∫′ f ( u, v ) | J | dudv D D
v
u=v
u
v u u u2 1 = ∫ du ∫ ⋅e dv = ∫ ⋅e du = (e − 1). 4 0 0u 0 2
2
∫∫∫ f ( x , y, z )dxdydz =
Ω
∫∫∫
Ω
f ( r sin ϕ cosθ , r sin ϕ sinθ , r cos ϕ )r 2 sin ϕdrdϕdθ .
I 例6 计算三重积分 = ∫∫∫( x + y + z) cos(x + y + z)dv, 其中
二重积分的换元法
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
dxdy
,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin )
r dr
r r2( )
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
D
D
.
说明: (1) 如果Jacobi行列式J(u,v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零,而在其他点上不为零, 则上述换元公式仍成立. (2) 换 元 形 式 的 选 择 ,可 根 据 积 分 区 域 D或 被 积 函 数 f(x,y)选 择 ,使 换 元 后 的 积 分 区 域 D 不 分 块 ,换 元 后 的 被 积 函 数 f(x,y)易 于 积 出 .
一、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
间的关系 xy为 rrscions.,
上式可看成是从 平极 面 r坐 o到 标直角
坐标平x面 oy的一种变即换 对， 于ro平 面上的一M 点(r,)，通过上式变换，变 成xoy平面上的一M点(x, y)，且这种变 换是一对一的．
.
定理 设 f ( x , y ) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x ( u , v ), y y ( u , v ) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D ， 且满足 (1) x ( u , v ), y ( u , v ) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u,v ) ( x , y ) 0;
.
例 1计 算 二 重 积 分 x2y2dxdy,其 中 D是 由 双 曲 线 D
xy1和 xy2,直 线 yx和 y4x所 围 成 的 第 一 象
解 限 内 根 的 据 区 积 域 分 . 区 域 D的 特 点 ， 令 uxy,vy, x
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分的换元法
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
二重积分的所有变换
ax
.
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 yx,y所5x围,x成1 的区域.
yx
x 1
解 易知积分区域可表为
D :0x 1 ,xy 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
D
0x
1(xy3y2)
0
5x x
dx
176x2dx 76.
0
3
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2
D1
D2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
exydxdy( 1exdx)( 2eydy)ex1ey2
0
1
01
D
(e1)(e2e)e(e1)2
或先积 y再积 x
exydxdy
1
dx
2exydy
01
e1 xy
0
2 1
dx
D
1(ex2
0
ex1)dx
(ex2
ex1)
1 0
(e3 e2)(e2 e) e(e1)2
.
例3 计算二重积分 x y.d其x d中y 积分区域 分 D
k
k
r rk x
域的面积
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
二重积分的换元法
机动
目录
上页
下页
返回
结束
*三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
1
D3
机动
o
目录 上页 下页 返回
x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8
二重积分的换元法
y− x y+ x
v−u v+u x= ,y = . 2 2
1 1 1 ∂( x, y) − 2 2 =− , J= = 1 1 2 ∂ ( u, v ) 2 2
v v=2 D′ u = −v u = v
−2
O
2 u
故
∫∫ e D
y− x y+ x
1 dxdy = ∫∫ e − dudv 2 D′
v u v
u v
1 2 1 −1 = e − e −1 . = ∫ dv ∫ e du = ∫0 (e − e )vdv −v 2 2 0
2
例2
计算 ∫∫
D
x2 y2 1 − 2 − 2 dxdy , 其中 D 为椭圆 a b
x2 y2 1 . 2 + 2 = 所围成的闭区域 a b
解
y
b O
作广义极坐标变换 x = aρ cosθ , y = bρ sin θ ,
例1 计算 ∫∫ e
dxdy , D : x = 0, y = 0, x + y = 2 所围 D y 2 成的平面闭区域 . x+ y=2 解 令 u = y − x, v = y + x, D v−u v+u ,y= . 则x= 2 2 O 2 x D → D ′, v v=2 x = 0 → u = v; D′ y = 0 → u = − v; u = −v u = v x + y = 2 → v = 2. −2 2 u O
∂ ( x , y ) a cosθ J= = ∂ ( ρ ,θ ) b sinθ
a
x
D → D′ = {( ρ ,θ ) 0 ≤ ρ ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π},
高等数学二重积分的计算
是由中心在原点，半径为 a 的圆周 所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e
x2
dx .
S
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3
D1
D2
D
Байду номын сангаас
3
x y 4 y r 4 sin
6 x 2 y 2 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1
3
( x
D
2
y )dxdy
2
6
d r rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin 2
sin( x y ) dxdy, 例 5 计算二重积分 2 2 x y D 2 2 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x y 4}.
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2 ( )
1 ( )
重积分换元法
重积分换元法1. 二维情况（二重积分）- 在平面直角坐标系中，对于二重积分∬_{D}f(x,y)dxdy，如果我们作变量替换x = x(u,v)，y=y(u,v)。
- 这里(u,v)是新的变量，并且函数x(u,v)和y(u,v)具有一阶连续偏导数。
- 根据雅可比行列式的定义，雅可比行列式J=(∂(x,y))/(∂(u,v))=<=ftbegin{array}{ll}(∂ x)/(∂ u)&(∂ x)/(∂ v)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂v)end{array}right。
- 那么二重积分的换元公式为∬_{D}f(x,y)dxdy=∬_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]| J| dudv，其中D'是D在uv平面上对应的区域。
2. 三维情况（三重积分）- 对于三重积分∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz，设变换x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z=z(u,v,w)。
- 雅可比行列式J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))=<=ftbegin{array}{lll}(∂ x)/(∂ u)&(∂x)/(∂ v)&(∂ x)/(∂ w)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂ v)&(∂ y)/(∂ w)(∂ z)/(∂ u)&(∂ z)/(∂ v)&(∂z)/(∂ w)end{array}right。
- 换元公式为∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz=∭_{Ω'}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]| J| dudvdw，其中Ω'是Ω在uvw空间中对应的区域。
1. 简化积分区域- 很多时候，原积分区域D（或Ω）的形状比较复杂，通过合适的变量替换，可以将其转化为比较规则的区域D'（或Ω'）。
例如，将一个由复杂曲线围成的平面区域通过极坐标变换转化为矩形区域。
二重积分的换元法
二重积分换元法
哎，说起二重积分换元法，那可真是个让人又爱又恨的家伙。
为啥子这么说呢？因为它能帮咱们解决好多复杂的积分问题，但要是没搞懂，那可就让人头疼了。
二重积分，说白了就是算二维平面上的面积嘛。
有时候，直接算x、y的积分，简直就像是在走迷宫，绕来绕去都找不到出口。
这个时候，换元法就派上用场了。
咱们可以把x、y换成u、v，这样一来，原来的复杂积分就变成了新的、相对简单的积分。
但是，换元不是随便换的，得有个规矩。
这个规矩就是雅可比行列式。
啥子是雅可比行列式呢？说白了，它就是个描述坐标变换关系的工具。
咱们换元之后，原来的面积元素dxdy就变成了新的面积元素dudv，而这个变化关系，就是由雅可比行列式来描述的。
换元的时候，咱们得注意几点。
首先，得找到合适的u、v来替换x、y，这个得靠经验和直觉。
其次，得算出雅可比行列式，这个可是个技术活，得仔细点儿。
最后，还得把原来的积分区域变成新的积分区域，这个也得靠画图和推理。
举个例子来说，要是咱们要算一个椭圆的面积，直接算可能很难，但是咱们可以把它变成圆的形式，然后再用极坐标来算，这样就简单多了。
这个过程中，就用到了换元法和雅可比行列式。
所以说，二重积分换元法虽然复杂，但是只要咱们掌握了它的规律，就能用它来解决好多实际问题。
这就像走迷宫一样，虽然路很难找，但是只要咱们找到了出口，就能顺利地走出去。
8_3重积分的换元法
αβD)(θϕ=r (2θϕ=r注: 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式+∞ − x2 e dx 0 当D 为 R2 时,∫=π2+∞ − x2 e −∞①事实上,∫∫D e− x2 − y2d xd y = ∫d x∫+∞ − y 2 e −∞dy利用例3的结果, 得= 4⎛ ⎜∫ ⎝2+∞ − x 2 e 0d x⎞ ⎟ ⎠24⎛ ⎜∫ ⎝ 故①式成立 .+∞ − x2 e 0−a 2 ⎞ d x ⎟ = lim π (1 − e ) = π ⎠ a → +∞112 2 x + y = 2 ax 例4. 求球体 x + y + z ≤ 4 a 被圆柱面 (a > 0) 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 2 2 2 2解: 设 D : 0 ≤ r ≤ 2 a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 由对称性可知π2zV = 4 ∫∫ = 4∫π0D 24 a 2 − r 2 r d r dθ dθo2y∫02 acosθ4a − r r dr22ax32 3 π 2 32 3 π 2 3 = a ∫ (1 − sin θ ) d θ = a ( − ) 0 3 2 3 312x2 y2 z 2 例5. 试计算椭球体 2 + 2 + 2 ≤ 1 的体积V. a b c 2 2 x y 解: 取 D : 2 + 2 ≤ 1, 由对称性 a b令 x = a r cosθ , y = b r sin θ , 则D 的原象为 D′ : r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π ∂( x, y ) a cosθ − a r sin θ J= = = abr b sin θ b r cos θ ∂( r ,θ )V = 2 ∫∫ z d x d y = 2 c ∫∫DD1−x2 a2−y2 2 d xd by∴ V = 2 c ∫∫D1 − r 2 a b r d r dθ2π 0= 2 abc ∫dθ∫104 1 − r r d r = π abc 3213内容小结(1) 二重积分的换元法x = x(u , v) 下 ⎧ 在变换 ⎨ ⎩ y = y (u , v) ∂ ( x, y ) (u , v) ∈ D′, 且 J = ≠0 ( x, y ) ∈ D ∂ (u , v) 则 ∫∫ f ( x, y ) d σ = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] J d u d vD D′14极坐标系情形: 若积分区域为 D = { (r ,θ ) α ≤ θ ≤ β , ϕ1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ) } 则∫∫D f ( x, y) d σ = ∫∫D f (r cosθ , r sin θ ) rd r dθ= ∫ dθ ∫α β ϕ 2 (θ ) ϕ 1 (θ )f (r cosθ , r sin θ ) rd rβD r = ϕ 2 (θ ) oαr = ϕ1 (θ )15二、三重积分换元法定理: 设f (x, y, z)在有界闭区域Ω上连续变换: ⎧ x = x(u , v, w) ⎪ T : ⎨ y = y (u , v, w) (u , v, w) ∈ Ω′ → Ω ⎪ z = z (u , v, w) ⎩ 满足 (1) x, y , z在 Ω′上 有一阶连续偏导数;(2) 在 Ω′上 雅可比行列式 ∂ ( x, y , z ) ≠ 0; 注 J (u , v, w) = ∂ (u , v, w) (3) 变换 T : Ω′ → Ω 是一一对应的 ,则∫∫∫ = ∫∫∫Ωf ( x, y, z )d x d y d zf ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) J (u , v, w) d u d v d w 16 Ω′常用的变换 1. 柱面坐标变换设 M ( x, y, z ) ∈ R 3 , 将x, y用相应的极坐标 ρ ,θ 代替，则称 （ρ ,θ , z ) 为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:x = ρ cosθ y = ρ sin θ z=z坐标面分别为⎛ 0 ≤ ρ < +∞ ⎞ ⎜ 0 ≤ θ ≤ 2π ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ∞ < z < +∞ ⎠圆柱面 半平面 平面zzM ( x, y , z )ρ = 常数 θ = 常数z = 常数ox ρy θ ( x, y,0)17如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 d v = ρ d ρ dθ d z 因此zρ dθ∫∫∫Ω f ( x, y, z )d xd yd z = ∫∫∫ F ( ρ ,θ , z )ρ d ρ d θ d z Ωxzρodρ dzy其中 F ( ρ ,θ , z ) = f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) 适用范围:θρdθdρ1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 积分次序通常为 z → ρ → θ .18柱面 x 2 + y 2 = 2 x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.例6. 计算三重积分 ∫∫∫ z x 2 + y 2 d xd yd z 其中Ω为由Ω0 ≤ ρ ≤ 2 cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z≤a原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρ dθ d zΩz ao= ∫ zd z ∫0aπ02 dθ∫02 cosθρ2 d ρ2 ρ = 2 cos θ xy=2 π 4a3∫02 cos 3θ8 2 dθ = a 9dv = ρ d ρ d θ d z19d xd yd z , 其中Ω由抛物面 例7. 计算三重积分 ∫∫∫ 2 2 Ω1 + x + y z x 2 + y 2 = 4 z 与平面 z = h (h > 0) 所围成 .hxoy20ox h d d θρρ),,(ϕθr Myo4πRr =o x y2 4πo xy24πvd )作业P163 1(2)(4), 2(2)(4), 3(4),6(1)(3)(6), 7(3), 12, 13, 1531。
二重积分的计算方法资料
二重积分的计算方法资料二重积分是微积分中的重要内容，在物理、工程、统计学等领域都有广泛应用。
本文将介绍二重积分的计算方法，包括定积分计算与几何应用两个方面。
一、定积分计算方法（一）极坐标下的二重积分计算：在极坐标下，平面上的一个点可以用极径和极角来表示。
设区域D由曲线r=f(θ)和两直线θ=a，θ=b（0≤a≤b≤2π）所围成。
要计算D上的二重积分，可以通过极坐标转换来简化计算。
1.若函数f为连续函数，则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫f(r，θ) r dθ dr2.计算时，先按θ积分，再按r积分。
3.需要注意的是，r的取值范围是由f(θ)和直线θ=a，θ=b所围成的区域。
（二）直角坐标下的二重积分计算：在直角坐标系下，可以利用定积分的性质计算二重积分。
设区域D的上下界分别为y=g1(x)和y=g2(x)（a≤x≤b），则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫g2(x) g1(x) f(x,y) dy dx1.计算时，先按y积分，再按x积分。
2.需要注意的是，y的取值范围是由g1(x)和g2(x)所围成的区域。
对于一些复杂的积分，可以通过换元法来简化计算。
一般来说，选择适当的变量替换可以使原积分转化为更简单的形式。
1.平面区域变换：设变换为x = φ(u,v)，y = ψ(u,v)，则有 dA = ，J， du dv，其中J为变换的雅可比行列式，可利用行列式的性质计算。
2.极坐标变换：设变换为x = r cos(θ)，y = r sin(θ)，则有dA = r dr dθ。
3.球坐标变换：设变换为x = ρ sinφ cosθ，y = ρ sinφ sinθ，z = ρcosφ，则有dV = ρ^2 sinφ dρ dφ dθ。
（四）离散型二重积分与曲边梯形面积：如果函数f(x,y)是有界函数，并且在区域D上有无穷多个不连续点，则可以通过计算曲边梯形面积来近似计算二重积分：I ≈ ∑f(xi,yi) ΔA = ∑f(xi,yi) Δx Δy其中(Δx,Δy)为曲边梯形的底边与两侧边长，(xi,yi)为底边上的任意点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例5
2 y 求椭球体 x2 + 2 + z 2 ≤ 1 的体积. a b c 2
2
二、小结
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
∂( x, y) 1 2. J = = . ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) ∂( x, y)
= 2∫
1
−1
1 − u 2 f ( u a 2 + b 2 + c )du ,其中 D 为
练习题答案
7 一、1、 ln 2 ； 3 1 二、 . 8
5 2、 π . 32
课堂练习 1. 计算
∫∫
D
2 2 其中 D : x + y ≤ 3. | x + y − 2 | dσ , 2 2
y ( x + y )2 e dσ , 其中 D 是由直线 2. 计算重积分 ∫∫ x+ y D x + y = 1, x = 0 和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分: 1 、 ∫∫ x 2 y 2 dxdy , 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 xy = 2 , 直线 y = x 和 y = 4 x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域. 2 、 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy ,其中 D 是椭圆区域:
则有
∫∫ f ( x , y )dσ
D
= ∫∫
D′
∂( x, y) dudv . f [ x ( u, v ), y( u, v )] ∂ ( u, v )
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
一般曲线坐标系中二重积分的计算 面积微元.
x = x ( u, v )、 y = y ( u, v )
在 D′ 上有一阶连续偏导数, 且∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x ∂x ∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
D
x 2 + 4 y 2 ≤ 1. 二、设 D 是由曲线 y = x 3 , y = 4 x 3 , x = y 3 , x = 4 y 3 所围 成的第Ⅰ象限部分的闭区域, 求其面积. 三、试证: ∫∫ f (ax + by + c )dxdy
D
D
x 2 + y 2 ≤ 1, 且a 2 + b 2 ≠ 0 .
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
注: 对极坐标变换 x = r cos θ , y = r sin θ .因为
∂ ( x , y ) cos θ = ∂ ( r ,θ ) sin θ
所以
D D′
− r sin θ = r, r cos θ
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
第二节 二重积分的计算法
二重积分的一般变换
第九章
一般曲线坐标系中二重积分的计算 设函数 f ( x , y )在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uOv平面上的闭区域 D′ 一一对应地变为 xOy 平面上的闭区域 D , 其中函数
一般地,如果区域 D 能用某种曲线坐标表示,使得 积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简 积分的计算.
例1 计算其中由轴、轴和直 D ∫∫ e dxdy,
D
y− x y+ x
x
y
y
2 x+ y= 线所围成的闭区域．
x+ y=2
D
o v
u = −v
x
v=2
D′
u=v
o
u
例2
xy = a , xy = 2a , y = x , y = 2 x ( x > 0, y > 0)
2 2
求曲线
所围平面图形的面积.
例3 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by y 2 = qx x2 = a y
y
D y 2 = px
O
b
v
D′
x
a O p
q u
例4
x2 y2 计算其中为 1 − 2 − 2 dxdy , ∫∫ a b D
D
x2 y2 椭圆所围成的闭区域． 1 + 2 = 2 a b