离散数学 第三章的课件

若（A1A2…AkB）为 矛盾式，则说明 (A1A2…Ak) B是重言 式，即： A1A2…Ak B，故推理正确。 这种将结论的否定式作为附 加前提引入并推出矛盾式的 证明方法称为归谬法。
归谬法实例
例3.6 在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜； 或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获 得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队 投球。 解 先将简单命题符号化: 设 p:小张守第一垒。 q:小李向B队投球。 r:A队取胜。 s:A队获得联赛第一名。 前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q 证明：用归谬法
直接证明法 附加前提证明法 归谬法（反证法）
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直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：p q,q r,p s, s 结论：r(p q) （2）前提： p q,r q,r s 结论：p s (1) 证明: ① ps 前提引入 ② s 前提引入 ③ p ①②拒取式 ④ pq 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ q r 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ r(p q) ⑦④合取引入 所以推理正确， r(p q)是有效的结论
推理实例
例3.2 判断下面推理是否正确 (4)若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不去看电影 了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了30℃。 （4）解： 设 p：下午气温超过30℃。 q：王小燕去游泳。 r： 王小燕去看电影。 前提：p→q，q→┐r 结论：┐r→p 推理的形式结构： ((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p) 用主析取范式法判断上式是否为重言式。 ((p→q)∧(q→┐r))→(┐r→p) ┐((┐p∨q)∧(┐q∨┐r))∨(r∨p) ((p∧┐q)∨(q∧r))∨r∨p r∨p (用两次吸收律) (p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r) ∨(p∧q∧r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧r) m1∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7
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直接证明法例题
前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r 证明： ① p∧┐s 前提引入 ②p ①化简 ③ ┐s ①化简 ④ p→(q∨r) 前提引入 ⑤ q∨r ②④假言推理 ⑥ ┐s→┐q 前提引入 ⑦ ┐q ③⑥假言推理 ⑧r ⑤⑦析取三段论
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附百度文库前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式 欲证 前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB 等价地证明 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B 理由： (A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
推理实例
例3.2 判断下面推理是否正确 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳了。 解： (3)设 p：马芳下午看电影。 q：马芳下午去游泳。 前提：p∨q，┐p 结论：q 推理形式结构：((p∨q)∧┐p)→q 用等值演算法来判断上式是否为重言式。 ((p∨q)∧┐p)→q ┐((p∨q)∧┐p)∨q (┐(p∨q)∨p)∨q ((┐p∧┐q)∨p)∨q ((┐p∨p)∧(┐q∨p))∨q ┐q∨p∨q 6 1 这说明上式为重言式，所以推理正确。
3．推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与通常的推理是不同
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例3.1 判断下列推理是否正确： (1){p,p→q} ├ q (2){p,q→p} ├ q 解 只要写出前提的合取式与结论的真值表，看是否出现前提合取式为真， 而推论为假的情况。
(1)由上表可知，没有出现前提合取式为真，而结论为假的情况，因 而(1)中推理正确，即{p,p→q} q.
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附加前提证明法实例
例3.5 在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不 去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵 去看电影时，小李也去看电影. 解 用附加前提证明法构造证明 (1)将简单命题符号化： 设 p:小张去看电影. q:小王去看电影. r:小李去看电影. s:小赵去看电影. (2) 推理的形式结构 前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r
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直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： （1）前提：p q,q r,p s, s 结论：r(p q) （2）前提： p q,r q,rs 结论：ps (2) 证明: ① p q 前提引入 ② pq ①置换 ③ r q 前提引入 ④ qr ③置换 ⑤ pr ②④假言三段论 ⑥ r s 前提引入 ⑦ ps ⑤⑥假言三段论 所以推理正确， ps是有效结论得证
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归谬法（反证法）
归谬法 (反证法) 欲证 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由 A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
(12) 合取引入规则 A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则 AB CD BD ∴AC
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在自然推理系统P中构造证明
设前提A1, A2,, Ak,结论B及公式序列C1, C2,, Cl. 如果每 一个Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理 规则得到, 并且Cl =B, 则称这个公式序列是由A1, A2,, Ak推 出B的证明
(2)由上表可知，在赋值为10情况下，出现了前提合取式为真，而结 论为假的情况，因而(2)推理不正确，即{p,q→p} q.
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推理的形式结构
定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 推理的形式结构 1. {A1, A2, …, Ak} B 若推理正确, 记为{A1,A2,,Ak} B 2. A1A2…AkB 若推理正确, 记为A1 A2 … Ak B 3. 前提： A1, A2, … , Ak 结论： B 判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法
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直接证明法例题
例3.4 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 若数a是实数，则它不是有理数就是无理数；若a不能 表示成分数，则它不是有理数；a是实数且它不能表示成 分数。所以a是无理数。 解 首先将简单命题符号化： 设 p：a是实数。 q：a是有理数。 r：a是无理数。 s：a能表示成分数。 前提：p→(q∨r), ┐s→┐q, p∧┐s 结论：r
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归谬法证明实例
前提：(p∧q)→r,┐r∨s,┐s ,p 结论：┐q 证明：用归谬法 ①q 结论的否定引入 ② ┐r∨s 前提引入 ③ ┐s 前提引入 ④ ┐r ②③析取三段论 ⑤ (p∧q)→r 前提引人 ⑥ ┐(p∧q) ④⑤拒取式 ⑦ ┐p∨┐q ⑥置换 ⑧p 前提引入 ⑨ ┐q ⑦⑧析取三段论 ⑩ q∧┐q ①⑨合取 由于最后一步q∧┐q 0，即 (((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q 0，所以推理正确。 24
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3.2 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I). 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中<A(I),E(I)>是 I 的形式语言 系统, <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统.
自然推理系统: 无公理, 即AX(I)= 公理推理系统: 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理
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自然推理系统P
定义3.3 自然推理系统 P 定义如下: 1. 字母表 (1) 命题变项符号：p, q, r, …, pi, qi, ri, … (2) 联结词符号：, , , , (3) 括号与逗号：(, ), ， 2. 合式公式（同定义1.6） 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
第三章 命题逻辑的推理理论
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
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3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，或者 A1A2… Ak 为假，或者当A1A2…Ak为真时，B也为 真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或 正确的, 并称B是有效结论. 几点说明： 1．由前提A1,A2,…,Ak推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次 序无关。 2．设A1,A2,…,Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值前 提和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0. (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1. (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0. (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1.
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推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
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附加前提证明法实例
(2) 推理的形式结构 前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r (3) 证明 ①s 附加前提引入 ② ┐s∨p 前提引入 ③p ①②析取三段论 ④ (p∧q)→r 前提引入 ⑤q 前提引入 ⑥ p∧q ③⑤合取 ⑦r ④⑥假言推理
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不用附加前提法证明
(2) 推理的形式结构 前提：(p∧q)→r,┐s∨p,q 结论：s→r (3) 证明 ① ┐s∨p 前提引入 ②s→p ①置换 ③ (p∧q)→r 前提引入 ④ ┐ p ∨ ┐ q∨ r ③置换 ⑤q 前提引入 ⑥┐p∨r ④ ⑤ 析取三段论 ⑦ p →r ⑥置换 ⑧ s→r ② ⑦ 假言三段论
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推理实例
例3.2 判断下面推理是否正确 (1)若a能被4整除，则a能被2整除； a能被4整除。所以a能被2整除。 (2)若a能被4整除，则a能被2整除； a能被2整除。所以a能被4整除。 (3)下午马芳或去看电影或去游泳；她没有看电影。所以，她去游泳了。 (4)若下午气温超过30℃，则王小燕必去游泳；若她去游泳，她就不去看 电影了。所以王小燕没有去看电影，下午气温必超过了30℃。 解 (1)设 p：a能被4整除。 q ： a能被2整除。 前提：p→q，p 结论：q 推理的形式结构：(p→q)∧p→q 由例3.1可知，此推理正确，即(p→q)∧p q。 （2）设p，q的含义同(1)。 前提：p→q，q 结论：p 推理的形式结构：(p→q)∧q→p 5 在此推理中，容易看出01是以上形式结构的成假赋值，所以(2)推理不正确。
7 可见上式不是重言式（主析取范式中少两个极小项 m0，m2），所以 推理不正确。
推理定律——重言蕴涵式
A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA