人教版八年级培优课堂讲义 第01讲 认识三角形(无答案)

第01讲认识三角形
考点·方法·破译
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.
2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.
3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .
4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.
6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
经典·考题·赏析
【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.
【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，
【变式题组】
01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.
02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.
03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().
A．1B．2C．3D．4
【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.
【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则
三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818
2
＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于
第三边.
解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.
【变式题组】
01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是()
A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm
02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()
A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm
03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.
【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.
【变式题组】
01．如图，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝______________.
02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若一腰上的高为4cm，则DE+DF＝______________.
03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________.
【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即
，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】
01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.
02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.
03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.
【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.
【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝1
2
∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB
C D (第2题图)
C
＝180°－
12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+1
2
∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】
01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________. °，点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，则∠OPC ＝______________.
03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.
【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.
【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －
1
2
(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝1
2
(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°.
【变式题组】
01.如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE ＝__________.
02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一
动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.
【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°
【变式题组】
01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向
旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.
02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝
______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)
3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.
演练巩固·反馈提高
01．如图，图中三角形的个数为( )
(例6题图)
E D
A．5个B．6个C．7个D．8个
02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不确定
03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()
A．1个B．2个C．3个D．4个
04．下列语句中，正确的是()
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是()
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定
06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是()
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定
07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________.
08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.
09．如图，在△ABC中，△A＝42°，△B与△C的三等分线，分别交于点D、E，则△BDC的度数是______________.
10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜△、△之间来回反射，已知△α＝55，△γ＝75°，△β＝______________.
11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.
12．如图，已知: △1＝△2，△3＝△4，△BAC＝63°，则△DAC＝______________.
13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，△DAE＝1
3
△BAC，求△BAC
的度数
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01．在△ABC中，2△A＝3△B，且△C－30°＝△A+△B，则△ABC是()(第13题图)
D E
C
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形
B．C．
02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个
03．在△ABC中，△A＝50°，高BE、CF交于O点，则△BOC＝______________.
04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______________.
＝______________.
06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?
07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件
的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)
08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，
于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?
09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼
成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?
10．如图，在△BCD中，BE平分△DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分△DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若△A
＝30°，△DFE＝75°.
(1)求证: △DFE＝△A+△D+△E；
(2)求△E的度数；。