梁的弯曲工程力学

第三章 梁的弯曲
3.1 平面弯曲的概念 3.2 梁的内力——剪力与弯矩 3.3 剪力图与弯矩图 3.4 弯矩、剪力和载荷集度间的关系 小 结
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3.1 平面弯曲的概念
3.1.1 平面弯曲的概念
在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力(即横 向力)作用。其变形特点是：杆的轴线被弯成一条曲线。这种 变形称为弯曲变形。在外力作用下弯曲变形或以弯曲变形为 主的杆件，习惯上称为梁。
3.2.2 剪力和弯矩的符号规定
横截面上的剪力在数值上等于该截面左段(或右段)梁上所有
外力的代数和，即
FQ F
(3.1)
横截面上的弯矩在数值上等于该截面左段(或右段)梁上所有
外力对该截面形心C的力矩的代数和，即
M M C
(3.2)
外力和外力矩正、负号的确定应遵循
一个简单的口诀“计算剪力—外力左上右下为正；计算弯 矩—外力矩左顺右逆为正”。
载荷集度(设q向上为正)
dM(x) dx
ql 2
qx
FQ
(x)
dFQ (x) q dx
(3.3)
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3.4 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
由式(3.3)不难看出
d 2M (x) dFQ (x) q(x)
(3.4)
dx 2
dx
式(3.4)表明了同一截面处M(x)，FQ(x)，q(x)三者之间的关系。
把梁截开，把梁分成左、右两段，并以左段(也可取右段)部 分为研究对象(图3-5b)。由平衡条件可知，在横截面1-1上必
定有维持左段梁平衡的横向力FQ以及力偶M。按平衡条件，有
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3.2 梁的内力——剪力与弯矩
Fy 0
得
FA- FQ-F1=0 FQ=FA-F1
以截面形心C1为矩心，再由
MC1 0
FA x F1(x a) M 0
得
M FA x F1(x a)
可见梁弯曲时，横截面上一般存在两个内力元素，其中FQ是
横截面上切向分布内力分量的合力，称为横截面1-1上的剪力；
M是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，称为横截面1-1
上的弯矩。
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3.2 梁的内力——剪力与弯矩
当作用于梁上的所有外力(包括支座反力)都位于梁的纵向对 称平面内时，梁的轴线在纵向对称平面内被弯成一条光滑的 平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲 。
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3.1 平面弯曲的概念
3.1.2 梁的计算简图及分类
工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂，为了 便于分析和计算，必须对梁进行简化，包括梁本身的简化、载 荷的简化以及支座的简化等。
找出梁危险截面的位置。所以，正确绘制剪力图和弯矩图是 梁的强度和刚度计算的基础。
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3.4 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
3.4.1 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
梁的剪力方程和弯矩方程分别为
FQ
(x)
ql 2
qx
M (x) ql x q x2 22
若将弯矩方程和剪力方程分别对x求导，则可分别得剪力方程和
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3.2 梁的内力——剪力与弯矩
3.2.1 截面法求内力——剪力与弯矩
平面弯曲梁横截面上的内力分析是对梁进行强度和刚度计算 的基础，为了求出梁横截面上的内力，仍然要采用截面法。
如图3-5a所示简支梁受集中力F1、F2、F3作用，为了求出距A 端x处的横截面1-1上的内力，首先按梁的静力平衡条件，求 出梁在载荷作用下的支座反力FA和FB，然后沿截面1-1假想地
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3.4 弯矩、剪力和载荷集度间的关系
3.4.2 利用M(x)，FQ(x)，q(x)三者之间的关
系绘剪力图和弯矩图
掌握了弯矩、剪力和载荷集度间的关系，有助于正确、简捷地绘制 剪力图和弯矩图。同时也可检查已绘制好的剪力图和弯矩图，判断 其正误。
从式(3.3)和集中力、集中力偶作用处内力图的变化规律，可以
的梁(图3-1) (2) 外伸梁 一端或两端伸出支座之外的简支梁(图3-2) (3) 悬臂梁 一端为固定端支座、另一端自由的梁(图3-3)
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3.1 平面弯曲的概念
上述三种类型的梁在承受载荷后，其支座约束力均可由静力平 衡方程完全确定，这些梁称为静定梁。如梁的支座约束力的数 目大于静力平衡方程的数目，应用静力平衡方程无法确定全部 支座约束力，这种梁称为超静定梁(图3-4)。
将剪力图、弯矩图和梁上载荷三者之间的一些常见的规律小结。
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小结
(1) 直梁的纵向对称平面内受到外力(或力偶)作用时，梁的 轴线由直线变成为一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲。
1. 梁本身的简化 不管直梁的截面形状多么复杂，都简化为一直杆，通常用梁的
轴线来表示。
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3.1 平面弯曲的概念
2. 载荷的简化 作用于梁上的外力，包括Biblioteka Baidu荷和支座反力，可以简化为集中力、
分布载荷和集中力偶三种形式。当载荷的作用范围较小时，简化 为集中力；若载荷连续作用于梁上，则简化为分布载荷。
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3.3 剪力图与弯矩图
3.3.1 剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随截面位置而发生变
化的。如果把梁轴线作为x轴，横截面的位置可用x来表示，则梁 内各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数，即
MFQ
FQ (x) M (x)
上述两式即为梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方
沿梁轴线单位长度上所受的力即载荷集度，以q(N/m)表示
集中力偶可理解为力偶的两力分布在很短的一段梁上。 3. 支座的简化 根据支座对梁约束的不同特点，支座可简化为静力学中的三种形
式：活动铰链支座、固定铰链支座和固定端支座。
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3.1 平面弯曲的概念
4. 梁的基本形式 根据支承情况，可将梁简化为三种形式： (1) 简支梁 一端是活动铰链支座、另一端为固定铰链支座
程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力(包括支座
反力)、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。
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3.3 剪力图与弯矩图
3.3.2 剪力图与弯矩图
为了明显地看出梁的各横截面上剪力和弯矩沿梁轴线的分布
情况，通常按FQ=FQ(x)和M=M(x)绘出函数图形，这种图形分
别称为剪力图与弯矩图。 利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，