《大学物理》静电场 (2)

面带电体：
dq dS （为电荷面密度）
线带电体：
dq dL（为电荷线密度）
1 dV
E
V 40
r2
er
1 dS
E
S 40
r2
er
E
L
1
4 0
dL
r2
er
5. 电偶极子的电场强度
电偶极矩（电矩） p ql
q
p
q
讨论
l
1） 电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
q O q
l/2 l/2 x
于该曲面所包围的电荷的代数和的 0 分之一倍
Φe
E dS 1
S
0
qi
i
电磁场的基本定理之一
2. 高斯定理的验证 库仑定律 电场强度叠加原理
1) 点电荷位于球面中心
E
q
4 0r 2
Φe
E dS
S
S
q
4 0 r 2
dS
Φe
q
0
高斯 定理
r
dS
+
S
2) 点电荷在任意封闭曲面内
连续性 注意：从点电荷 q 发出的电场 线连续地延伸到无限远处。
写出 E E(r) 的分区函数
1. 均匀带电球面的场强分布。设球面半径为R，带电 量为q。
对称性分析： 球对称
r
+ +
+ +dq
O
+
+ +
P
+R +
dE
r
S2 + +dq +
场源的对称性决定着场强分布的对称性，因此场强 具有与场源同样的球对称性。
求解均匀带电球面的电场分布
解：(1) r R
q
非均匀场，任意曲面
小面元 dS dSen
dΦe E dS
E dS
en
E
Φe
dΦe
E dS s
面积分
任意封闭曲面
en 规定为封闭曲面的外
法线方向
1
2
,
2
2
,
dΦe1 0 dΦe2 0
E
E2
2
dS1
1
E1
dS2
dΦe E dS
Φe
E dS
S
E cos dS
S
闭合面积分
底面积
2SE S＇ 0
E 20
E
E S＇
E
S＇
E
S＇
讨论1.
E
2 0
均匀场
E
EE
E
x
O ( 0)
E
2.两块带电等量异号电荷的“ 无限
大 ”平行平面的电场强度可由电场
强度叠加原理求得
（一）
（二）
E
板间电场 板外电场
E
2 0 2 0 0
E
0
2 0 2 0
（三）
高斯定理计算电场总结： (1) 高斯面必须经过所求场强的点；
静电场的特点就是对放入其中的电荷具有力的 作用，当电荷在电场中运动时，电场力会对其 做功。
下面将从力和能量角度研究电场的性质和规 律并由此引进描写电场性质的两个物理量电场 强度和电势
四 电场强度
1. 电场强度
E（描写电场性质的物理量）
F
q0
F
E q0
Q
q0--试探电荷：点电荷，足够小电荷
大小：单位电荷所受的电场力 方向：正电荷受力方向
A
E E x
q O q
l/2 l/2 x
A
E E x
1
q
E 40 (x l / 2)2 i
1
q
E 40 (x l / 2)2 i
E
E
E
q
40
(
x2
2xl l2 /
4)2
i
x l
E 1 2lq i
40 x3
1 2p
40 x3
2） 电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
E
1
4 0
q r 2
单独存在时，在该点产生的电场强度的矢量和----电场强度
的叠加原理
4. 带电体的电场强度
dE
1
4 0
dq r2
er
（电荷元
1 dq
d）q
E dE 40 r2 er
++++++++++++++++++d+++q++
++ + +
Hale Waihona Puke Baidu
P
对不同电荷分布的带电体可分别写作
体带电体：
dq dV （ 为电荷体密度）
E dS
S1
0
4r 2E q 0
(2) 0 r R
E dS 0 S2
4r 2E 0
E
q
4 0 r 2
er
E0
r
P
+
+
+
+
+O
+ +
+R +
S1 + + +
+ +
+S2+
+
Or +
+
+ RP +
+ ++
结论：
++ +
a. 均匀带电球面外的场强分 +
布正象球面上的电荷都集中 + O
+ +
e
1q
E
4 0
r2
e
y E
E
B
r r r
y2 ( l )2 2
E E x Ex
2Exi 2E cos i
cos l / 2
r
E y
e
r
r e
q
q
l
x
1q
E E 40 r 2
y E
E 2E cos i
E
B
2 1
4 0
q r2
l
/2i r
1
4 0
ql r3
i
E e r
q
y r e q
三
利用高斯定律求静电场的分布 Φe
E dS 1
S
0
qint
高斯定理普遍适用于任何静电场，当电荷分布具有
某种对称性时，可用高斯定律求出该电荷系统的电
场的分布，这比用库仑定律简便。求解的关键是选
取适当的高斯面。
步骤： 场强的对称性分析：依据电场叠加原理； 根据对称性作合适的高斯面； 应用高斯定理计算。
2. 密度小的区域，电场线疏稀，表示该处的场强 较弱。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
小结
电场线的性质：
(1) 静电场中任何一条电场线，都是起自正电荷(或 来自无穷远处)，终止于负电荷(或伸向无穷远)，它 们不会在没有电荷的地方中断，更不会回到电场线 的起始点上的电荷处而形成闭合的回线。
s(侧面）
x
+
en
E
en y
E dS
EdS
S
s(侧面）
E dS h
s(侧面）
0
2rhE h 0
E 2 0r
z
en
+
E
+
h
r
+
+o
en y
x
+
en
4. 无限大均匀带电平面的场强分布。设其面电荷密
度为 。
解：对称性分析：E 垂直于平面
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0
S
0
E
q
4 0 r 2
er
P
q ＋＋＋＋ ＋O＋＋＋＋r＋＋R＋＋＋
(2) r < R 时，高斯面内电荷为q’：
q
V
q
4 R3
4 r3
3
r3 R3
q
3
q ＋＋＋＋ ＋O＋ r＋＋＋＋＋R＋ P＋＋
Φe
E dS E 4 r2 q r3 q
S
0 R3 0
qr
E 4 0R3
E
q
4 0 R3
1
4 0
ql i (y2 l2
)3/2
4
l
x
y l
E
1
4 0
ql i y3
1 p
40 y3
场强叠加原理不要求计算，课本5-2,5-3 可以不看。
第二节 电通量 高斯定理
一. 电场线 1. 一系列带箭头的曲线：曲线上每一点的切线方向 都和该点的场强方向一致，这些线称为电场线。
F
q0
d
d
2. 场强的大小：在电场中任一点，假想作一个面积
q2 B
不变化
2. 在点电荷 q和 q的静电场中，做如下的三个闭合
面 S1, S2 , S3, 求通过各闭合面的电通量。
q
Φe1
E dS
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2 S3
3. 在点电荷 q和 q的静电场中，做如下闭合面S，
求通过闭合面的电通量。
q q
通过闭合面的电通量等于0。 思考：闭合曲面S上任意点的电场强度为0吗？
元 dS ，与该点场强 E 的方向相垂直(上图)，使得
通过这面积元所画的电场线条数 dΦe 满足以下的关
系：
E dΦe
dS
结论：
E dΦe dS
在电场中任一点处的电场线数密度在数值上等于 该点处场强的大小。
用电场线数密度来表示场强的大小 E 时
1. 密度大的区域，电场线密集，表示该处的场强 较强；
电荷的量子e 1.6021019c
二.库仑定律
1. 库仑定律（两个点电荷之间相互作用力）
F12
k
q1q2 r122
e12 (或F12
k
q1q2 r123
r12 )
k 8.988109 N • m2 • C2
q1 e12
q2 r12
2. 几点说明
（1）在国际单位制中，通常采用
k 1
0 8.851012 库仑定律写成
面元 dS 在垂直于场强方 向的投影是：
dS dS cos
注意：通过 dS 和 dS的电场线条数是一样的。
通过面元dS的电通量： dΦe EdS EdS cos
由于 为 dS 和 E 之间的夹角，得：
en
S
dΦe EdS cos E dS
E
注：
当 0 / 2 时， de 为正 ； 当 / 2 时， de 为负 。
S’
+
Φe
E dS q
S
0
S
3) 点电荷在封闭曲面之外 穿入的电场线的条数 = 穿出的电场线的条数
Φe
E dS 0
S
单个点电荷的高斯定理
q
Φe
E dS q
S
0
4) 由多个点电荷产生的电场
E E1 E2 E3 E4
Φe
E dS
S
S (E1 E2 E3 E4 ) dS
第五章 静电场
相对观察者静止的电荷所激发的电场
第一节 静电场 电场强度 一.电荷
1. 电荷的正负性 自然界上存在正负两种电荷
2. 电荷守恒定律 孤立系统中电荷的代数和保持不变
3. 电荷量子化 任何电荷的电量是某个基本单元的整 数倍 “微观世界的一个特殊概念,按某种规律取分 立值的物理量。”
q n • e(n 1,2,3,)
匀带正电的直线，其线电荷密度为 。
解：
对称性分析： 轴对称
场强具有与场源同样的 轴对称性。
z
+
++ dq
+
dE
+o
y
x
++ dq
求解无限长均匀带电直线的电场分布
选取闭合的柱形高斯面
E dS S
z
en
++
E dS
E dS
E dS
s(侧面）
s(上底）
s(下底）
h
+
r
+
+o
E dS
E
dS
E
E cosdS E cosdS
S入
S出
结论1：
通过整个封闭曲面的电通量 e 就等于穿出与穿入
封闭曲面的电场线的条数之差，也就是净穿出封闭 面的电场线的总条数。
Φe
E dS
S
E cos dS
S
Φe
E cosdS
S入
E cosdS
S出
E
dS
E
结论2：对封闭曲面
(1) 若e > 0，即电通量为正，则有净的电场线从
封闭曲面外的电荷对电通量无贡献；而高斯定律中
的场强则是由全部电荷（曲面内和曲面外）产生的。
2. 上节所说的电场线起始于正电荷、终止于负电荷 的这一性质，是高斯定理的必然结果。这一性质显 示了静电场是有源场。
+
讨论
1. 将 q2 从A移到B点P电场强 度是否变化？ 变化
q2 A P*
s
q1
穿过高斯面S的 Φe有否变化？
rer
结论：
a. 均匀带电球体外的场强分 布正象球体上的电荷都集中 在球心时所形成的点电荷在 该区的场强分布一样。
E
q
4 0 r 2
er
q ＋＋＋＋＋O＋＋＋＋＋＋R＋＋＋
E
b. 在球体内的场强与场点离 球心的距离成正比。
E
qr
4 0 R3
er
R
r
均匀带电球体的电场
3. 无限长均匀带电直线的场强分布。设一无限长均
S E1 dS S E2 dS S E3 dS S E4 dS
Φe1 Φe2 Φe3 Φe4
0 0 q3 q4
0 0
Φe
E dS 1
S
0
qint
q1
q2
q4 q3
s
注意：
Φe
E dS 1
S
0
qi
i
1. 通过封闭曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，
2. 点电荷电场强度
pF
Q E F
q0
思考：
r
1 Qq0
40 r2
q0
0 E
er 1
4 0 ?
Q r2
er
r er
q0
3. 点电荷系的电场强度
由 Q1,Q2点, Q电3 荷组成的点电荷系的电场强度
F4
Q2
Q1
F3
即：
E
E1
E2
E3
Q3
F2
Q4
F1
点电荷系在某点
p产生的电场强度等于各点电荷
c
2
N m 1 2 (真空中电容率）
F12
1
4 0
q1q2 r122
e12
（2）库仑定律中反平方比的规律的验证
2 n F k q q e 设指数 的偏差为
，则
12
n 10 r 现已测得指数
不超过
16
4 0
12 2n 12
三.电场
静电场：（静）电荷在其周围所激发的 “ 特殊 ” 物质电荷间的相互作用是通过电场来实现
在球心时所形成的点电荷在 该区的场强分布一样。
+R
++
+ +
E
q
4 0 r 2
er
E
b. 在球面内的场强均为零。
E0
R
r
均匀带电球面的场强
2. 均匀带电的球体内外的场强分布。设球面半径为 R，带电量为q。
选高斯面为同心球面。
(1) r > R 时，高斯面内电荷为q：
Φe
E dS E 4 r2 q
(2) 因为在静电场中任何一点（除点电荷所在处以 外），只有一个确定的场强方向，所以任何两条 电场线不可能相交。
E ＋
E’
二. 电通量
定义：以 dS 表示电场中某一个假象的面元，通过 此面元的电场线条数即为通过这一面元的电通量。
均匀场,平面
de E dS E
en 定义矢量面元 dS dSen
曲面之内向外穿出；
(2) 若e < 0，即电通量为负，则有净的电场线从
外部穿入曲面。
二 高斯定理
1. 高斯定理
德国数学家和物理学家高斯(K.F.Gauss)曾从理论上 证明，静电场中任一封闭曲面上所通过的电通量与 这一封闭曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的 量值关系，这一关系被称为高斯定理：
通过真空中静电场内任意封闭曲面 S 的电通量，等