第五章 单自由度系统的振动

上式也可改写为
F (t ) c0 ck cos(kt k )

式中
c0 a 0 / 2 ck ak2 bk2 bk k arct an ak
Cx Kx c0 ck cos(kt k ) M x
k 1
k 1
若系统的质量、刚度和阻尼分别为M、K和C，则此时受迫振动的微分方程为
c0相当于一个静载荷，它不引起振动，而只改变系统的静平衡位置。若令
k k
则稳态响应可以写为
ck x k cos(k t k k ) k 1 K
x e ( x0 cosd t
at
也可改写为 式中
d x Aeat sin(d t )
0 ax0 x
0 ax0 x
sin d t )
2 A x0 (
d
)2
arctan
d x0
0 ax0 x
从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其 振动圆频率为d ，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振 动的固有频率 n 略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给 出了这种衰减振动的响应曲线。

x A sin(nt )
式中：A称为振幅； 称为初相位，单位为rad。 无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。
设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得
2 A x0 (v0 / 0 ) 2
x00 arctan 0 x
2、工程实例 机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内 部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或 产生振动时，构件要产生动变形和动应力。
二、周期激振力作用下的受迫振动
1、叠加原理 线性微分方程描述的系统为线性系统。线性系统满足“叠加原理”。 所谓叠加原理就是说，如果系统在激振力F1（t）的作用下的响应是x1（t）， 在激振力F2（t）作用下的响应是x2（t），则当以F1（t）、F2(t)的线性组 合c1F1(t)+c2F2(t)激励系统时，系统产生的响应为c1x1（t）+c2x2（t）。其 中，F1（t）、F2（t）是任意函数c1、c2为任意常数。 2、用傅里叶级数法求解振动响应 设激振力F（t）是一个任意的周期函数，周期为T，圆频率为 只要函数F（t）满足狄利克雷的充分条件，就能展成傅里叶级数
在这个例题中，造成振动的原因是衣物不可避免地要偏离旋转中心。在 水泵、磨床、内燃机等机器中，高速旋转的叶轮、砂轮轴、曲轴必须进行 平衡，就是为了尽量地减小质心相对旋转中心的偏移量。
3、工程实例之二：隔振问题
一些机器本身是振源，要采取一些措施将机器与地基隔离开来，以减少 振动对周围环境的影响，称为主动隔振。还有一种情况，振源来自外界，要 使外界的振动较少地传到机器中来，以保持机器（例如精密磨床）的加工精 度而采取的隔振措施，称为被动隔振。 例题： 在上例中加了弹簧和阻尼来减振，从而使洗衣机的振动较少地传播到周 围环境中去。试分析未采取隔振措施时和采取隔振措施后洗衣机传递到地基 的作用力。 解： 当未加隔振时（如图a），作用于地基的力就是离心惯性力，其最大值 为 2
arctan
2 1 2
F0 F0 h st 2 2 k mn n
λ——频率比，激振频率与固有频率之比
n
方程的全解为
x x1 x2 ent (C1 cosd t C2 sin d t ) B cos(t )
式中：
2 n 2a
F c 2 k , n , h 0 m m m
根据微分方程的理论，非齐次方程的全解由两部分组成：与之对应的齐 次方程的通解x1和非齐次方程的特接x2。则通解为
x1 ent (C1 cosd t C2 sin d t )
式中C1、C2为积分常数。
当不存在外加激振力，且不考虑阻尼时，上式可简化为 无阻尼自由振动方程 kx 0 m x 这是振动的最简单情况。令 k m 则无阻尼自由振动方程可改写为
x 0 x λ为正实数，根据微分方程的理论，这一齐次线性微分 方程的解具有如下形式： x A1 cosnt A2 sin nt
式中
k n m
称为系统的圆频率，单位为rand/s。
1 1 f n 2 2
k m
称为系统的频率，单位为Hz（赫兹）。 n 和f的单位虽不 同，但他们只和系统的固有参数有关，因此也均称为系统 的固有频率。 振动的周期T为
1 1 T 2 f n
单位为s。齐次线性微分方程的解还可表示为
(0) v0 ，则可求得全解为 x 取初始条件为x(0)=x0，
d n cos( ) sin( ) t Be [cos( ) cosd t sin d ] d
n
x B cos(t ) e nt ( x0 cosd t
E
L
0
1 x 2 1 qL 2 q( X ) dx ( ) X 2 L 2 3
二、有阻尼自由振动
物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩 擦等，这类阻力统称为阻尼。 阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性 阻尼。粘性阻尼的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻 尼力的方向与速度相反。采用粘性阻尼使得在数学处理上 大为简化。有阻尼自由振动的运动微分方程为
§5.2 单自由度系统的受迫振动
一、简谐激振动作用下的受迫振动
1、理论分析 在简谐激振力 F (t )
F0 cos(t )
的作用下，系统的运动方程为
cx kx F0 cos(t ) m x
或写为
2 2 n x n x x h cos(t )
第五章
单自由度系统的振动
§5.1 单自由度系统的自由振动
一、无阻尼自由振动
1、理论分析
如图，是单自由度线性振动系统的模型，其中m是振动 物体的质量，k是弹簧刚度，c是阻尼器的阻尼系数，F（t） 是外加激振力， st 是在重力作用下弹簧的静变形，x是从静 力平衡位置O-O量起的位移。根据质量m的受力图，注意到 k st mg ，用牛顿定律 可建立系统的运动方 程如下： cx kx F (t ) m x 能用线性微分方 程来描述的振动系统 即称为线性振动系统。
v0 n x0
sin d t )
上式就是在简谐振力作用下有阻尼受迫振动的完全响应。它由三部分组 成，对应着式中的三项。第二项是与激振力无关的有阻尼自由振动，它完全 取决于初始条件，在零初始条件下它不存在。第三项的振幅与激振力有关， 频率等于有阻尼自由振动的频率，这一项称为伴随自由振动，在零初始条件 下它也存在。只有第一项是纯粹的受迫振动，它是一个稳态的简谐振动，其 频率等于激振力的频率，而相位教激振力滞后角θ。从此式可以看出，由于 阻尼存在，自由振动和伴随自由振动随着时间的延续而逐渐消失，最后只剩 下稳态的受迫振动。式中的后两项之和表示的振动称为稳态振动，而式中的 第一项称为稳态振动。从开始振动到达受迫振动的稳态需要一个实践过程， 这个过程称为过渡过程。过渡过程的长短与阻尼的大小有密切的关系。
令 则

1
2 （ 1 - 2） 4 22
B st
式中，β称为动力放大系数，它是频率比和阻尼比两个变量的函数。若 将阻尼比 视为参量，则可绘出对一系列 值的 - 曲线，如图a所示。 因为它反映了振幅随激振力频率变化的关系，故称之为幅频特性曲线。
从上图可以看出： 1 ，B st ，此频率段称为准静 1）当 n ，即 1 时， 态。 2）当 n ，即 1 时， 1 / 2 0 ，此频率段称为惯性区。 3）当 ，即 时，动力放大系数迅速增大，阻尼对动力 n 1 放大系数的影响最为显著。此频率段称为共振区（或阻尼区）。 此外，由于阻尼的存在，使得受迫振动的位移影响与激振力不 同步，它们之间存在一个相位角 角。 值也与 和 有关，这 b所示。 种关系曲线称为相频特性曲线，如图 2、工程实例之一：不平衡旋转质量引起的振动 在通风机、电动机、水泵、离心压缩机、汽轮机等旋转机械中， 由于偏心质量而引起受迫振动是很普遍的现象。
例题
在一般的质量-弹簧系统中，都认为弹簧是一个没有质 量的弹性体。如果要计算的精确一些，也应计入弹簧的质 量（如图）。在弹簧坐标为x处取一微元长度dx，则此微元 长度的动能为 1 2 dx dE qx 2 式中q为弹簧单位长度的质量。弹簧上端的 速度即为质量块的速度 ，弹簧下端的速 度为零，可以认为弹簧沿高度方向的速度 呈线性分布，即 x X x L 弹簧的动能为
1 F (t ) a0 (ak cos kt bk sin kt ) 2 k 1
2 / T 。
式中a0、ak、bk为傅里叶系数，其表达式为
2 T /2 ak F (t ) cos ktdt(k 0,1,2,...) T T / 2 2 T /2 bk F (t ) sin ktdt(k 1,2,...) T T / 2
例题

2n 3.14 rad / s 60
系统的四个弹簧为并联，总刚度为K=4k=3320N/cm，固有频率为
K n 12.88rad / s M
频率比为
2.44 n
me 2 B 0.382cm 2 2 2 2 M (1 ) 4
这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。则振幅为
x eat [ A1 cosh t A2 sinh t ]
式中， a n 。此式所标示的运动是一个非周期性的运动而不 是一个振动。
2 2
2、临界阻尼 当 a n 或 1 时称为临界阻尼。此时特征根为二重根，方程解 为 x eat ( A A t )
1 2
F m e
在采取隔振措施后（如图b），洗衣机传递到地基的力有两部分：通过弹 簧传递到地基的力
F1 Kx KB sin(t )
和通过阻尼器传递的力为
2M n B cos(t ) F2 cx
这两部分的频率相同，均为ω，用旋转矢量表示如图c所示。它们的合力的最 大值为
设特解具有下列形式：
x2 B1 cos(t ) B2 sin(t )
由以上式子可解得B1、B2，特x2可改写为
x2 B cos(t )
式中：B——受迫振动的振幅 B
st
(1 2 ) 2 4 22
θ——受迫振动的响应和激振动的相位差 δst——静变形
此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。
3、小阻尼 当 a n 或 1 时称为小阻尼。此时特征根为一对共轭复根。令
2 d n a 2 1 2 n
此时方程的解为
x eat ( A1 cosd t A2 sin d t )
式中的待定系数A1、A2根据初始条件确定。设振动物体具有初 0，则系统对初始条件的响应为 位移x0何处速度 x
cx kx 0 m x
令 则有
2a
c m
2 2ax n x x0
2 r a a 2 n
则该方程的特征根为
引入量纲一的量

a
n
称为阻尼比或相对阻尼系数。下面根据特征根的取值，分三种 情况讨论：
1、大阻尼 当 a n 或 1 时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。 方程的解为