随机变量及其分布列
第七章7.2离散型随机变量及其分布列PPT课件(人教版)
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于
√A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析 由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射
12345
5.若随机变量X服从两点散布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X －2，则P(Y＝－2)＝__0_.8__. 解析 因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0， 所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)随机变量的概念、特征. (2)离散型随机变量的概念. (3)离散型随机变量的散布列的概念及其性质. (4)两点散布. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确导致散布列求解错误.
二、求离散型随机变量的散布列
例2 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸 出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
解 一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸 出 2 个球，有 C25＝10(种)情况. 设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝C113C0 12＝35， 即摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率为35.
解析 ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一 列出， 因此它们都是离散型随机变量，C中X可以取某一区间内的一切值， 无法一一列出， 故不是离散型随机变量.
第七节 离散型随机变量及其分布列
【解析】 由已知得 X 的所有可能取值为 0,1， 且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质 设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝ ，P(X＝4)＝ 3 ＝ ， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝ ，P(X＝6)＝ 3＝ ， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值， 此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点： （1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发 生； （2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即 相互独立，互不影响试验的结果。
5． 二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变 量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布） 求出离散型随机变量分布列。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列
一、离散型随机变量的函数的分布
设离散型随机变量X的概率分布为：
X
x11 x22 x33 ….xkk….
概率 p11 p22 p33 ….pkk….
概率
p11
p22
…. pkk
….
若有xii≠xjj而f(xii)=f(xjj)(i ≠ j)，则应把那些相等的值分别合并 起来，并根据概率的加法公式把对应的概率相加，就可得Y=f（X）的概
率分布。
1、 型随机变量的函数的分布 设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)，y=g(x)是一连续函 数，则Y=g(X)也是连续型随机变量。求Y的概率密度函数有两中方法。
§4 连续型随机变量 1 定义
若对于r.v.X，存在一定义在R上的非负函数f(x)，使对aR，满足：
则称X为连续型随机变量，简记：c.r.v.X；其中函数f(x)称为X的概率密 度函数（probability density function,简记为p.d.f.），简称概率密度。 由定义易知，概率密度具有下列性质： ：
（1） 公式法 设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fxx(x)，又 设y=g(x)处处可导，且严格单调，则Y=g(X)也是以个连续型随机变量， 它的概率密度函数为：
（2）分布函数法 根据随机变量X的概率密度函数fXX(x)寻找随机变量 Y=g(X)的概率密度函数fYY(y)，关键在于把Y=g(X)的分布函数在y的函数 值FYY(y)转化为X的分布函数在g--11(y)处的值FXX[g--11(y)]，这就建立了分布 函数之间的关系，然后利用分布函数的定义以及分布函数与密度函数的 关系，通过对y求导可得到Y的概率分钟，并且各分机是否占线相互独
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
离散型随机变量及其分布列
区 别:
联 系：
将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（ ）
A、两次出现的点数之和
B、两次掷出的最大点数
C、第一次减去第二次的点数差
D、抛掷的次数
练 习一
D
例1：名师24页
例2. 在含有10件次品的100件产品中,任取4件,可能含有的次品件数X 1) X的取值为多少?它的值域为多少? 2) ｛X=0｝, ｛X=4｝, ｛X<3｝各表示什么? 3) “抽出3件以上次品”如何表示? 解:
(1) pi≥0 , i=1,2,3, …n (2) p1+p2+ …+pn=1 练习：若随机变量X的概率分布如下,则表中a的值为 1/3
练习1.随机变量ξ的分布列为
解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有 （1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4) (2)P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.12+0.3=0.42 解得a=-0.9(舍)或a=0.6
注2：某些随机试验的结果不具备数量性质，但仍可以用数量来表示它。
3. 离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为 x1，x2，…，xn， X取每一个值xi(i=1,2,…n)的概率P(X= xi)=pi，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
求分布列重在过程，必须有文字说明和详细过程，切忌只有数、式或表！
｛ 0,1,2,3,4 ｝.
0,1,2,3,4
“抽出0件次品”
“抽出4件次品”
“抽出3件以下次品”
｛X>3｝
2)｛X=0｝表示: ｛X=4｝表示: ｛X<3｝表示:
人教版数学选择性必修三7.2离散型随机变量及其分布列课件
通过本节课，你学会了什么？
pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散
易错
提醒
型随机变量的分布列是否正确．
(2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能
取值表示的事件是彼此互斥的．
基础小测
1．抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表
示的基本事件是( D )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
25
27.1
农村
23.3
24.8
26.5
27.9
30.7
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
城镇
6
36.6
农村
32.4
34.1
37.1
41.2
45.8
(1)现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2
平方米的概率；
(2)在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均
两点分布，并称p＝__________为成功概率．
2．超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，
−
−
则P(X＝k)＝
，k＝0，1，2，…，m，
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
P
0 −
C
C−
C
1 −1
X
x1
x2
…
xi
…
xn
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列
随机变量及其分布列.几类典型的随机分布一、离散型随机变量及其分布列随机变量是指在试验中可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的。
离散型随机变量是指所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量。
离散型随机变量常用大写字母X,Y表示。
离散型随机变量的分布列是将所有可能的取值与对应的概率列出的表格。
二、几类典型的随机分布1.两点分布二点分布是指随机变量X的分布列为X:1，P:pq，其中p 为0~1之间的参数，q为1-p。
伯努利试验只有两种可能结果的随机试验，因此又称为伯努利分布。
2.超几何分布超几何分布是指有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件，这n件中含有这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为C(n,m)C(M,m)/C(N,n)。
超几何分布只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(X=m)，从而列出X的分布列。
3.二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，事件A不发生的概率为q=1-p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^kq^(n-k)。
其中p为事件A发生的概率，k为事件A发生的次数，n为试验的总次数。
首先，将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除。
然后对每段话进行小幅度改写。
对于二项分布，当一个试验重复进行n次，每次成功的概率为p，失败的概率为q=1-p时，事件发生k次的概率可以用公式P(n,k) = n。
/ (k!(n-k)!) * p^k * q^(n-k)来计算。
这个公式可以展开成X的分布列，其中X表示事件发生的次数。
因为每个值都可以对应到表中的某个项，所以我们称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)。
二项分布的均值和方差可以用公式E(X) = np和D(X) = npq(q=1-p)来计算。
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布。
01随机变量及其分布列(一).
我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次 随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.
一般地，一个试验如果满足下列条件： 1．试验可以在相同的情况下重复进行； 2．试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不只一个； 3．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这样的分布列称为 两点分布列.又称0-1分布 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点 分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
练习: 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机
变量去描述1次试验的成功次数,则P( 0) ___
思考:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求 取到的次品数X的分布列.
设摸出红球的个数为服从超几何分布其中3010于是由超几何分布模型得中奖的概率1020102010203030301015下列概率等于方便的村庄数个村庄中交通不表示这个村庄任意选现从中个村庄交通不方便个村庄中有试写出购买者获得奖金则不得奖金并且若则可得奖金之和为若两枚骰子向上面的点可掷两枚骰子一次产品一件者规定购买该品进行促销活动某公司为促销某种新产1011122000110040040011002000136118112195361653619112118136列出一个表格如下
这种试验就是一个随机试验。
练习：判断下面问题是否构成随机试验
(1)、京广T15特快列车到达广州站是否正点。
解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件： 即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可 能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯 定会出现哪种结果。
(2)、1976年唐山大地震。
离 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，
《随机变量及其分布列(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
PLeabharlann 解：由古典概型的知识，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表所示：
X
0
1
P
随机变量X只取两个可能值0和1
0-1分布、两点分布
X～0-1分布、X～两点分布
X
0
1
P
C
B
解：设黄球的个数为n，则绿球的个数为2n，红球的个数为4n，盒中小球的总个数为7n.
由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
随机变量的取值X(ω)随着试验结果(样本点)ω的变化而变化，其取值依赖于样本点，并且所有可能取值是明确的．随机变量是建立在Ω到R的对应，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同的是Ω不一定是数集．
(1) 一个实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2) 明天的降雨量L(单位：mm)；(3) 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.
认真读题、理解题意，正确写出随机变量可能的取值．
X＝6，表示“取出标有数字2, 4或1, 5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有数字3, 4或2, 5或1, 6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有数字2, 6或3, 5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有数字3, 6或4, 5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有数字4, 6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有数字5, 6的两张卡片”．
高中数学选修2-3-离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列知识集结知识元离散型随机变量及其分布列知识讲解1．离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，x n；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，p n，则得下表：X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①p i≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+p n＝1．例题精讲离散型随机变量及其分布列例1.'袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外完全相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列、期望E（ξ）和方差D（ξ）．'例2.'甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，甲投篮3次均未命中的概率为，乙每次投篮命中的概率均为q，乙投篮2次恰好命中1次的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．（1）若乙投篮3次，求至少命中2次的概率；（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望．'例3.'抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y．记[]表示的整数部分，如：[]=1，设ξ为随机变量，ξ=[]．（Ⅰ）求概率P（ξ=1）；（Ⅱ）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．'当堂练习解答题练习1.'玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才能参加“三步上篮”测试．为了节约时间，每项测试只需且必须投中一次即为合格．小华同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为．假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立．（1）求小华同学两项测试均合格的概率；（2）设测试过程中小华投篮次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．'练习2.'某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列．'练习3.'装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X>0时）的概率．'练习4.'将10个白小球中的3个染成红色，3个染成黄色，试解决下列问题：（1）求取出3个小球中红球个数ξ的分布列；（2）求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率．'练习5.'新高考改革后，假设某命题省份只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，分别放在每个学年的上下学期，其余六科政治，历史，地理，物理，化学，生物则以该省的省会考成绩为准．考生从中选择三科成绩，参加大学相关院校的录取．（Ⅰ）若英语等级考试有一次为优，即可达到某“双一流”院校的录取要求．假设某考生参加每次英语等级考试事件是相互独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率为，求该考生直到高二下期英语等级考试才为优的概率（Ⅱ）据预测，要想报考某“双一流”院校，省会考的六科成绩都在95分以上，才有可能被该校录取假设某考生在省会考六科的成绩都考到95分以上的概率都是，设该考生在省会考时考到95以上的科目数为X求X的分布列及数学期望．'练习6.'某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作．从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作．（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望．'练习7.'今年学雷锋日，乌鲁木齐市某中学计划从高中三个年级选派4名教师和若干名学生去当学雷锋文明交通宣传志愿者，用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成文明交通宣传小组，学生的选派情况如下：（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）若从选派的高一、高二、高三年级学生中抽取3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高三年级学生的概率；（Ⅲ）若4名教师可去A、B、C三个学雷锋文明交通宣传点进行文明交通宣传，其中每名教师去A、B、C三个文明交通宣传点是等可能的，且各位教师的选择相互独立．记到文明交通宣传点A的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望。
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36
36 9
36
P( x 11) 2 1 ; P( X 12) 1 .
36 18
36
列出一个表格如下:
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y 2000 1100 400 0 0 0 0 0 400 1100 2000 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
模型得中奖的概率 P( X ≥ 3) P( X 3) P( X 4) P( X 5)
C130C220 C350
C140C210 C350
C150C200 C350
≈0.191
练习: 在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中
任 意 选10个 村 庄, 用x表 示 这10个 村 庄 中 交 通 不
C
n N
k=0,1,2, …… , m
其中m minM , n,
且n N , M N ,
则随机变量X的概率分布列如下：n, M , N N *
X
0
1
……
m
P
C
0 M
C
n0 NM
C
1 M
C
n1 NM
……
C
m M
C
nm NM
C
n N
C
n N
C
n N
像上面这样的分布列称为 超几何分布列.
等于它取这个范围内各个值的概率之和。
5. 在 某 年 级 的 联 欢 会 上 设计 了 一 个 摸 奖 游 戏 ， 在一 个 口 袋 中 装 有10个 红 球 和20个 白 球 ， 这 些 球 除 颜 色外 完 全 相 同 ， 一 次 从 中 摸 出5个 球 ， 至 少 摸 到3个 红 球 就 中 奖 ， 求 中 奖的 概 率.
X
1, 针尖向上 0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，于是， 随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1—p
p
两点分布列:X~0-1分布.X~ 两点分布
一、两点分布 如果随机变量ξ的分布列为：
ξ 10 P p 1-p
这样的分布列称为两点分布列,称随机变量ξ服从两点 分布,而称p=P(ξ=1)为成功概率. 注:如果随机变量ξ服从两点分布,则ξ的取值只能为0和1
2个, 所得的号码之和为x .
3) 检查一升自来水中所含细菌的个数x .
4) 一个人要开他自己的房门, 他共有n把钥匙, 其中仅 有一把是能开门的. 他随机地选取钥匙去开门, 并且
用后放回, 其中他打开门时所试的钥匙的数目x .
5) 电台在每天整点都报时, 某人一觉醒来马上打开
收音机对表, 他所等待的时间x .
练习: P. 45
2. 一用户在打电话时忘记了最后三个号码, 只记得 最后三个数字两两不同, 且都大于5. 于是他随机 拨最后三个数(两两不同). 设他拨到所要号码的
次数为x . 试写出随机变量x的可能值.
1
3.已知随机变量x的概率分布如下表, 则 x的值为__5__
x 1234 5
P
1 15
2 15
A33C110 A143
1; 286
x的分布列为 :
ξ
1
2
3
4
P
10/13 5/26 5/143 1/286
例3:从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件 地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列
两种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取 的次数ξ的分布列．
⑵每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；
2.已知随机变量x的分布列为P(x k) a( 1 )k (k 1,2,, n),
则 实 数a的 值 为___2__3_n___
3
3n 1
3.已 知 随 机 变 量x的 分4布 列 为P (x
思 考 ： 如 果 要 将 这 个 游戏 的 中 奖 率 控 制 在55%左 右 ， 那 么 应 该 如 何 设 计 中 奖规 则 ？
6. 盒 中 有 大 小 相 等 的 球10个, 编 号 分 别 为0, 1,2, ,9, 从 中 任 取1个 球. (1) 求 所 抽 取 球 编 号 的 分 布列; (2) 若 将 所 抽 取 球 的 号 码 分成“小 于5” ,“等 于5” , “大 于5”三 种 情 况, 试 定 义 一 个 随 机 变 量, 并 求 其 分 布 列.
本小题第二问是二项分布这是我们 后面要研究的内容
1. 写出下列各随机变量可能的取值, 并说明随机变量 所表示的随机试验的结果 .
1) 有朋友自远方来, 他可能乘汽车或火车到达, 也可能乘
飞机到达, 旅费分别为100元,80元和600元, 他的旅费为x .
2) 盒内装着标有1 ~ 4号大小相同的球, 若随机取出
7. 袋中有8个球, 其中有3个红球, 3个白球, 2个黑球,
从中一次取出两个球, x表示取到的白球个数. 求随机变量x的分布列, 并计算P(x 1) .
求离散型随机变量的分布列的步骤:
第一步 确定随机变量可能取到的数值; 第二步 求出与各种可能对应的概率; 第三步 验证各概率之和是否为1 .
8.已 知x的 分 布 列 为:
解 :由题意得 : P( X
2)
1 ; P(X
3)
C
1 2
1;
36
6 48
P(X
4)
C21 62
1
1; 12
P(X
5)
C21
C
1 2
1;36 9Fra bibliotekP( X 6) C21 C21 1 5 ; P( X 7) 6 1;
36
36
36 6
P( X 8) 5 ; P( X 9) 4 1; P( X 10) 3 ;
复习离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1 , x2 , x3 ,L , xi L
ξ取每一个值 xi (i 1, 2,L ) 的概率P(x xi ) pi
则称表格 ξ x1 x2 … xi … p p1 p2 … pi …
为随机变量x的概率分布列，简称x的分布列. 思考:根据随机变量的意义与概率的性质，你能得出分布 列有什么性质？ 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
x4 15
1 3
变：若离散型随机变量的分布列为
x
-1
0
1 试求 q的值 .
P
0.5 2q 0.5+q2
4. 某一射手射击所得环数的分布列如下： x 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
求此射手“射击一次命中环数7”的概率. 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率
x 2 1 0 1
2
3
P1
34 1 2
1
12 12 12 12 12 12
分 别 求1
1 2
x
, 2
x
2的 分 布 列
练习:
1. 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x
去描述1次试验的成功次数，则P(x 0)等于( C )
A.0 B. 1 C. 1 D. 2
2
3
3
解 : x的所有取值为1,2,3,..., n,...。
P(x
1)
C110 C113
10; 13
P(x 2) 3 10
13 13
P(x 3) 3 3 10＝（ 3 ）2 10;
13 13 13 13 13
同理可得P(x n) （ 3 ）n1 10
随机变量x的分布列为 : 13 13
(1)求随机变量x的概率分布；
(2)求甲取到白球的概率.
例2、生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品。 采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产 品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品。 问：该批产品被接受的概率是多少？
例1:一个口袋中装有10个红球,20个白球, 这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出 5个球,摸到4个红球1个白球的就中一等奖 求中一等奖的概率.
故Y的分布列为
Y
0
400
1100 2000
P
2/3
1/6
1/9
1/18
练 习1.袋 中有3个 白球4个 黑球, 现 有甲 乙 两人 从 袋中 轮流摸取1球,甲先取，乙后取,然后甲再取...取出后 不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球
在每一次被取到的机会是等可能的,用x表示取球终
止所需要的取球次数.
方便
的村庄
数,
下列
概率等
于C74C86 C1150
的是
__C_
A. P(x 2) B.P(x 2) C . P(x 4) P(x 4)
例2:某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km,则 按10元的标准收租车费.若行驶路程超出4km,则按每超出1km 加收2元计费(超出不足1km的部分按1km计)。从这个城市的机 场到某宾馆的路程为15km。某司机常驾车在机场与此宾馆之 间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成 行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按1km路程计费),这个 司机一次接送旅客的行车路程多少是一个随机变量,他收旅客 的租车费也是一个随机变量． （Ⅰ）求租车费ξ关于行车路程η的关系式； （Ⅱ）已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了 15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？