《图形的相似》单元测试题

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图形的相似单元测试【含答案】

DC B A 图形的相似单元测试（时间：60分钟，共100分）一、选择题（每小传统3分，共30分） 1．下列语句正确的是 ( )A ．在△ABC 和△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∠C′=60°，则△ABC 和△A′B′C′不相似B ．在△ABC 和△A′B′C′中，AB=5，BC=7，AC=8，A′C′=16，B′C′=14，A′B ′=10，则△ABC ∽△A′B′C′C ．两个全等三角形不一定相似D ．所有的菱形都相似2．如图所示，△ABC ∽△ADE ，AE=30cm ，EC=15cm ，BC=60cm ，则DE 的长为 ( ) A ．40cm B ．50cm C ．45cm D ．35cm 3．如图所示，能保证△ACD ∽△ABC 的条件是 ( ) A ．AB:BC=AC:CD B ．CD:AD=BC:AC C ．CD 2=AD ．DC D ．AC 2=AB ．AD 4．如果两个相似多边形的面积比为9:4，那么这两个相似多边形的相似比为 ( ) A ．9:4 B ．2:3 C ．3:2 D ．81:16 5．小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，如图所示给出的四个图案中，符合图示胶滚图案的是 ( )6．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有 ( )A ．4句B ．3句C ．2句D ．1句 7．下列语句中不正确的是 ( )A ．求两条线段的比值，必需采用相同的长度单位B ．求两条线段的比值，只需采用相同的长度单位，与选用何种长度单位无关C ．两个相似三角形中，任意两组边对应成比例D ．不相似的两个三角形中，也有可能两组边对应成比例 8．下列各组图形有可能不相似的是 ( ) A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A ．12B ．18C ．24D ．301250800xy ╯ ╮ 650 536╭α ╰ ╯ 803 10．已知cba b a c a c b +=+=+＝k ，则k=（） A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．0二、填空题（每小题3分，共24分）11．如果一个三角形的面积扩大9倍，那么它的边长扩大_____________倍．12．如图所示，有一块呈三角形的草坪，其一边长为20m ，在这个草坪的图纸上，若这条边的长为5cm ，其他两边的长都是3．5cm ，则该草坪其他两边的实际长度为______________．13．如图所示的两个三角形是相似的x=_________，m=___________，n=____________．x2a 55︒m ︒45︒103a n ︒80︒45︒14．已知如图，两个矩形相似，则x= ，y= ，α= ．15．在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1．5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是＿＿＿米．16．如图中的两个矩形相似，则x=___________．17．请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里．18．如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是．三、解答题（19小题6分，其余各小题8分，共46分） 19．把上下对应的相似图形用线连起来20．如图所示，写出多边形ABCDEF 各个顶点的坐标，并画出多边形ABCDEF 关于y 轴的轴对称图形，它们相应的对称点的坐标有什么变化?－3 －2 －1 32 1 O －1 －212 3 xy21．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．222．以下列正方形网络的交点为顶点，分别画出两个相似比不为1的相似三角形，使它们：(1)都是直角三角形；(2)都是锐角三角形；(3)都是钝角三角形．23．如果一个图形经过分割，能成为若干个与自身相似的图形，我们称它为“能相似分割的图形”，如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形． (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形？(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”？如果是的话给出一种分割方案，否则说明原因．24．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A 1纸，对折一分为二裁开成为A 2纸，再一分为二成为A 3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位)．参考答案1．B ；对应边成比例 2．A ；根据对应边成比例 3．D ；比例性质 4．C ；相似形的性质 5．C ；图形的相似 6．B ；②③④ 7．C ；注意对应 8．A ；不符合对应关系 9．由相似多边形对应边成比例，设最长边为x ．∴x662 ，∴2x=36，x=18．答案：B 10．C ．2或－1二、11．3倍 12．14m 13．20314．根据相似形的性质，得x=2.5，y=1.5，α=900；⑵x=22.5． 15．在相同时刻的物高与影长成比例，设古塔的高为xm ，则505.25.1x=，解得x=30（m ） 16．已知两个矩形相似，根据相似形的性质，有x201530=，∴30x ＝15×20，解得x ＝10；又152030=x ，∴x ＝22．5 17． ①相似，②不相似，③不相似，④相似，⑤不相似，⑥不相似 18．由左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，不难发现左右眼睛之间的距离2个单位；平移后的图形右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标的纵坐标不变，横坐标为3＋2＝5，即右图案中右眼的坐标是（5，3）．三、19．相似形连线如（1）－（a ），（2）-(d)，（3）－(g)20．提示:A(-2，0)，B(0，-3)，C(3，-3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)，A′(2，0)，B′(0， 3)，C′(-3，-3)，D′(-4，0)，E′(-3，3)，F′(0，3)．21．只有正方形才能做到，设矩形的一边为a ，另一边为b ，等宽的纸边宽为c ，按小华的要求，应有cb ca b a 22--=，化简得a=b ． 22．作图如下23．例如直角三角形，一组底角是60°、三边相等的等腰梯形．三角形都是“能相似分割的图形”（提示：顺次连结三角形三边中点，将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似）24． 1．414（提示：设 A 1纸的长为a ，观为b ，由A 1，A 2纸的长余观对应成比例，得a:b=b:21a ）。

第六章图形的相似单元测试卷 2022-2023学年苏科版数学九年级下册

九年级数学下册单元测试卷第六章图形的相似（分值：150分时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲,乙两地的实际距离是（）A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.已知△ABC 的三边长分别为2,6,2, △A′B′C′的两边长分别是1和3,如果△ABC 与△A′B′C′相似,那么△A′B′C′的第三边长应该是（）A.2B.22C.26 D. 33 3.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为（）A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m4.一个钢筋三角架三条边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种5.下列四组图形中必成相似图形的是（）A ．有一个角为30°的两个等腰三角形B ．邻边之比为2：1的两个平行四边形C ．有一个角为40°的两个等腰三角形D ．有一个角为120°的两个等腰三角形6.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，若AD ：BC ＝1：3，那么下列结论中正确的是（）A ．S △COD ＝9S △AODB ．S △ABC ＝9S △ACDC ．S △ABC ＝9S △AODD ．S △DBC ＝9S △AOD 7.如图所示，F 是△ABC 边AB 上一点，那么下面四个命题错误的是（）A ．若∠AFC ＝∠ACB ，则△ACF ∽△ABCB ．若AC 2＝AF·AB ，则△ACF ∽△ABCC ．若∠ACF ＝∠B ，则△ACF ∽△ABCD ．若AC ：CF ＝AB ：BC ，则△ACF ∽△ABC第7题第8题8.如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，连接AD 并延长至点F ，使DF=AD ，连接BC 、BF 。

第23章图形的相似单元测试卷(基础卷)(解析版)

1第23章图形的相似单元测试卷（基础卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四条线段中，不能成比例的是（）A ．a=3）b=6）c=2）d=4B ．a=1）b= 263C ．a=4）b=6）c=5）d=10D ．a=2）b= 5153【答案】C【解析】试题解析：∵3264=，故选项A 中的线段成比例； 22=6223=B 中的线段成比例；∵46510=，故选项C 中的线段不成比例； 2555=2325515=，故选项D 中的线段成比例；故选C）2．下列说法正确的是（）A ．矩形都是相似图形；B ．菱形都是相似图形C ．各边对应成比例的多边形是相似多边形；D ．等边三角形都是相似三角形【答案】D【解析】试题分析：根据相似多边形的判定法则可以得出所有的等边三角形都是相似三角形.2考点：相似多边形的判定3．点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，下列命题：()()()()2221AB AP PB 2AP PB AB 3BP AP AB 4AP:AB PB:AP =⋅=⋅=⋅=，中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值512叫做黄金比．【详解】∵点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP）PB）∴根据线段黄金分割的定义得：AP 2）PB•AB）AP）AB）PB）AP）∴只有②④正确．故选B）【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．4．如图，下列条件使△ACD ∽△ABC 成立的是））3A ．AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC = C ．AC 2）AD·AB D ．CD 2）AD·BD【答案】C【解析】试题分析：本题主要考查的就是三角形相似的判定，本题根据有一个角相等，且对应角的两边对应成比例，则两个三角形相似可以得出答案.根据题意可得∠A 为公共角，则要使三角形相似则必须满足AC AB =AD AC. 点晴：本题主要考查的就是三角形相似的判定定理，在有一个角相等的情况下，必须是角的两边对应成比例，如果不是角的两边对应成比例，则这两个三角形不相似；相似还可以利用有两个角对应相等的两个三角形全等.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （―3，6）、B （―9，一3），以原点O 为位似中心，相似比为，把∠ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（）A ．（―1，2）B ．（―9，18）C ．（―9，18）或（9，―18）4D ．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：））ABO 和）A′B′O 关于原点位似，）） ABO））A′B′O 且OA'OA ＝13 .）A E AD＝0E 0D ＝13.）A′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.）A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：）点A （―3，6）且相似比为13，）点A 的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），）A′（－1,2）. ）点A′′和点A′（－1,2）关于原点O 对称，）A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.6．如图，在△ABC 中，AB =6，AC =10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的周长为（）．5A ．16B ．12C ．10D ．8【答案】A【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF 平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF 的周长即可．【详解】解：∵点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，DE=12AC=5，EF=12AB=3， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AD=EF ，DE=AF ，∴四边形ADEF 的周长为2（DE+EF ）=16，故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形ADEF 为平行四边形是解题的关键． 7．课间操时，小华、小军和小刚的位置如图所示，如果小华的位置用(0,0)表示，小军的位置用(2,1)表示，那么小刚的位置可以表示为( )A．(5,4)B．(4,5)C．(3,4)D．(4,3)【答案】D【解析】【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标即可解答．【详解】如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．67【点睛】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置．8．如图，锐角△ABC 的高CD 和BE 相交于点O ，图中与△ODB 相似的三角形有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BDO =∠BEA =90°）∠DBO =∠EBA ）∴△BDO ∽△BEA ）∵∠BOD =∠COE ）∠BDO =∠CEO =90°）∴△BDO ∽△CEO ）∵∠CEO =∠CDA =90°）∠ECO =∠DCA ）∴△CEO ∽△CDA ）∴△BDO ∽△BEA ∽△CEO ∽△CDA ）故选C）89．如图，已知DAB CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定．．．．A ABC DE ∽△△的是（）A ．AB BC AD DE = B ．AB AC AD AE = C ．B D ∠∠= D ．C AED ∠=∠【答案】A【解析】【分析】先根据∠DAB =∠CAE 得出∠DAE =∠BAC ，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】∵∠DAB =∠CAE ，∴∠DAE =∠BAC ．A ．∵AB BC AD DE=，∠B 与∠D 的大小无法判定，∴无法判定△ABC ∽△ADE ，故本选项正确； B ．∵AB AC AD AE =，∴△ABC ∽△ADE ，故本选项错误； C ．∵∠B =∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故本选项错误；D ．∵∠C =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10．如图，在）ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若）ACD=）B）AD=1）AC=2））ACD 的面积为1，则）ABC9 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】由∠ACD=∠B 结合公共角∠A=∠A ，即可证出△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质可得出214ACD ABC S AD S AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合△ADC的面积为1，即可求出△ABC 的面积．【详解】 ∵∠ACD=∠B）∠A=∠A）∴△ACD ∽△ABC）214ACD ABC S AD S AC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，∴S △ABC =4）故选D）【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.11．如图，若D 、E 分别为△ABC 中AB 、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE 的长度为（）10A．94 B ．52 C ．185 D ．4【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE ））ACB ，然后根据相似三角形的性质得出AE AB =AD AC ，从而求出AE 的长度．【详解】解：∵∠A =）A ））AED =）B ）））ADE ））ACB ））AE AB =AD AC）又∵AD =3）AC =6）DB =5））AB =AD +DB =8））AE =8×3÷6=4）故选D）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质．有两角对应相等的两个三角形相似．相似三角形的三边对应成比例．12．如图，在▱ABCD 中，AC ）BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，11则下列结论：①12AFFD =）②S △BCE =36）③S △ABE =12）④△AEF ）△ACD ，其中一定正确的是（）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③【答案】D【解析】【详解】∵在▱ABCD 中，AO =12AC ）∵点E 是OA 的中点，∴AE =13CE ）∵AD ∥BC ） ∴△AFE ∽△CBE ） ∴AFAE BC CE ==13）∵AD =BC ）∴AF =13AD ）∴12AFFD =；故①正确；∵S △AEF =4） AEF BCE SS =）AF BC）2=19）12 ∴S △BCE =36；故②正确；∵EF AEBE CE = =13） ∴AEF ABE S S =13）∴S △ABE =12，故③正确；∵BF 不平行于CD ）∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D）二、填空题13．若34y x =，则x yx +=______【答案】74【解析】【分析】可设x=4k ，根据已知条件得到y=3k ，再代入计算即可得到正确结论．【详解】解：∵ 34yx =， ∴y=3k ，x=4k ；代入x yx +=4k 3k 7=4k 4+故答案为7413【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．14．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2）3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为________）【答案】2）3【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：∠ABC 与∠DEF 对应边上的中线的比为2:3．考点：相似三角形的应用．15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为米．【答案】5．【解析】根据题意，易得∠MBA∠∠MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM =+，即1.6AM 820AM=+，解得AM=5． ∠小明的影长为5米．16．如图，正∠ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正11AB C ∆,∠ABC 与11AB C ∆公共部分的面积记为1S ；再以正11AB C ∆边11B C 上的高2AB 为边作22AB C ∆，11AB C ∆与22AB C ∆公共部分的面积记为14 2S ；．．．．．．，以此类推，则n S = ．（用含n 的式子表示）． 33)4n【解析】【分析】【详解】因为）ABC 是边长为2的等边三角形，1AB 是高，所以1AB 31112111333(3)22A B C S S ∆=== 同理：2332AB ==，22222113393()224232A B C S S ∆==⨯=．．．．．．32()n n AB =⨯，11121133332()()224n n n n n n A B C S S ---∆⎡⎤==⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦．三、解答题1517．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （-2，4），B （4，4），C(6，0）.（1）△ABC 的面积是 .（2）请以原点O 为位似中心，画出△A'B'C'，使它与△ABC 的相似比为1：2，变换后点A 、B 的对应点分别为点A'、B'，点B'在第一象限；（3）若P （a,b)为线段BC 上的任一点，则变换后点P 的对应点P' 的坐标为 .【答案】（1）12；（2）作图见详解；（3）11(,)22a b . 【解析】【分析】（1）先以AB 为底，计算三角形的高，利用面积公式即可求出△ABC 的面积；（2）根据题意利用位似中心相关方法，画出△A'B'C'，使它与△ABC 的相似比为1：2即可；（3）根据（2）的作图，利用相似比为1：2，直接观察即可得到答案.【详解】解：（1）由△ABC 的顶点坐标分别为A （-2，4），B （4，4），C(6，0），可知底AB=6，高为4，所以△ABC 的面积为12；16（2）；（3）根据相似比为1：2，可知P 11(,)22a b . 【点睛】本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P）D 分别是BC）AC 边上的点，且∠APD=∠B,）1）求证：AC•CD=CP•BP））2）若AB=10）BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253. 【解析】）2）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到BP AB CD CP，即AB•CD=CP•BP ，由AB=AC 即可得到AC•CD=CP•BP））2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．解：（1）∵AB=AC）∴∠B=∠C）∵∠APD=∠B）∴∠APD=∠B=∠C）17∵∠APC=∠BAP+∠B）∠APC=∠APD+∠DPC）∴∠BAP=∠DPC） ∴△ABP ∽△PCD）∴BP AB CD CP=） ∴AB•CD=CP•BP）∵AB=AC）∴AC•CD=CP•BP））2）∵PD ∥AB）∴∠APD=∠BAP）∵∠APD=∠C）∴∠BAP=∠C）∵∠B=∠B） ∴△BAP ∽△BCA）∴BA BP BC BA =） ∵AB=10）BC=12）∴101210BP =） ∴BP=253） “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．19．如图，△ABC 中，AB =8厘米，AC =16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C18同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t ）⑴用含t 的代数式表示：AP = ）AQ = ）⑵当以A ）P ）Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求运动时间是多少？【答案】）1）AP=2t）AQ=16）3t））2）运动时间为167秒或4秒．【解析】【分析】）1）根据路程=速度⨯时间，即可表示出AP）AQ 的长度.）2）此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ ∽△ABC 时；（2）当△APQ ∽△ACB 时．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】）1）AP=2t）AQ=16）3t））2）∵∠PAQ=∠BAC）∴当AP AQ AB AC =时，△APQ ∽△ABC ，即2163816t t -=，解得167t =；当AP AQ AC AB =时，△APQ ∽△ACB ，即2163168t t -=，解得t=4）∴运动时间为167秒或4秒．19【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.注意不要漏解. 20．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长．）1）若AB=12）BE=3，求EF 的长；）2）求∠EOF 的度数；）3）若5OF ，求AE CF的值．【答案】（1）EF =5））2））EOF=45°））3）54AE CF =）【解析】【分析】）1）设BF=x ，则FC=12-x ，根据△EBF 的周长等于BC 的长得出EF=9-x）Rt）BEF 中利用勾股定理求出x 的值即可得；）2）在FC 上截取FM=FE ，连接OM ．首先证明∠EOM=90°，再证明△OFE））OFM）SSS ）即可解决问题；）3）证明∠FOC=）AEO ，结合∠EAO=）OCF=45°可证△AOE））CFO 得5OE AE AO OF CO CF ===，推出55，由AO=CO ，可得5554CF）进20 而求解）【详解】（1）设BF=x ，则FC=BC ﹣BF=12﹣x ，∠BE=3，且BE +BF+EF=BC ，∠EF=9﹣x ，在Rt ∠BEF 中，由BE 2+BF 2=EF 2可得32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，则EF=9﹣x=5；（2）如图，在FC 上截取FM=FE ，连接OM ，∠C △EBF 的周长=BE+EF+BF=BC ，则BE +EF+BF=BF+FM+MC ， ∠BE=MC ，∠O 为正方形中心，∠OB=OC ，∠OBE=∠OCM=45°，在∠OBE 和∠OCM 中，∠OB OCOBE OCM BE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，21 ∠∠OBE∠∠OCM ，∠∠EOB=∠MOC ，OE=OM ，∠∠EOB+∠BOM=∠MOC+∠BOM ，即∠EOM=∠BOC=90°，在∠OFE 与∠OFM 中，∠OE OMOF OF EF MF=⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∠∠OFE∠∠OFM （SSS ）， ∠∠EOF=∠MOF=12∠EO M=45°．（3）证明：由（2）可知：∠EOF=45°，∠∠AOE+∠FOC=135°，∠∠EAO=45°，∠∠AOE+∠AEO=135°，∠∠FOC=∠AEO ，∠∠EAO=∠OCF=45°，∠∠AOE∠∠CFO ．∠52OEAE AO OF CO CF ===，5，5，∠AO=CO ，225554CF ， ∠AE CF =54．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题） 21．（问题情境）如图1）Rt ABC 中，90ACB ∠=）CD AB ⊥，我们可以利用ABC 与ACD 相似证明2AC AD AB =⋅，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；（结论运用）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC ）BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ，连接OF ））1）试利用射影定理证明BOF BED ∽））2）若2DE CE =，求OF 的长．【答案】问题情境：证明见解析；结论运用：()1证明见解析；（2）655）【解析】【分析】问题情境:通过证明Rt △ACD ∽Rt △ABC 得到AC ）AB =AD ）AC ）然后利用比例性质即可得到AC 2=AD•AB ）结论运用:23（1）根据射影定理得BC 2=BO •BD ）BC 2=BF •BE ）则BO •BD =BF •BE ）即BO BE =BF BD）加上∠OBF =∠EBD ）于是可根据相似三角形的判定得到△BOF ∽△BED ））2）先计算出DE =4）CE =2）BE 10）OB 2）再利用（1）中结论△BOF ∽△BED 得到OF DE =BO BE ）即4OF 32210）然后利用比例性质求OF ）【详解】解：如图1）∵CD ⊥AB ）∴∠ADC =90°）而∠CAD =∠BAC ）∴Rt △ACD ∽Rt △ABC ）∴AC ）AB =AD ）AC ）∴AC 2=AD •AB ））1）如图2）∵四边形ABCD 为正方形）∴OC ⊥BO ）∠BCD =90°）∴BC 2=BO •BD ）∵CF ⊥BE ）∴BC 2=BF •BE ）∴BO •BD =BF •BE ）即BOBE =BFBD ）而∠OBF =∠EBD ）∴△BOF ∽△BED ）24）2）∵BC =CD =6）而DE =CE ）∴DE =4）CE =2）在Rt △BCE 中）BE 2226+10．在Rt △OBC 中）OB =22BC 2） ∵△BOF ∽△BED ）∴OF DE =BO BE ）即4OF 32210） ∴OF =55）【点睛】本题考查了射影定理）直角三角形中）斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项）每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质） 22．如图， AM 是 ABC ∆ 的中线， D 是线段 AM 上一点（不与点 A 重合）． //DE AB 交 AC 于点 F ， //CE AM，连结 AE ．25（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =．①求CAM ∠的度数；②当3FH =4DM =时，求 DH 的长．【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析；（35【解析】试题分析：（1）只要证明AE=BM）AE ∥BM 即可解决问题；）2）成立．如图2中，过点M 作MG ∥DE 交CE 于G ．由四边形DMGE 是平行四边形，推出ED=GM ，且ED ∥GM ，由（1）可知AB=GM）AB ∥GM ，可知AB ∥DE）AB=DE ，即可推出四边形ABDE 是平行四边形；）3）①如图3中，取线段HC 的中点I ，连接MI ，只要证明MI=12AM）MI ⊥AC ，即可解决问题； ②设DH=x ，则3，推出AM=4+2x）BH=4+2x ，由四边形ABDE 是平行四边形，推出DF ∥AB ，推出HF HD HA HB =3423x x x=+，解方程即可；试题解析：（1）证明：如图1中，26∵DE ∥AB）∴∠EDC=∠ABM）∵CE ∥AM）∴∠ECD=∠ADB）∵AM 是△ABC 的中线，且D 与M 重合， ∴BD=DC）∴△ABD ≌△EDC）∴AB=ED）∵AB ∥ED）∴四边形ABDE 是平行四边形．）2）结论：成立．理由如下：如图2中，过点M 作MG∥DE 交CE 于G）27 ∴四边形DMGE 是平行四边形， ∴ED=GM ，且ED ∥GM）由（1）可知AB=GM）AB ∥GM） ∴AB ∥DE）AB=DE）∴四边形ABDE 是平行四边形．）3）①如图3中，取线段HC 的中点I ，连接MI）∵BM=MC）∴MI 是△BHC 的中位线，∴∥BH）MI=12BH）∵BH ⊥AC ，且BH=AM）∴MI=12AM）MI ⊥AC）∴∠CAM=30°）②设DH=x ，则3∴BH=4+2x）∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB）∴HF HDHA HB=）3423xxx=+）解得515，∴528。

2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)

第四章测试卷(时间:100分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

第四章图形的相似单元测试卷(解析版)

2.3.4.5.第四章图形的相似单元测试卷.选择题〔共12小题〕&二旦,b 13〔2021淅州〕的值是〔〕C.-1如图,直线a// b// c,b, c于点D, E, F,假设BC 2DE_EF直线m交直线a, b, c于点A, B, C,直线n交直线a,C.B.D CbB〔第2题〕〔第3题〕B〔第4题〕〔2021睑华〕在四边形ABCD中, / B=90°, AC=4, AB // CD, DH 垂直平分AC ,点H为垂足.AB=x, AD=y,那么y关于x的函数关系用图象大致可以表示为〔〔2021?安徽〕C. 0 4 AD.如图, 4ABC中,AD是中线,BC=8, 那么线段AC的长为〔〕C. 6D. 4.：〔2021渐疆〕111A . DE=-BC 2如图,在△ ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,以下说法中不正确的选项是〔B.AD AE靛=最C. △ ADEABCD. S A ADE：S AABC=1 ： 2C2〔第5题〕〔第6题〕〔第7题〕6. 〔2021?台湾〕如图的4ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC 于M、N 两点.假设/B=90°, AB=4, BC=3 , EF=1 ,贝U BN 的长度为何？〔〕树的高度为〔〕C.7 .如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米,一棵大树的影长为5米,那么这棵A . 1.5 米 B. 2.3米 C. 3.2 米8. 〔2021确博〕如图是由边长相同的小正方形组成的网格,D. 7.8 米A, B, P, Q四点均在正方形网格的格)D. 29. 〔2021?东营〕如图,在平面直角坐标系中,点A 〔中央,相似比为-1,把^ABO缩小,那么点A的对应点/ 3A. 〔T, 2〕B. 〔-9, 18〕C. 〔-9, 18〕10. 如图,在直角坐标系中,有两点A 〔6, 3〕, B 〔6, 0〔第10题〕-3, 6〕 , B 〔 - 9, - 3〕,以原点O为位似'的坐标是〔〕或〔9, - 18〕 D. 〔-1, 2〕或〔1, - 2〕〕,以原点O为位似中央,相似比为士,在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,那么点A的对应点坐标为〔〕A . (2, 1) B, (2, 0) C, (3, 3) D. (3, 1)11.复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等,它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号〔如A3〕的复印纸较长边的中点对折后,就能得到两张下一型号〔A4〕的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似〔如图〕,那么这些型号的复印纸的长宽之比为〔〕A. 2: 1 B, 1^/2: 1 C,遮：1 D, 3: 1点上,线段AB, PQ相交于点M,那么图中/QMB12. 〔2021?烟台〕如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央且相似比为 ▲,点A, B, E 在x 轴上,假设正方形 BEFG 的边长为6,那么C 点坐标为3A . 〔3, 2〕 B, 〔3, 1〕 C. 〔2, 2〕 D, 〔4, 2〕二.填空题〔共5小题〕13. 〔2021陆迁〕假设两个相似三角形的面积比为 1:4,那么这两个相似三角形的周长比是 14. 〔2021?娄底〕如图, /A=/D,要使△ABCs^DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是.〔只需写一个条件,不添加辅助线和字母〕15. 〔2021?宾州〕如图,矩形 ABCD 中,AB 小巧,BC=R ,点E 在对角线BD 上,且BE=1.8,连接AE 并延长交DC 于点F ,那么工里=.CD ----------16. 〔2021彼海〕如图,直线 y=^x+1与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B, 4BOC 与△ BO C 是以点A 为位似中央的位似图形,且相似比为1: 3,那么点B 的对应点B'的坐标为 .17. 〔2021跳山〕如图,在△ ABC 中,D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点,且DE//BC,假设△ ADE 与△ ABC 的周长之比为 2: 3, AD=4,那么DB=. 三.解做题〔共5小题〕18. 〔2021?广州〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A 〔士口〕,点D 的坐标为〔0, 1〕 J J 〔1〕求直线AD 的解析式；〔2〕直线AD 与x 轴交于点B,假设点E 是直线AD 上一动点〔不与点 B 重合〕,当△ BOD 与4BCE 相似时,求点E 的坐标.的位似图形,〔第15题〕〔第16题〕〔第1719. (2021?临夏州)如图, EC II AB, /EDA = /ABF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；2(2)求证：OA =OE?OF.20. (2021?聊城)如图,以Rt^ABC的直角边AB为直径作OO,交斜边AC于点D ,点E为OB的中点,连接CE 并延长交..于点F,点F恰好落在忘的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.(1)求证：OF=£BG;(2)假设AB=4,求DC的长.21. (2021泡州)如图,在4ABC中,点D, E分别在边AB, AC上,/AED=/B,射线AG分别交线段DE, BC于点F, G,且理』!).AC CG(1)求证：△ADF S^ACG；(2) 假设旭」求鲤的值.AC- 2 FG22. (2021?南京)如图,在？ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使/FBC=/DCE.(1)求证：/ D= / F ;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC S^CDP (保存作图的痕迹,不写作法)..选择题〔共12小题〕出 G a 一 b1 .—,那么一「的值是〔〕b 13 a+bA. -2B. -士C. -£D.」3. 149【分析】根据等式的性质,可用 b 表示a,根据分式的性质,可得答案.应选：D.【点评】此题考查了比例的性质,利用等式的性质得出a 〕Lb 是解题关键.134. 〔2021淅州〕如图,直线 a// b//c,直线 m 交直线a, b, c 于点A, B, C,直线n 交直线a,【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解. 【解答】解：a // b// c, DE AB 1 ...—=—=—.EF EC 2应选B.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.5. 〔2021殓华〕在四边形 ABCD 中,ZB=90°, AC=4, AB//CD, DH 垂直平分 AC,点H 为垂足.设AB=x, AD=y,那么y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为〔〕试卷解析卷49'解：由月丁殳,得 b13A .亍 B. C. 9 D. 11 £Jx的取值范围即可解决问题.【解答】解：•••DH垂直平分AC,DA=DC, AH=HC=2,/DAC = /DCH , ••• CD // AB,/DCA = /BAC,ZDAN = ZBAC, ••• ZDHA = ZB=90 °, • . ADAHs △ CAB,里理AC AB. AB VAC,x< 4,图象是D .应选D.【点评】此题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,构建函数关系,注意自变量的取值范围确实定,属于中考常考题型.6. 〔2021?安徽〕如图, 4ABC中,AD是中线,BC=8, / B=/DAC ,那么线段AC的长为〔A . 4 B. 4强C. 6 D. 4/3【分析】根据AD是中线,得出CD=4,再根据AA证出△CBA S^CAD,得出屈@,求出AC即可.BC AC【解答】解：♦••BC=8,CD=4,在4CBA和ACAD中,•. /B=/DAC, ZC=ZC,ACBA^ACAD,£=里BC AC' -2・•. AC2=CD?BC=4 X8=32,AC=4 二；应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质, 关键是根据AA证出△CBAs^CAD,是一道根底题.7. 〔2021硝疆〕如图,在4ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,以下说法中不正确的选项是〔C. AADE^AABCD. S AADE:S AABC=1：2【分析】根据中位线的性质定理得到DE//BC, DE」BC,再根据平行线分线段成比例定理和相似三2角形的性质即可判定.【解答】解：.「□、E分别是AB、AC的中点,DE // BC, DE—BC,蛆AC BC 2'△ ADE^A ABC,. - 一上-口△⑪E iAABC 卷 4'・•.A, B, C正确,D错误;【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定;解题的关键是正确找出对应线段,准确列出比例式求解、计算、判断或证实.8. 〔2021?台湾〕如图的GABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC 于M、N 两点.假设ZB=90°, AB=4 , BC=3 , EF=1 ,贝U BN 的长度为何？〔〕【分析】由DE // BC可得迎=5?求出AE的长,由GF // BN可得空支,将AE的长代人可求得AB BC AB BNBN.【解答】解：:四边形DEFG是正方形,・ .DE//BC, GF// BN,且DE=GF=EF=1 ,AADE^AACB, AAGF^ AANB,T 口①,遇理旦②,AB BC AB BN由①可得,鲤』解得：AE J,4 3 3将AE=^t入②,得:[3解得：BN=—,应选：D.【点评】此题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键.7 .如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为 2.5米,一棵大树的影长为5米,那么这棵树的高度为〔〕A. 1.5 米B. 2.3 米C. 3.2 米D. 7.8 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.【解答】解：二.同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相BC=X5=3.2 米.2. 5【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形, 然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.8. 〔2021确博〕如图是由边长相同的小正方形组成的网格, 点上,线段 AB, PQ 相交于点M,那么图中ZQMB 的正切值是〔【分析】根据题意得出△PAM S ^QBM ,进而结合勾股定理得出求出答案.【解答】解：连接AP, QB, 由网格可得： ZFAB=ZQBA=90° ,应选：C. A, B, P, Q 四点均在正方形网格的格AP=3\/2, BQ =/2, AB=2/2,进而又••• /AMP = /BMQ, APAM^AQBM,,幽鲤, QB EM•, AP=3\/2, BQ=72, AB=2&,V2 2V2 "AM解得：AM = %,仅2tan ZQMB =tan/PMA=^=r £=2 .Afl[ WZ应选：D.【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系,正确得出△ PAM S ^QBM 是解题关键.中央,相似比为工,把^ABO 缩小,那么点A 的对应点A'的坐标是〔〕3A. (-1, 2)B. (-9, 18)C. (-9, 18)或(9, — 18)【分析】利用位似变换是以原点为位似中央,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 -k 进行求解.【解答】解：二“〔-3, 6〕, B 〔-9, -3〕,以原点O 为位似中央,相似比为把^ABO 缩小,3或［—3X 〔一白〕,6X 〔一1〕］,即A 点的坐标为〔—1,应选D.【点评】此题考查了位似变换：在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中央,相似比为9. 〔2021?东营〕如图,在平面直角坐标系中,点A (- 3, 6) ,B ( - 9, - 3),以原点O 为位似D. (-1, 2)或(1, - 2)•••点A 的对应点A'的坐标为〔-3k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.10 .如图,在直角坐标系中,有两点A (6, 3), B (6, 0),以原点O为位似中央,相似比为第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,那么点A的对应点坐标为(234567-2A . (2, 1) B. (2, 0) C. (3, 3) D, (3, 1)【分析】由以原点O为位似中央,相似比为根据位似图形的性质,即可求得答案.3【解答】解：二.以原点O为位似中央,相似比为-1, A (6, 3), 恸,在第一象限内,点A的对应点坐标为：(2, 1).应选A.【点评】此题考查了位似图形的变换. 注意在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中央, 相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.11 .复印纸的型号有A.、A1、A2、A3、A4等,它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号(如A3)的复印纸较长边的中点对折后,就能得到两张下一型号( A4)的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似(如图),那么这些型号的复印纸的长宽之比为( )A . 2: 1 B. V2: 1 C.立:1 D, 3: 1【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a,根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式, 计算即可.【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a,•••得到的矩形都和原来的矩形相似,b---」 - ----- ,3 L那么 b 2=2a 2,/二a..这些型号的复印纸的长宽之比为 V2： 1, 应选：B.【点评】此题考查的是相似多边形的性质,相似多边形的性质为：① 对应角相等；② 对应边的比相12. 〔2021?烟台〕如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央AO 的长,即可得出答案.【解答】解：二,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央的位似图形,且相似比为工3BG 3'••• BG=6, AD=BC=2, . AD // BG, AOAD^AOBG,.•.OB=3,・•.C 点坐标为：(3, 2),【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质,正确得出 AO 的长是解题关键.的位似图形, 且相似比为 1,点A, B, E 在x 轴上,假设正方形BEFG 的边长为6,那么C 点坐标为〔A . (3, 2) B, (3, 1) C. (2, 2) D. (4,2)【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD 的长,进而得出 △OAD S ^OBG ,进而得出二.填空题〔共5小题〕13. 〔2021?宿迁〕假设两个相似三角形的面积比为1: 4,那么这两个相似三角形的周长比是1: 2 .【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比, 根据似三角形周长的比等于相似比得到答案.【解答】解：二.两个相似三角形的面积比为1: 4,・♦.这两个相似三角形的相似比为1:2,・•.这两个相似三角形的周长比是1: 2,故答案为：1: 2.【点评】此题考查的是相似三角形的性质, 掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.14. 〔2021?娄底〕如图,/ A=/D,要使△ABCs^DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是AB // DE .〔只需写一个条件,不添加辅助线和字母〕【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.【解答】B：••ZA=ZD,・•・当/B=/DEF 时,△ABCs^DEF,. AB // DE 时,/ B=/DEF ,・•・添加AB// DE 时,使△ ABCs △ DEF .故答案为AB // DE.【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.15. 〔2021?宾州〕如图,矩形ABCD中,AB=/3, BC=R,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接CF 111AE并延长交DC于点F,那么—二;_.CD 厂【分析】根据勾股定理求出 BD,得到DE 的长,根据相似三角形的性质得到比例式,代入计算即可求出DF 的长,求出CF,计算即可. 【解答】解：二•四边形ABCD 是矩形, /BAD=90 ；又 AB=71, BC=几, •.•孙五屋十&俨3, ••• BE=1.8, DE=3 - 1.8=1.2, . AB // CD,. DF_DE DF-1.2AB =BE'即解得,DF=织&3贝U CF=CD - DF=1,3V3 ,CF 3 1而一m =密故答案为：3|【点评】此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.16. 〔2021彼海〕如图,直线 y=,x+1与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B, 4BOC 与△ BO C 是以点A 为位似中央的位似图形, 且相似比为1:3,那么点B 的对应点B 的坐标为〔-8, -3〕或〔4, 3〕.【分析】首先解得点A 和点B 的坐标,再利用位似变换可得结果. 【解答】解：二•直线y=L+1与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,EB令x=0可得y=1 ;令y=0可得x= - 2,.•・点A和点B的坐标分别为〔-2, 0〕; 〔0, 1〕,••• ^BOC与ABO'C是以点A为位似中央的位似图形,且相似比为1: 3,..0B =以上O' Q 3• .OB' =3AO' = 6,B的坐标为〔-8, - 3〕或〔4, 3〕.故答案为：〔-8, - 3〕或〔4, 3〕.【点评】此题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征,得出点A和点B的坐标是解答此题的关键.17. 〔2021跳山〕如图,在△ ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,且DE//BC,假设△ ADE与△ ABC【分析】由DE// BC,易证△ADE S^ABC,由相似三角形的性质即可求出的长.AB的长,进而可求出DB 【解答】解：.「DE//BC,AADE^AABC,••・ 4ADE与4ABC的周长之比为2: 3,AD: AB=2: 3,••• AD=4,AB=6,DB=AB-AD=2,故答案为：2.【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段〔包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等〕的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.三.解做题〔共5小题〕18. 〔2021?广州〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A 〔工上〕,点D 的坐标为〔0, 1〕3 3〔1〕求直线AD 的解析式；〔2〕直线AD 与x 轴交于点B,假设点E 是直线AD 上一动点〔不与点 B 重合〕,当△ BOD 与4BCE 【解答】解：〔1〕设直线AD 的解析式为y=kx+b,(2)二.直线AD 与x 轴的交点为(-2, 0), OB=2,•・•点D 的坐标为(0, 1), OD=1 ,= y= - x+3与x 轴交于点C (3, 0), .•.OC=3, BC=5•. △BOD 与ABCE 相似,.BD BO OD^OB OD BC BE CE BC CE'普盍表或看卷BE=2/5, CE=氐或 CE±【分析】〔1〕设直线AD 的解析式为y=kx+b,用待定系数法将〔2〕由直线AD 与x 轴的交点为〔- 得BC=5,根据相似三角形的性质得到2, 0〕,得到OB=2,由点D 的坐标为〔0, 1〕,得到OD=1,求BD BO EL —二—=—旦 BC BE CE要工,代入数据即可得到结论.BC CE故直线AD 的解析式为:y —x+1 ;2相似时,求点E 的坐标.A ,D 〔0, 1〕的坐标代入即将A (士上),D (0, 1)代入得:J J解得:•.E (2, 2),或(3, 3.2【点评】此题考查了相似三角形的性质,待定系数法求函数的解析式,正确的作出图形是解题的关键.19. (2021?临夏州)如图, EC//AB, /EDA=/ABF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；2(2)求证：OA =OE?OF.【分析】(1)由EC // AB, ZEDA = ZABF,可证得/DAB=/ABF,即可证得AD// BC,贝U得四边形ABCD为平行四边形;(2)由EC//AB,可得空=迷,由AD // BC,可得更旦,等量代换得出空3,即OA2=OE?OFOE CD OD 0A OE OA【解答】证实：(1) .「EC//AB,ZEDA=ZDAB,••• ZEDA=ZABF,ZDAB=ZABF,AD // BC,••• DC // AB,四边形ABCD为平行四边形;(2) 「EC//AB,・.△OAB S^OED,,囱妈OE OD. AD // BC,・•.△OBF S^ODA,..再阐OD 0A.忸」阐OE 0A【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定,平行线的性质,解题时要注意识图,灵活应用数形结合思想.20. (2021?聊城)如图,以Rt^ABC的直角边AB为直径作OO,交斜边AC于点D ,点E为OB的中点,连接CE并延长交..于点F,点F恰好落在AB的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.(1)求证：OF=：BG;(2)假设AB=4,求DC的长.【分析】(1)直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是4ABG的中位线,即可得出答案; (2)首选得出△FOE^^CBE (ASA),那么BC=FO」AB=2,进而得出AC的长,再利用相似三角形2的判定与性质得出DC的长.【解答】(1)证实：二.以Rt^ABC的直角边AB为直径作.0,点F恰好落在的中点,AF=B F,/ AOF = /BOF,••• / ABC=/ABG=90 ；/ AOF = /ABG,FO // BG,••• AO=BO,FO是^ABG的中位线,FO =—BG ;2(2)解：在AFOE 和^CBE 中,^ZF0E=ZCBE,EO=BE ,b Z0EF=ZCEBAFOE^ACBE (ASA),BC=FO=—AB=2,2A M A B2+BC~2后连接DB,.「AB为.O直径,ZADB=90 ；ZADB=ZABC,••• /BCD = /ACB,ABCD^AACB,解得：DC=织S【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识,正确得出△ BCD^AACB是解题关键.21 . 〔2021泡州〕如图,在△ ABC中,点D, E分别在边AB, AC上,ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE, BC于点F, G,且&-KZ. AC-CG(1)求证：△ADFs^ACG;〔2〕假设理〕求迎的值.AC 2 FG A【分析】〔1〕欲证实△ADFs^ACG,由理旦可知,只要证实/ADF = /C即可.AC CG〔2〕利用相似三角形的性质得到过」,由此即可证实.AG 2【解答】(1)证实：ZAED = ZB, /DAE = /DAE,/ADF = /C,..幽迹AC CGAADF^AACG.(2)解：••• AADF ^AACG,也幽AC AG'又•••迪」,AC 2.』二, 二'【点评】此题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识,记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键,属于根底题中考常考题型.22. (2021?南京)如图,在？ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使/FBC=/DCE.(1)求证：ZD = ZF;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC S^CDP (保存作图的痕迹,不写作法)【分析】〔1〕BE 交AD 于G,先利用AD // BC 得到/FBC=/FGE ,力口上/FBC=/DCE ,所以/FGE =/DCE , 然后根据三角形内角和定理易得ZD = ZF;(2)分另1J作BC和BF的垂直平分线,它们相交于点O,然后以.为圆心,OC为半径作4BCF的外接圆.0,..交AD于P,连ZBP、CP,那么根据圆周角定理得到/F=/BPC,而/F=/D,所以/D=/BPC,接着可证实/PCD=/APB=/PBC,于是可判断△BPC S^CDP.【解答】(1)证实：BE交AD于G,如图,•••四边形ABCD为平行四边形,• . AD // BC,ZFBC=ZFGE,而/FBC=/DCE,ZFGE=ZDCE,••• ZGEF = ZDEC,/D = /F;(2)解：如图,点P为所作.【点评】此题考查了作图-相似变换：两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.也考查了平行四边形的性质.解决〔2〕小题的关键是利用圆周角定理作/BPC = /F.czsx。

第四章图形的相似单元测试(解析版)

第四章图形的相似单元测试一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2(第1题) (第2题) (第5题)2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10 C．或10 D．以上答案都不对3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．37．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3(第7题) (第8题) (第9题) (第11题)8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2；B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF29．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条B．3条C．4条D．5条二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD 与四边形DEFC的面积之比是．15．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为．16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．参考答案与试题解析一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===，=（）2=，==，求出△AFB的面积是48cm2，△ADF 的面积是24cm2，求出△ABD的面积即可．【解答】解：∵E为DC的中点，∴DC=2DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∴===，=（）2=（）2=，==，∵S△DEF=12cm2，∴△AFB的面积是48cm2，△ADF的面积是24cm2，∴△ABD的面积是72cm2，∵DO=OB，∴△ADO和△ABO的面积相等，∴S△AOB的值为×72cm2=36cm2，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△AFB的面积和△ADF的面积．2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10C．或10 D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．【解答】解：（1）作∠APD=∠C∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC（2）作PE∥BC∴△APE∽△ABC（3）作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC（4）作PG∥AC∴△PBG∽△ABC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出==，再根据DF=DE﹣EF即可得出EF的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴==，=，即=，解得EF=4．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．7．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．A、B可用两角对应相等的两个三角形相似；D可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有C中P是BC的中点不可推断．故选C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系．利用△ABF∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解：根据射影定理可得BF2=AF×CF；∵△ABF∽△CEF，∴CF：AF=CE：AB=1：2∴BF2=AF×AF=AF2．故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质．9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到△AME ∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB∵AM ∥CD ，∴∠DCE =∠EAM ，∠CDE =∠EMA ，∴△AME ∽△CDE∴AM ：DC =EH ：EF =1：2，FH =AD =1∴EH =，EF =．∴阴影部分的面积=S 正﹣S △AME ﹣S △CDE ﹣S △MBC =1﹣﹣﹣=．故选B ．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．10．在坐标系中，已知A （﹣3，0），B （0，﹣4），C （0，1），过点C 作直线L 交x 轴于点D ，使得以点D ，C ，O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线一共可以作出（）A ．6条B ．3条C ．4条D ．5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】常规题型；分类讨论．【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD 可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．【解答】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABC D．∴=．设AD=x，AB=y，则AE=x．则=，即：x2=y2．∴=2．∴x：y=：1．即原矩形长与宽的比为：1．故答案为：：1．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解：∵===，∴=，∵2b+3d﹣5f=9，∴2a+3c﹣5e=×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根据四边形BCNM的面积=S△ABC ﹣S△AMN即可解决问题．【解答】解：∵MN⊥AB，∴∠AMN=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN ∽△ACB ，∴==，∵AC ：AB =4：5，设AC =4k ，AB =5k ，则BC =3k ，∵BC =15，∴3k =15，∴k =5，AC =20，AB =25，∴MN =6，AN =8，∴四边形BCNM 的面积=S △ABC ﹣S △AMN =×20×15﹣×8×6=126．故答案为126．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC =2：1，AE 与BD 交于点F ，则△AFD 与四边形DEFC 的面积之比是．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE =x ，S △BEF =a ，再求出S △ADF 的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x 与a 的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE =x ，S △BEF =a ，∵CE =x ，BE ：CE =2：1，∴BE =2x ，AD =BC =CD =AD =3x ；∵BC ∥AD ∴∠EBF =∠ADF ，又∵∠BFE =∠DFA ；∴△EBF ∽△ADF∴S △BEF ：S △ADF ===，那么S △ADF =a ．∵S △BCD ﹣S △BEF =S 四边形EFDC =S 正方形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ，∴x 2﹣a =9x 2﹣×3x •2x ﹣，化简可求出x 2=；∴S △AFD ：S 四边形DEFC =： =： =9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．如图，已知梯形AECF 中，已知点D 是AB 边的中点，AF ∥BC ，CG =3，GA =1，若△AEG 的面积为1，那么四边形BDGC 的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】先求出△AFG 的面积，然后找出S △CEG =9S △AFG =3，再求出S △AFD =2S △AFC =2×=，S △DEB =S △AFD =，最后用面积差即可．【解答】解：AF ∥BC ，CG =3，GA =1，∴，∴FG =EF ，∵AF ∥BC ，∴， ∵D 是AB 的中点，∴AD =BD ，∴ED =FD ，∴FD =EF ，∵=，∴S △AFG =S △AEG =，∵AF ∥BC ，∴△CEG ∽△AFG ，∴，∴S △CEG =9S △AFG =3，∵FG =EF ，FD =EF ，∴FD =2FG ，∴DG =FG ，∴S △AFD =2S △AFC =2×=，∵△BED ≌△AFD ，∴S △DEB =S △AFD =，∴S 四边形BDGC 的面积=S △CGE ﹣S △BED=3﹣=．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△AFG 的面积．16．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC = ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴=，=，∴=，即CF2=GF•EF．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两三角形相似，进而得出即可．【解答】证明：∵AD•AB=AF•AC，∴=，又∵∠A=∠A，∴△DEB∽△FE C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，∴PD==，∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1，DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）证明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD•DM=2（3﹣）=6﹣2，∴AM2=AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2=AD•DM，∴═=，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC，则可得FD2=FB•F C．【解答】证明：连接AF，∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAE=∠FDE，∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAB=∠C，∵∠AFB是公共角，∴△AFB∽△CFA，∴，∴FA2=FB•FC，即FD2=FB•F C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE 和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=B C．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，21 ∴∠AEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠AEC =∠ACB ，又∠CAE =∠CAE ，∴△ACE ∽△ADC ，∴，即AC 2=AE •AD ，∵AE •AD =16，∴AC 2=16，∴AC =4；（2）在△ABC 中，BC ===8，∵AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，∴∠CAE =∠FAE ，∵CE ⊥AD ，∴∠AEC =∠AEF =90°，在△ACE 和△AFE 中，，∴△ACE ≌△AFE （ASA ），∴CE =EF ，∵EG ∥BC ，∴EG =BC =×8=4．【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．。

第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)

第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（）A.1B.C.3D.22、如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1， S2， S3。

若S1+ S3=20，则S2的值为 ( )A.8B.10C.12D.3、如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A' 处，得到折痕BM，且BM与EF相交于点N，若直线BA'交直线CD 于点O，BC ＝，EN ＝，则OD的长为（）A. B.1 C. D.4、如图，，∠1＝∠2，则对于结论：①△ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF ③④，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45、若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1：4B.1：2C.2：1D.1：6、如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A.6B.5C.2D.7、若△ABC∽△DEF，且面积比为1 ：9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.1 ：3B.1 ：9C.3 ：1D.1 ：818、如图，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BD上的点，EF∥AB.若DE= EA，EF=4，则CD的长为（）A.6B.8C.12D.169、如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A.1：1B.1：2C.1：3D.2：310、下列命题是真命题的是（）A.相等的角是对顶角B.两直线被第三条直线所截，内错角相等 C.若m 2=n 2,则m=n D.所有的等边三角形都相似11、如图，在矩形ABCD中，AD＝AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个12、如图1，在等边三角形和矩形中，，点，，都在直线上，且于点，于点，且，，三点共线，将矩形以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形和：无重叠部分；设矩形运动的时间为秒，矩形和重叠部分的面积为；图2为随的变化而变化的函数图象，则函数图象中点的纵坐标是（）A. B. C. D.13、在△ABC中，点D、E在AB，AC上，给出下列四组条件：①∠ADE=∠C②AD•AB=AE•AC③AD=4，AB=6，DE=2，BC=3④AD：AB=1：3，AE：EC=1：2从其中任选一组条件，能判定△ABC和△ADE相似的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14、下列说法中正确的是（）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的菱形都相似15、如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为（）米．（不计宣传栏的厚度）A.4B.5C.6D.8二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，DE⊥AB于E，∠ADC=45°，若DE：AE=1：5，BE=3，则△ABD的面积为________ ． 17、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角顶点C在第一象限，CB⊥x轴于点B，点A在第二象限，AB与y轴交于点G，且满足AG＝OG＝BG，反比例函数y＝的图象分别交BC，AC于点E，F，CF＝k.以EF为边作等边△DEF，若点D恰好落在AB 上时，则k的值为________18、如图，已知A（-4，0）、B（0，3），一次函数与坐标轴分别交于C、D 两点，G为CD上一点，且DG：CG＝1：2，连接BG，当BG平分∠ABO时，则b的值为________.19、若，则________．20、如图，扇形中，. 为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为________21、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD 上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________.22、如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上.若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为30cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为________.23、如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．其中正确的是________ ．（写出所有正确结论的序号）24、如图，在△ABC中，E为AB边上的一点，要使△ABC∽△ADE成立，还需要添加一个条件为________25、如图，点P为∠MON平分线OC上一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM、ON 相交于点A、B，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．如果∠MON=50°，∠APB是∠MON的关联角，那么∠APB的度数为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知＝，求的值.27、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．28、如图，放大镜中的三角形与原三角形具有怎样的关系？29、如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么▱ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？30、已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、B5、B6、D7、A8、C9、B10、D11、B12、D13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、30、。

图形的相似单元测试(含答案)

图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A. 1250千米 B. 125千米 C. 12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝ab ，则ba b a ＋－的值是（） ★ A. 32 B. 23 C. 49 D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到；B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如右上图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（） ★★★A. ∠APB ＝∠EPC ；B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC ＝2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3， AC =4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（） A.35x + B. 45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）AB CA. b a c =+B. b ac =C. 222b a c =+D. 22b a c == 二、填空题11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为．12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD·BC ＝ .14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF . 那么AG ：DH ＝，△ABC 与△DEF 的面积比是 .15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝ .17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 .18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝__ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为．（第20题图）OA 1 A 2A 3A 4 AB B 1 B 2 B 3 14三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒）表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

图形的相似单元测试卷

图形的相似练习题姓名：一、选择题1. 下列各组中的四条线段是比例线段的是（）A.1 cm,2 cm,20 cm,40 cmB.1 cm,2 cm,3 cm,4 cmC.4 cm,2 cm,1 cm,3 cmD.5 cm,10 cm,15 cm,20 cm2. 若a 、b 、c 、d 是互不相等的正数，且a b =c d，则下列式子错误的是（） A .a b c d b d --= B.a b c d a b c d --=++ C.2222a cb d = D.1111ac bd ++=++ 3. 如图1所示，在河的一岸边选定一个目标A ，再在河的另一岸边选定B 和C ，使AB ⊥BC ，然后选定E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 相交于D ，此时测得BD =120米，CD =60米，为了估计河的宽度AB ，还需要测量的线段是（）A.CEB.DEC.CE 或DED.无法确定图1 图24．如图2，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（）A.3米B.4米C.4.5米D.6米5.〈海南〉如图3，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD =∠CB.∠ADB =∠ABCC. AB CB BD CD= D. AD AB AB AC =图3 图46. 如图4，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影长DE =1.8 m ，窗户下檐到地面的距离BC =1 m ，EC =1.2 m ，那么窗户的高AB 为（）A.1.5 mB.1.6 mC.1.86 mD.2.16 m7. 如图5，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，如果23AE EC =,那么AB AC =（） A. 13 B. 23 C. 25D. 35图5 图68. 如图6，在△ABC 中，点D 在BC 上，BD ∶DC =1∶2，点E 在AB 上，AE ∶EB =3∶2，AD ,CE 相交于F ，则AF ∶FD =( )A.3∶1B.3∶2C.4∶3D.9∶49. 如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B ′重合，若AB =2，BC =3，则△FCB ′与△B′DG 的面积之比为（）A.9∶4B.3∶2C.4∶3D.16∶9图7 图810. 如图8，在△ABC 中，AB =6 cm ，AC =12 cm ，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止.点D 运动的速度为1 cm/s ，点E 运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（）A.3 s 或4.8 sB.3 sC.4.5 sD.4.5 s 或4.8 s二、填空题11.若x 是m ,n 的比例中项，则22222111m x n x x ++--= . 12.如图9，小明在A 时测得某树的影长为2 m ，B 时又测得该树的影长为8 m ，若两次太阳的光线互相垂直，则树的高度为 .图9 图1013.如图10，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，如果AB =8，BE =4，DH =3，则△HEC 的面积为 .14.如图11，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR ∽△ABC ，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的 .图1115.〈湖北黄冈，有改动〉如图12，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6 cm,动点P 从点A出发，沿AB 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设点Q 运动的时间为t s ，若四边形QPCP ′为菱形，则t 的值为 .图12三、解答题16. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足438324a b c +++== ，a +b +c =12，试求a 、b 、c 的值，并判断△ABC 的形状.17.〈湖南株洲〉已知在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =3,BC =4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB （如图15（1））或线段AB 的延长线（如图15（2））于点P .图15（1）当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；（2）当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长.18. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过点C作CE垂直BD 交BD的延长线于E，如图16（1）.的值；（1）若BD是边AC上的中线，如图16（2），求BDCE的值.（2）若BD是∠ABC的平分线，如图16（3），求BDCE图1619.〈黑龙江龙东地区〉如图17，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2－25x+144=0的两个根（OA＜OB）,点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E. （1）求点C的坐标；（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD对应的函数关系式；图17（3）若点N在直线DE上，在坐标平面内，是否存在这样的点M，使得以C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.。

图形相似单元测试题及答案

图形相似单元测试题及答案# 图形相似单元测试题及答案一、选择题1. 两个图形相似的条件是什么？A. 面积相等B. 周长相等C. 对应角相等，对应边成比例D. 形状相同答案：C2. 如果两个三角形的对应边长比为2:3，那么它们的面积比是多少？A. 2:3B. 4:9C. 3:2D. 9:4答案：B3. 在相似图形中，对应角的大小关系是什么？A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 不确定答案：A二、填空题4. 如果一个图形放大到原来的两倍，则其面积变为原来的________倍。

答案：45. 相似三角形的判定定理包括SSS（边边边）、SAS（边角边）、_______。

答案：AAA（角角角）三、简答题6. 请解释什么是相似比，并给出一个例子。

答案：相似比是指两个相似图形对应边长的比值。

例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，那么2:3就是它们的相似比。

7. 描述如何判断两个多边形是否相似。

答案：要判断两个多边形是否相似，需要满足以下条件：对应角相等，且对应边成比例。

如果一个多边形的每个角和每条边都与另一个多边形的相应角和边成相同的比例，那么这两个多边形就是相似的。

四、计算题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，BC=8cm，求EF的长度。

答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似比，我们有AB:DE = BC:EF。

将已知数值代入，得到6:9 = 8:EF。

解这个比例，我们得到EF = (8 * 9) / 6 = 12cm。

结束语本单元测试题涵盖了图形相似的基本概念、判定方法和实际应用。

通过这些题目的练习，可以帮助学生加深对图形相似概念的理解和应用能力。

希望同学们能够认真完成这些题目，并在解答过程中发现问题、解决问题，从而提高自己的数学素养。

青岛版九年级数学上册《第1章图形的相似》单元测试卷-带答案

青岛版九年级数学上册《第1章图形的相似》单元测试卷-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.【新独家原创】如图,用放大镜看一个等腰三角形,该三角形边长放大到原来的10倍后,下列结论不正确的是()A.角的大小不变B.周长是原来的10倍C.底边上的高是原来的10倍D.面积是原来的10倍2.如图,练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=6,则线段AC的长为()A.12B.18C.24D.303.如图所示的两个五边形相似,则以下a,b,c,d的值错误的是(M910102) ()A.a=3B.b=4.5C.c=4D.d=84.如图,已知△ABC的六个元素,其中a、b、c表示三角形三边的长,则甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC 不一定相似的是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.【主题教育·中华优秀传统文化】中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中,记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上,则下列结论正确的是()A.CECA =CFBFB.CFBF=EFABC.CEAE=EFABD.CECA=EFAB6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,点O是位似中心,若OA∶AA'=2∶1,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积之比等于() A.1∶2 B.1∶4 C.2∶3 D.4∶97.如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是()A.-12a B.-12(a+1) C.-12(a-1) D.-12(a+3)第7题图第8题图8.圆桌上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射到桌面后,在地面上形成阴影,如图,已知桌面的直径为1.2 m,桌面距离地面1 m,若灯泡距离地面3 m,则地面上阴影部分的面积为()A.0.36π m2B.0.81π m2C.2π m2D.3.24π m29.【双垂直模型】如图,嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m,若A时和B时两次日照的光线互相垂直,则B时的影长DE为() A.2 m B.2√5m C.4 m D.4√2m第9题图第10题图10.如图,在△ABC中,CH⊥AB于H,CH=h,AB=c,若内接正方形DEFG的边长是x,则h、c、x的数量关系为()A.x2+h2=c2B.12x+h=c C.h2=xc D.1x=1ℎ+1c二、填空题(每小题3分,共18分)11.【X字模型】如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1∶2的位似图形,点O为位似中心,若△OAB 内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则P'的坐标是。

人教版数学九年级图形的相似(单元测试卷)

班级小组姓名成绩（满分120）一、填空题（每空4分，共44分）1、如果两个三角形相似，相似比为2∶3，则它们对应边上的中线比为。

2、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为。

3、把一个三角形改成与它相似的三角形，若边长扩大4倍，则面积扩大倍。

4、如图所示，要证ABC ACD∽，已经具备了A A∆∆∠=∠，还需添加的条件是或。

5、两个相似三角形的一对对应边分别为20㎝和8㎝，它们的周长相差60㎝，则这两个三角形的周长分别为和。

6、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是(只需写出一个即可).7、已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ABC与△AED相似.你添加的条件是(只需添加一个你认为适当的条件即可).8、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).9、如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF ∽△CDE，则AF=cm。

二、选择题（每题4分，共24分）10、已知A、B两地的实际距离AB=5千米，画在图上的距离A B＝2cm，则该地图的比例尺是()A、2∶5B、1∶2500C、250000∶1D、1∶25000011、已知线段a，b，且23ab ，则下列说法错误的是()12、在比例尺为1∶20的图纸上画出的某个零件的长是32mm，这个零件的实际长是()A、64mB、64dmC、64cmD、64mm13、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形()A、1对B、2对C、3对D、4对14、△ABC中，DE∥BC，且AD∶DB=2∶1，那么DE∶BC等于()A、2∶1B、1∶2C、2∶3D、3∶215、如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有()A、1条B、2条C、3条D、4条三、解答题（16、17每题9分，其他题目每题10分）16、如图，△ABC与△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，若图中的两个直角三角形相似，求AD的长。

第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册

第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册考生注意：本试卷共三道大题，23道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1.在比例尺是1：8000的地图上，中山路的长度约为25cm，该路段实际长度约为（）A．3200m B．3000m C．2400m D．2000m2.如图，用放大镜将贺兰山旅游图标放大，这两个图形之间属于以下哪种图形变换（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转3．已知＝，则下列式子中正确的是（）A．a：b＝c2：d2B．a：d＝c：bC．a：b＝（a+c）：（b+d）D．a：b＝（a﹣d）：（b﹣d）4．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似5．以下四组线段中，成比例的是（）A．3，4，6，8B．2，3，4，5C．1，2，3，4D．5，6，7，8 6．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在▱ABCD中，E是AB边的中点，则S△AEG：S平行四边形ABCD的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．3二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11．若，则＝．12．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6，那么DF的长等于.13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，∠ABC的平分线交AD于点F，交CD的延长线于点E，若S△EDF：S四边形FBCD＝9：55，则AB＝．14．若，则k＝．15．如图，△ABC∽△CBD，AB＝9，BD＝25，则BC＝．16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则AP＝．第II卷第四章图形的相似单元测试北师大版2024—2025学年秋季九年级上册姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．已知，求的值．18．如图，AB∥CD∥EF，BF＝20．（1）若AC＝3，CE＝5，求DF的长；（2）若AC：CE＝2：3，求DF的长．19.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．20.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE•AB，连接DE．（1）求证：△ABD∽△ADE；（2）若CD＝3，CE＝2，求AE的长．21.如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE＝∠C，＝．（1）求证：△AEB∽△ADC．（2）求△BDE与△ABC的面积比．22.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，过点D作DK⊥BE于K，且DK＝．（1）若AE＝ED，求正方形ABCD的周长；（2）若∠EDK＝22.5°，求正方形ABCD的面积．23.如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF．（1）若AE＝3，求ED的长．（2）求EF的长．24.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12．求的值．25．问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．（1）当AD＝3时，＝；（2）设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示．问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示．。

九年级数学上册第三章《图形的相似》单元测试卷-湘教版(含答案)

九年级数学上册第三章《图形的相似》单元测试卷-湘教版（含答案）一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分，） 1．下列图形中不一定相似的是A ．两个矩形B ．两个圆C ．两个正方形D ．两个等边三角形2．下面四条线段中成比例线段的是A ．1a =，2b =，3c =，4d =B ．3a =，6b =，9c =，12c =C ．1a =，3b =，2c =，6d =D ．1a =，2b =，4c =，6d =3．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，80A ∠=︒，90C ∠=︒，70F ∠=︒，则H ∠等于A ．70︒B ．80︒C ．110︒D ．120︒4．已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，下列结论正确的是A ．2AB AC BC = B ．2BC AC BC = C ．512AC BC -=D ．352BC AB -= 5．如图，已知////AD BE CF ，23AB BC =，3DE =，则DF 的长为 A ．2 B ．4.5 C ．3 D ．7.56．如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，那么下面四个命题中错误的是A ．如果ADB ABC ∠=∠，则ADB ABC ∆∆∽B ．如果ABDC ∠=∠，则ABD ACB ∆∆∽ C ．如果AB AD AC AB =，则ABC ADB ∆∆∽ D ．如果AD AB AB BC=，则ADB ABC ∆∆∽ 7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边60DE cm =，30EF cm =，测得边DF 离地面的高度 1.5AC m =，10CD m =，则树高AB 为A ．4mB ．5mC ．5.5mD ．6.5m第3题图第5题图第6题图第7题图第8题图8．如图所示，在离某建筑物4m 处有一棵树，在某时刻，1.2m 长的竹竿垂直地面，影长为2m ，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m ，则这棵树高约有多少米A ．6.4米B ．5.4米C ．4.4米D ．3.4米9．点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，若2AB =，则(BD =A 51-B 35-C ．35D 5110．如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，8AC =，6AE =，12AB =，则BD 等于A ．3B ．9C ．6D ．811．如图，在ABC ∆，D 是BC 上一点，:1:2BD CD =，E 是AD 上一点，:1:2DE AE =，连接CE ，CE 的延长线交AB 于F ，则:AF AB 为A ．1:2B ．2:3C ．4:3D ．4:712．如图所示，为了测量文昌塔AB 的高度，数学兴趣小组根据光的反射定理（图中12)∠=∠，把一面镜子放在点C 处，然后观测者沿着直线BC 后退到点D ．这时恰好在镜子里看到塔顶A ，此时量得4CD m =，94BD m =，观测者目高 1.6ED m =，则塔AB 的高度为A ．35mB ．36mC ．37mD ．38m第10题图第11题图第12题图二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 13．若两个相似三角形对应角平分线的比是2:3，它们的周长之和为15cm ，则较小的三角形的周长为．14．如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD 和正方形EFGH ，若点A 和点E 的坐标分别为(2,3)-，(1,1)-，则两个正方形的位似中心的坐标是．15．设223x y x -=，则x y = ． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为5，则C 点坐标为．17．如图，ABC ∆中，D 是AB 的黄金分割点()AD BD <，过点D 作//DE BC 交AC 于E ，若35BC =+，则DE = ．第14题图第16题图第17题图18．四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中3b cm =，2c cm =，8d cm =，则a 的长为．三．解答题（共8小题，共66分）19．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且48a b c ++=，457a b c ==，求ABC ∆三边的长．20．如图，在68⨯的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和ABC ∆的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A B C '''，使△A B C '''和ABC ∆位似，且位似比为1:2．（2）连接（1）中的AA '，求四边形AA C C ''的周长．（结果保留根号）21．如图，在ABC ∆中，D 是AB 的中点，F 是BC 边延长线上的点，连接DF 交AC 于点E ．求证：::CF BF CE AE =．（提示：过点C 作//)CG AB22．如图，在ABC ∆中，4BC =，D 为AC 延长线上一点，3AC CD =，CBD A ∠=∠，过D 作//DH AB ，交BC 的延长线于点H ．（1）试说明：HCD HDB ∆∆∽．（2）求DH 的长．23．在ABC ∆中，10BC cm =，6AC cm =，点P 从点B出发，沿BC 方向以2/cm s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，沿CA 方向以1/cm s 的速度向点A 移动，若P ，Q 同时出发，设运动时间为ts ，则CPQ ∆能否与CBA ∆相似？若能，求t 的值；若不能，请说明理由．24．如图，是一个零件图，利用三角形位似的知识，以O 为位似中心把原图尺寸放大2倍．25．我们定义：顶角等于36︒的等腰三角形为黄金三角形．如图，ABC ∆中，AB AC =且36A ∠=︒，则ABC ∆为黄金三角形．（1）尺规作图：作B ∠的角平分线，交AC 于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断BDC ∆是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．26．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36︒（或108)︒时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为512-，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．按下面的步骤画一个五角星（如图）:①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；②过圆心O作半径OC AB⊥；③取OC的中点D，连接AD；④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，正好把O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．任务：（1）求出AEOA的值为；（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：BMN∆是黄金三角形．参考答案一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分，） 1．A ．2．C ．3．D ．4．D ． 5．D ． 6．D ． 7．D ．8．C ．9．C ．10．A ．11．D ．12．B ．二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）13．6cm ． 14．1(4，0)或3(4,)2-． 15． 34． 16． 5(2，5)3． 17． 2． 18．34cm ．三．解答题（共8小题，共66分）19．解：设457a b c x ===，得4a x =，5b x =，7c x =．48a b c ++=，45748x x x ∴++=，解得3x =，412a x ∴==，515b x ==，721c x ==．20．解：（1）如图所示，△A B C '''即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，222425AC =+=， 22125A C ''=+=，所以，四边形AAC C ''的周长为：15225335+++=+．21．证明：过点C 作//CG AB 交DF 于G ， ∴CE CG AE AD=， D 是AB 的中点，AD BD ∴=，∴CG CE BD AE=， //CG AB ，BD FB::CF BF CE AE ∴=．22．解：（1）//DH AB ，A HDC ∴∠=∠，CBD A ∠=∠，HDC CBD ∴∠=∠，又H H ∠=∠，HCD HDB ∴∆∆∽；（2）//DH AB ， ∴CD CH AC BC=， 3AC CD =， ∴134CH =， 43CH ∴=， 416433BH BC CH ∴=+=+=，由（1）知HCD HDB ∆∆∽， ∴DH CH BH DH=， ∴43163DH DH= ∴64893DH ==， 83DH ∴=（负值舍去）．答：DH 的长度为83． 23．解：设运动时间为ts ，则2BP t =，102CP t =-，CQ t =， 90PCQ ACB ∠=∠=︒，∴当CPQ ∆和CAB ∆相似时，有CPQ B ∠=∠或CPQ A ∠=∠，当CPQ B ∠=∠时，则有CP CQ CB CA =，106解得3011t =．当CPQ A ∠=∠时，则有CP CQ CA CB =， ∴102610t t -=，解得5013t =．综上所述，t 的值为3011或5013． 24．解：如图，25．解：（1）如图所示，BD 即为所求；（2）BDC ∆是黄金三角形，理由如下： BD 是ABC ∠的平分线，36ABD CBD ∴∠=∠=︒，36A ∠=︒，AB AC =，1(18036)722ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒，又72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒， BDC C ∴∠=∠，BD BC ∴=，BDC ∴∆是黄金三角形．26．（1）解：设2OA OC m ==，则OD DC m ==， OC AB ⊥，90AOD ∴∠=︒，2222(2)5AD OD AO m m m ∴=+=+=， DE DO m ==，5AE m m ∴=-，∴55122AE m m OA m --==．故答案为：512-．（2）证明：连接OH ，OI ．点F ，G ，B ，H ，I 为五等分点，1360725HOI ∴∠=⨯︒=︒， 36G ∴∠=︒，同理36F FBI GHF BIG ∠=∠=∠=∠=︒，又BMN ∠是MHF ∆的外角， 72BMN F GHF ∴∠=∠+∠=︒，同理72BNM ∠=︒，BMN BNM ∴∠=∠，BM BN ∴=，36FBI ∠=︒，BMN ∴∆是黄金三角形．。