向量的加法运算

走6km”，则
东偏北45° 是_____________
b
B
C
O
a
A
巩固练习
1.向量 ( AB MB) (BO BC) OM _________ AC .
2.在矩形ABCD中，AC 等于（ D ）
A. BC BA C. AD CD B. AB DA D. AD DC C ） C. 2 2 D.
C A B
（1）BC
AB AB BC AC
（2） DB CD BC DB BC CD 0
（3）AB DF CD BC FA
AB BC CD DF FA 0
实际应用
例3.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如 图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于 对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度大小与方向. 解：（1）如图所示. AB 表示水速， AD 表示船速， 以AD、AB为邻边作 ABCD，则 AC 表示船实际航行的速度. C D (2)在Rt△ABC中， AB 2, BC 5,
A
所以
AC
AB BC
2
2
2 2 5 2 29
A B
tan∠CAB=2.5
由计算器得：∠CAB≈68°
答：船实际航行的速度大小为 间的夹角约为68°.
29 km/h，方向与水的流速
练习3.设向量
a 表示“向东走6km”， b 表示“向北
6 2km a b 的方向 a b =________;
练习1.如图，已知 a 、b ，用向量加法的三角形法则
作出 a b .
(1)
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b
(2)
a
(3)
a
a
b
C
b
B
ab
A
C A
ab
B
B
ab
A
C
练习2.如图，已知 a 、b ，用向量加法的平行四边形 法则作出 a b .
b
a
a b
2. 向量加法的三角形法则： 已知非零向量 a 、 b ，在平面内任取一点A，作
AB a ， BC b，则向量 AC 叫做 a 与
记作
b 的和，
a
a b ，即 a b AB BC AC .
ab
A
C
b
a
b
B
首尾相接，首尾连 两个向量的和仍是一个向量
三个顶点； ③若 a、b均为非零向量，则 a b 与 相等. 其中正确的个数为（ B ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
ab
一定
自主小结
1.向量加法的定义及运算法则； 2.向量模的不等式； 3.向量加法的交换律、结合律.
（向量的三角形法则可以扩展到求 多个向量的和向量（封闭三角 形））。
3.向量加法的平行四边形法则：
以同一点O为起点的两个已知向量
OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是 a与 b 的
A
a
、b
为邻边作
和.
a
b
ab
b
B
C
O
起点相同连对角 两种加法法则在本质上是一致的
应 用
2
3.已知正方形ABCD的边长为1， AB a， BC b ， AC c ，
则 a b c 的模为（
A. 0 B. 3
4.下列说法：
①在△ABC中，必有 AB BC CA 0 ；
②若 AB BC CA 0 ，则A、B、C为一个三角形的
4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋|b|的 大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的大小 关系如何？ a
C
a
a＋ b A
ｂ
ｂ
a＋b
ｂ
a
B
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号； |a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号.
探 究
实数的加法满足交换律与结合律.那么，向量
作法1：
例1.如图，已知向量 a 、 b，求作向量 a b . A A O b O
a
ab
ab
B
B
C
在平面内任取一点O，作 OA a ，AB b .则 OB a b .
作法2：
在平面内任取一点O，作 OA a ，OB b .以OA、OB为邻边
作 OACB，连接OC，则 OC OA OB a b .
的加法是否也有类似的运算律呢？ 类比猜想： 2.向量加法的结合律：
1.向量加法的交换律：
a b b a
D b
A
a
(a b) c a (b c)
C
a
B
b
A
c b c c a b C aa b B b
D
应 用
例2.化简：
C
B
O
A
用三角形法则和平行四边形法则求作两个向
量的和向量，其作图特点：
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
探究二：向量加法的代数运算性质 1：零向量0与任一向量a可以相加吗？
规定：a＋0=0＋a=a， 2：若向量a与b为相反向量，则a＋b等于 什么？反之成立吗？
a与b 为相反向量 a＋b=0 3：若向量a与b同向，则向量a＋b的方向 如何？若向量a与b反向，则向量a＋b的 方向如何？
复习回顾
1. 向量的定义：既有大小又有方向的量. 向量的表示：向量可用有向线段来表示. 2.零向量：长度为零的向量. 单位向量： 长度等于1个单位的向量. 3.共线(平行）向量： 方向相同或相反的非零向量. 4.相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
新 知
1.向量加法的定义: 求两个向量和的运算叫做向量的加法.