三角函数与平面向量综合问题的6种类型.doc
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用
高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。
它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。
本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。
希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。
一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。
下面将介绍其中的一些典型应用。
1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。
例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。
我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。
例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。
我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。
3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。
我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。
根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。
二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。
下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。
三角函数与平面向量数列解答题的类型及解题策略
三角函数与平面向量解答题的类型及解题策略主要题型：(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合； (3)三角函数与平面向量交汇； (4)三角函数与解斜三角形的交汇； (5)单纯解斜三角形； (6)解斜三角形与平面向量的交汇． 解题策略：(1)观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向；(2)利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决； (3)利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化． 构建答题模板１.降幂：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； ２.三角函数式的化简，一般化成y ＝Asin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝Acos(ωx ＋φ)＋h 的形式；公式的变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ) ３.由三角函数值求角；（１）由角求三角函数值．要注意角的取值范围；（２）角的变换：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．４.研究函数的单调性(求单调区间)由sin x 、cos x 的单调性，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题； ５.函数图象的变换及函数图象画法，６.函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，对称性，最值． ７.会利用三角函数的有界性求最值；８.解斜三角形：．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ；．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2Rsin_A ，b ＝2Rsin_B ，c ＝2Rsin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范；例1已知函数f(x)＝cos 2(x ＋π12)，g(x)＝1＋12sin 2x. (1)设x ＝x 0是函数y ＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．例2在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m =(a ，btanA)，n =(b ，atanB)．(1)若m ∥n ，试判断△ABC 的形状；(2)若m ⊥n ，且a=2，b= 32 ，求△ABC 的面积．例3已知向量(sin ,1),m x =(3cos ,cos 2)(0)2An A x x A =>，函数()f x m n =∙的最大值 6．（Ⅰ）求Ａ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()y g x =在5[0,]24π上的值域．例4已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c +--= （1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为,b c 。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
平面向量与三角函数相结合问题分析
平面向量与三角恒等变换相结合问题分析平面向量与三角恒等变换都是人教版高中数学必修四中的内容，这些内容在整个高中数学知识体系中占有重要地位，也是一个高考考察的热点问题。
其中平面向量是重要的数学概念和工具,它的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题。
三角函数是重要的基本初等函数，它的定义和性质有着十分鲜明的特征和规律性。
它们都与与代数、几何有着密切的联系。
在此我仅对平面向量与三角函数结合性问题做简要分析。
准备知识：向量加、减、数乘运算及两向量间共线、垂直，数量积、夹角关系等知识点。
三角函数中同角三角函数关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角与半角的正弦、余弦、正切公式。
平面向量与三角恒等变换相结合问题如下：一：结合平面向量运算律考察三角函数的化简求值。
利用向量的运算律得到一个与三角函数有关的式子然后利用三角函数公式进行三角恒等变换进行化简求值。
例1：已知向量a ),cos x x =，()=b ，若//a b ，求sin cos x x 值。
解：由//a b ，x x = （利用向量平行公式）∴tan 2x = （利用同角三角函数关系sin tan cos x x x=） sin cos x x sin cos 1x x =22sin cos sin cos x x x x =+2tan 1tan x x== （此处用到两个技巧：①利用同角三角函数关系将1转化为22sincos x x + ②分子分母同时除以2cos x 将正弦、余弦转化为正切问题）将tan 2x =带入得到：sin cos x x 25=。
二：结合平面向量数量积与三角函数性质求特殊角利用平面向量夹角公式等问题求解三角函数中某角的值或范围。
例2：已知向量()sin ,1x =a ，()2sin x x =b ，若2⊥a b ，且角x的终边不在坐标轴上，求夹角x 。
解：由2⊥a b ，∴2∙a b 0=， （两向量垂直，则它们的数量积为0）∴()()2sin ,12sin 0x x x ∙=∴()()2sin ,22sin 0x x x ∙= （利用数乘向量）∴24sin 0x x += 即 (s i n 2s i n 30x x += （注：此处以sin x 为自变量，当成一个整体，提取公因式）∴sin 0x =或sin 2x =- 由角x 终边不在坐标轴上∴sin 2x =- ∴423x k ππ=+或523x k π=+()k z ∈ （考察知识点：向量的数乘运算，向量数量积，向量垂直公式，三角函数特殊值，三角函数周期性等问题）三：利用平面向量，结合三角函数性质求新函数周期，最值，单调性例3：设函数()f x =∙a b ，其中向量()2c o s ,c o s x x =a ，()sin ,2cos x x =b ，x R ∈。
三角函数与平面向量综合问题—6种类型
三角函数与平面向量综合问题—6种类型一、三角函数与平面向量综合问题经典回顾三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．开心自测题一：设的三个内角，向量，，若，则=（）A．B．C．D．题二：设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．金题精讲题一：平面上三点不共线，设，则的面积等于（）．A．B．C．D．题二：设向量（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）若，求证：∥．题三：在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．题四：设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）．三角函数与平面向量综合问题经典回顾参考答案开心自测题一：C．题二：A．金题精讲题一：C．题二：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）略．题三：（I）；（II）．题四：(Ⅰ)；(Ⅱ)．二、三角函数与平面向量综合问题—6种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
三角函数与平面向量的综合应用
点评
１＝ ０
。
、
三 角 函数 的求值 与平 面 向量的 综合
此 类 题 目的特 点是 所 给 向量 的坐 标 通 过 某角 的正 、 余 弦 给 出， 把 向量 垂 直或 共 线 转 化 为
例 ｌ 已知 ｍ ＝（ ｓ ｉ ｒ ｒ ｘ ， ， ／ ３ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ） ， ｎ：（ ｓ ｉ ｎ ｘ ， ｓ ｉ ｎ ｘ ） ， ＿ 厂 （ ）＝ｍ 。 ｎ。
例 ３ 在 ＡＡ Ｂ Ｃ中 ， 三 内角 Ａ ， ， Ｃ所 对 的边 分
譬 ｓ ｉ ｎ 一 子 ） ，
故， （ ） 的最 小正 周期 ＝ ＝ 叮 ｒ 。
．
别为 ｏ ， ｂ ， ｃ ， 已知 ｓ ｉ ｎ Ｃ＝ ２ ｓ ｉ ｎ （ Ｂ＋ ｃ ） ｃ ｏ ｓ Ｂ 。
（ １ ） 判断 ＡＡ Ｂ Ｃ的形 状 ； （ ２ ） 设平 面 向量 ｌ ｉ ｌ ｔ ：（ ｏ＋ｅ ， ｂ ） ， ｎ＝（ ｂ＋口， ｃ—
方法技Ｉ Ｓ ／ ｇ ｚ ｓ ｚ ｙ 翥 。
三角函数与 平面向量的综合应用
。孙 玉 蓉
角 函数 与平 面 向量 之 间 的综 合 应 用 问题 是
故当２ 一 孚 ｏ
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Байду номын сангаас
近年 高考 热点 问题 之 一 ， 这 类 综 合题 能 很 好地 体 现
ｉ角 变换 的 灵 活 性 和 平 面 向量 的 工具 性 。用 来 考
２ ｓ ｉ ｎ Ａｃ ｏ ｓ Ｂ，
故 一 孚 ＜ ｓ ｉ ｎ （ ２ 一 号 ）
图 像， 求ｇ （ ） 在 ［ 一 — ＇ Ｉ Ｔ ， 寻］ 上 的 最 大 值 。
利用三角函数解决平面向量问题
利用三角函数解决平面向量问题在数学学科中，平面向量问题是一个常见的考察点。
平面向量的运算和性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
而解决平面向量问题中，三角函数是一种常用的工具，它可以帮助我们简化问题的推导和计算过程。
本文将通过几个实际应用的例子，说明如何利用三角函数解决平面向量问题。
首先，我们先来了解一下三角函数的基础知识。
在平面直角坐标系中，我们通常用坐标轴上的角度来表示方向。
而三角函数则是用来描述角度与比例关系的函数。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)等。
一、解决平面向量的夹角问题在平面向量的问题中，经常需要求解向量之间的夹角。
这时，我们可以利用三角函数中求角度的函数来解决。
以两个向量A和B为例，设它们的夹角为θ，我们可以通过以下公式来求解夹角：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。
通过求解夹角，我们可以判断两个向量之间的相对方向关系，并进一步解决问题。
二、解决平面向量的投影问题平面向量的投影问题是另一个常见的问题类型。
在平面直角坐标系中，我们可以将一个向量投影到另一个向量上，从而得到它在另一个向量方向上的分量。
利用三角函数，我们可以很方便地求解向量的投影。
以向量A在向量B方向上的投影为例，投影向量记作P，其长度为P的模，我们有以下公式：P = |A|·cosθ其中，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
利用这个公式，我们可以通过已知向量的模和夹角，计算出向量的投影。
三、解决平面向量的平衡问题在物理学领域中，平面向量的平衡问题也经常被提到。
平衡问题通常是在已知一些力大小和方向的情况下，求解使体系保持平衡所需的额外力。
这时，我们可以利用三角函数和向量相加减的方法来解决。
以一个由两个力F1和F2组成的平衡系统为例，设额外力为F，我们有以下公式：F = - F1 - F2其中，-F1表示力F1的反方向，同理-F2表示力F2的反方向。
三角函数平面向量及解三角形的综合运用
三角函数平面向量及解三角形的综合运用运用三角函数、平面向量和解三角形的综合运用时，常涉及到问题的空间几何解析、力学问题、电磁场问题等等。
本文将从求解平面三角形、力学问题和电磁场问题三个方面进行综合运用的详细说明。
1.求解平面三角形在平面三角形的解析中，我们经常会使用到三角函数的性质。
例如，已知三角形的两边和一个角，可以通过余弦定理求解出第三边的长。
另外，已知三个角或三个边中的一对和对应的一个角，我们可以利用正弦定理求解出其他的边和角。
举例说明：假设有一个平面三角形ABC，其中已知AB=3，AC=4，∠BAC=60°。
求解BC的长度和∠ABC、∠ACB的大小。
首先，我们可以利用余弦定理计算出BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(∠BAC)BC² = 3² + 4² - 2·3·4·cos(60°)BC²=9+16-24·0.5BC²=25-12=13BC=√13接下来，利用正弦定理求解∠ABC和∠ACB的大小：sin(∠ABC) / AB = sin(∠BAC) / BCsin(∠ABC) / 3= sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 3·sin(60°) / √13∠ABC = arcsin(3·sin(60°) / √13)sin(∠ACB) / AC = sin(∠BAC) / BCsin(∠ACB) / 4 = sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 4·sin(60°) / √13∠ACB= arcsin(4·sin(60°) / √13)通过以上计算，我们可以得出BC≈3.605，∠ABC≈39.23°，∠ACB≈80.77°。
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三角函数与平面向量综合问题一6种类型、三角函数与平面向量综合问题经典回顾开篇语三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角 函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三•角函数与平面向量的交汇问题.即一个问题中•既涉及 三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理•问题的能力.因此，在高三数学复习 屮，我们应当有意识•地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析•和研究，逐步 掌握这类问题的求解策略.开心自测题一：•设的三个内角 A ，B,C ,向 § m = (^/3 sin A,sin B), n = (cos B, >/3 cos A),若M = l + cos(4 + B),则C=()ao=2b,则一的取值范围是（）.m金题精讲TVB.-27Tc* T题二：设两个向M a = （^+2, ，一 cos 2 ⑵和",其中a m a 为实数.若B. [4,8]C. [71]D. [一1,6]题一：平面上三点不共线,设OA=a f OB = b,则△408的面积等于（).A.（炉方）2c. *』胡肝-（小疔B .血Fi 肝+@劝2•7TA. _ 6题二：设向量0= (4 cos a, sin a),方=(sin 0,4cos "c= (cos 0,-4 sin P)(I )若a与b_2c垂直，求tan(a+0)的值；(ID求|A+c|.的最大值；(III)若tanatan 0=16,求证：a // b .题三：在△肋C中，角A f B f C所对的边分别为a,b,c ,且满足cos△二逵，AB AC = 3-2 5(I)求△45C的面积；• (II)若E+c = 6,求a的值.题四：设“ABC是锐角三角形，a,b9c分别是内角4B,C所对边长，并且sin2^ = sin(- + 5) sin(--5) + sin2B .3 3(I)求角A 的值；(II)若^5.^4C=12,a = 2>/7 ,求 (其中b<c).名师寄语本讲要点小结与建议：三角函数和平面向量的综合问题是近儿年数学高考的一个新的视角•求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，乂要求我们熟练地进行平而向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算.因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解•训练，提高我们处理这类综合问题的能力.■.三角函数与平面向量综合问题经典回顾参考答案开心自测题_：C.题二：A.金题精讲 题一：C.题二：(I )tan(a+/S) = 2；(11)4迈；＜ni)略. 题三：(I)= 2 ； di ) d — 2*^5 •题，四：(I) J 4 = —； (II) 6 = 4F c= 6.3二、三角函数与平面向量综合问题一6种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值TT 7T【例1】己知0 <◎<二，0为/(x) = cos(2x + -)的最小正周期,4 8a = (tan(a+ —),-1),6 = (cosa,2),3 i =w,求2cos的值4cosa-sina【解答】因为0为/(X ) = COS (2X + 5的最小正周期，故 八兀.因为d b =O_ - J5 B 又a b = cosa tan(a+—)- 2,故COSQ tan(a+—) = w+2.4 4由于0 ＜a ＜兰 所以 2cos 2a+sin2(a+^) 2cos 2a+sin(2a+27T )4 cos a-sin a 2 cos 2 a+ sin 2a 2 cos a(cos a+ sin a) 宀 1 + tana= ---------- : ---------- --------------- =2 cos a cos a-sin a cos a- sin a 1-tana=cosa tan(a+—)=加+2.cos a- sin acos a-sin a【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数川的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】如图，函数y=2sin（7rx^^,xeR（其屮OMeS© ）的图像与V轴交于点（0,1）。
（I ）求©的值；（II）设P是图像上的最高点，.机N是图像与x轴的交点，求页7与莎的夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点（0J）,所以2sin<p= 1,即sin<p=27T 7V因为0"号所以歼（II）由函数y=2sm（加+ 壬）及其图像，得M6 6 3 6所以FA? = (-1 2),P2?= (1-2),从而込 < 麻莎K湮西=2故< 甌莎RarccosH【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向暈的夹角公式:\PM\\PN\ 17 17角的三角函数值，再限定所求角的范I韦I,最后根据反三角函数的基木运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造止切的方程进行求解。
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】在屮，角&&C的对边分别为a,b,c ,tanC=3V7 •(1)求cosC ；（2）若前刃=|,且卄9,求J【解答］(1)・・・tanC=3>/7，•:兰匸=3打, cosC又vsin2C+cos2C=b 解得：co$C=±-,v tan C > 0 , A C是锐角,・・cosC=g.(2) CB• C/4 —— , ab cos C = 一、 ab — 20 ,2 2又・・・a+"9,..疋+ 2必+沪=81,・・/+耳=41,:.c1— a1 +沪—2ab cos C = 36 , .. c = 6 .【评析】根据题屮所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列汕等式求解。
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】/(x) = a 其中向量a = (w,cos2x), 6=(1 +sin 2x,l), xeR,且函数歹=/（力的图象经过点（丁,2）.4(I)求实数刃的值;di)求函数y=/W的最小值及此时天值的集合。
【解答】(I ) /(x) = a i =/(l+sm2x) + cos2x7T 7T 7T由已知/(—)=勿(1+sm—) + cos—= 2,4 2 2(II)由([)得/(x) = 1 +sin 2x + cos 2x = 1 + V2 sin(2x + —)4TT・・・当sin(2x+才)：=-1时,y = /(x)的最小值为近,得天值的集合为由sin(2x + —) = -1,4【评析】涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如y =虫sin(0x + ©) +上，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型五：结合向量平移问题，考査三角函数解析式的求法【解答】・・•—(冷，-2),.・・平移后的解析式为丿・2cos(# +計誇)-2【评析】理清函数y = /(^)按向暈o ■(力*)平移的一般方法是解决此类问题z 关键，平移后的函数解析式为歹二/[G (X -方)卜上.题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】设向量a = (sin x 9cos x),b = (cosx,cos x)9xeR 9 函数/(x) = a (a+i).(I )求函数/(x)的最大值与最小正周期；3(II )求使不等式/(x)>-成立的X 的取值集.【解答】(I ) V /(x) = a (a^b) = a a^a b = sin 2 x+cos 2 x + sin xcosx+cos 2 x=1+孰2雋(S+1)冷+爭n(2书,")的最大值为》孕最小正周期是牛开(II)要使/W>7 成立，当且仅当- + 2^sin (2x + -)>-，2 2 2 4 2TTTTTT 3T T即sin(2x + -)> 0 «>+二— 9keZ , 4488即/(x)>|成立的X 的取值集合是Ix\k7r-^<x<k7r^9kezy平移，则平移后所得图象的解析式为(【例5】将7-2cos的图象按向量。
【评析】结合向量的坐标运算法则，求出函数/(X)的三角函数关系式，再根据三角公式对函数/(X)的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。
【跟踪训练】1-设函数/⑴= 70 +。
其中向 M:<J = (sin x 9-cosx)9b = (sin x 厂3cosx),c = (-cosx,sinx),xeR.（I ）求函数/（X ）的最大值和最小正周期；（II ）将函数7 = /W 的图像按向暈2平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d •_7T 7V2.已知向量& = (sin = (l,cos®,— <& V —.2 2（II ）求F+司的最大值.【参考答案】1 •解：(I)由题意得，/(x) = <? (6 + c) = (sin x,- cos x) (sin x- cos x,sin x - 3cos x)=sin 2 x- 2sin xcosx + 3cos 2 = 2+cos2x-sin 2x = 2 + 72 sin(2x + —),4所以，/⑴的最大值为2 =恵,最小正周期是—=^.乙kjr(ID i+isin(2x+—) = 0 得2x + —= A ：7r,即x = —- — f keZ 94428于是“牛&2）0卜腭峙」HZ ・因为上为整数，要使同最小，则只有上=1,此时/ = (-£,-2)即为所求.O_ 7T 7T2.解：(I)若&丄产，则sin cos 0 ,由此得：tan^= -1,(-— <^ <—),J Q 所以,(II)由a = (sin 0,1), b = (1, cos 0, :a-¥b = J(sin 8 + 1丫 + (1 + cos 刖=j3 + 2(sin& + cos^)7Tsin(& + —) = 1 当 4 时,片词取得最大值，即当&詣时,的最大值为"9+1.。