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三角函数与平面向量综合问题一6种类型

、三角函数与平面向量综合问题经典回顾

开篇语

三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角 函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三•角函数与平面向量的交汇问题.即一个问题中•既涉及 三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理•问题的能力.因此，在高三数学复习 屮，我们应当有意识•地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析•和研究，逐步 掌握这类问题的求解策略.

开心自测

题一：•设

的三个内角 A ，B,C ,向 § m = (^/3 sin A,sin B), n = (cos B, >/3 cos A),若

M = l + cos(4 + B),则C=(

)

a

o=2b,则一的取值范围是（）.

m

金题精讲

TV

B.-

27T

c

* T

题二：设两个向M a = （^+2, ，一 cos 2 ⑵和"

,其中a m a 为实数.若

B. [4,8]

C. [71]

D. [一1,6]

题一：平面上三点不共线,

设OA=a f OB = b,则△408的面积等于（

).

A.

（炉方）2

c. *』胡肝-（小疔

B .血Fi 肝+@劝2

•

7T

A. _ 6

题二：设向量0= (4 cos a, sin a),方=(sin 0,4cos "c= (cos 0,-4 sin P)

(I )若a与b_2c垂直，求tan(a+0)的值；

(ID求|A+c|.的最大值；

(III)若tanatan 0=16,求证：a // b .

题三：在△肋C中，角A f B f C所对的边分别为a,b,c ,且满足cos△二逵，AB AC = 3-

2 5

(I)求△45C的面积；• (II)若E+c = 6,求a的值.

题四：设“ABC是锐角三角形，a,b9c分别是内角4B,C所对边长，并且

sin2^ = sin(- + 5) sin(--5) + sin2B .

3 3

(I)求角A 的值；(II)若^5.^4C=12,a = 2>/7 ,求 (其中b

名师寄语

本讲要点小结与建议：

三角函数和平面向量的综合问题是近儿年数学高考的一个新的视角•求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，乂要求我们熟练地进行平而向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算.因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解•训练，提高我们处理这类综合问题的能力.

■.

三角函数与平面向量综合问题经典回顾

参考答案

开心自测

题_：C.题二：A.

金题精讲 题一：C.

题二：(I )tan(a+/S) = 2；(11)4迈；＜ni)略. 题三：(I)

= 2 ； di ) d — 2*^5 •

题，四：(I) J 4 = —； (II) 6 = 4F c= 6.

3

二、三角函数与平面向量综合问题一6种类型

题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值

TT 7T

【例1】己知0 <◎<二，0为/(x) = cos(2x + -)的最小正周期,

4 8

a = (tan(a+ —),-1),6 = (cosa,2),3 i =w,求2cos

的值

4

cosa-sina

【解答】因为0为/(X ) = COS (2X + 5的最小正周期，故 八兀.因为d b =

O

_ - J5 B 又a b = cosa tan(a+—)- 2,故COSQ tan(a+—) = w+2.

4 4

由于0 ＜a ＜兰 所以 2cos 2a+sin2(a+^) 2cos 2a+sin(2a+27T )

4 cos a-sin a 2 cos 2 a+ sin 2a 2 cos a(cos a+ sin a) 宀 1 + tana

= ---------- : ---------- --------------- =2 cos a cos a-sin a cos a- sin a 1-tana

=cosa tan(a+—)=加+2.

cos a- sin a

cos a-sin a

【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数川的和、差、半、

倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

【例2】如图，函数y=2sin（7rx^^,xeR（其屮OMeS© ）的图像与V轴交于点（0,1）。

（I ）求©的值；

（II）设P是图像上的最高点，.机N是图像与x轴的交点，求页7与莎的夹

角。

【解答】（I）因为函数图像过点（0J）,

所以2sin

2

7T 7V

因为0"号所以歼

（II）由函数y=2sm（加+ 壬）及其图像，得M

6 6 3 6

所以FA? = (-1 2),P2?= (1-2),从而

込 < 麻莎K湮西=2故< 甌莎RarccosH

【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向暈的夹角公式:

\PM\\PN\ 17 17

角的三角函数值，再限定所求角的范I韦I,最后根据反三角函数的基木运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造止切的方程进行求解。

题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例3】在屮，角&&C的对边分别为a,b,c ,tanC=3V7 •