船舶结构力学-2单跨梁弯曲理论
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第二章 单跨梁弯曲理论
2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分 2-2 梁的支座及边界条件 2-3 梁的弯曲要素表及应力计算 2-4 剪切对梁弯曲变形的影响* 2-5 梁的复杂弯曲 2-6 弹性基础梁的弯曲 2-7 梁的弹塑性分析*
2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分
梁：受外荷发生弯曲的构件 单跨梁：仅两端有支座支持的梁（特殊情况：
dN q dx
➢ 矩的平衡（2-7式）
dM dx
N
d dx
EI
d 2v dx2
N
➢ y方向力的平衡（2-8式）
dN dx
q
d2 dx2
EI
d 2v dx2
q
梁的弯曲微分方程式
符号体系
挠度（向下，y正向） 转角 （顺时针，与坐标体系定义一致） 剪力 （左下右上） 弯矩 （左逆右顺）
弯曲微分方程式的解
2-3 梁的弯曲要素表及应力计算
弯曲要素表的应用
➢ 小变形+虎克定律弯曲要素与外载成正比叠加法进行求解 ➢ 弯矩图和剪力图可以叠加求得 ➢ 刚性固定及弹性固定端可视为在自由支持梁端加适当弯矩掌握
基本形式：自由支持梁（例3） 两端加M1，M2 1= 2=0
➢ 弹性支座力的计算与刚性支座一样，但挠度和转角的影响需叠加 （例4）
1.梁上载荷情况+式（2-60或2-61）含有4初参数的挠曲线; 2.列左端边界条件并代入，将挠曲线化简； 3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解； 4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。
注意：用到剪力边界条件时， N EIv mTv
复杂弯曲梁叠加法的应用
尽管复杂弯曲时弯曲要素与u（轴向力）不为线 性关系，但轴向力一定（u为常数）时，弯曲要 素与横向荷重成线性关系，故叠加原理仍可用于 复杂弯曲梁求解
（3）弹性支座
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
➢ 自由支持在弹性支座上
➢ 刚性固定在弹性支座上
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
0
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
➢ 弹性支座刚度系数讨论（无穷或是为零）
（4）弹性固定端
左端左：端v ：vAEIvA左,Ev端Iv,vEIv,右E端Iv：, 右v 端A右：E端Ivv,vAEIv,EvIv EIv
T v A1 A2kx A3chkx A4shkx, k EI
整理得（无外载）
v
v0
0 k
shkx
M0 EIk 2
chkx 1
N0 EIk 3
shkx kx(2 59)
承受任意横向载荷梁的挠曲线表达式（轴向力为拉）
承受任意横向载荷梁的挠曲线表达式（轴向力为压）
复杂弯曲梁初参数法求解
讨论：
分布力
c
x
c
q
x
6EI
3
d
通用挠曲线形式
v
v0
0x
M0x2 2EI
N0x3 6EI
b
Px b3
6EI
x a2
a 2EI
c
x c
q
x
6EI
3
d
2-2 梁的支座及边界条件
边界条件： 弯曲要素的特定值或是弯曲要素之间的特定关系
（1）自由支持在刚性支座上
（2）刚性固定在刚性支座上
v 0, v 0 A 0, 0 v 0,v 0
等断面梁
逐次积分求解，积分常数为初参数
v
v0
0x
M0x2 2EI
N0x3 6EI
1 EI
x 0
x 0
x 0
x 0
qdx4
➢ 承受分布载荷等断面直梁的挠曲线方程
弯曲要素：挠度，转角，弯矩，剪力
讨论：
没有外载，则只与初参数相关
集中力
Px b3
b 6EI
有集中力偶
x a2
a 2EI
坐标系统，符号
几何方程：
y
d 2v dx2
物理方程
胡克定律（线弹性）
E
Hale Waihona Puke BaiduEy
d 2v dx2
平衡关系
弯曲正应力合力为零
梁断面面积对z轴静矩为零，中性轴过断面形心
弯曲正应力合力矩等于断面弯矩
EI
d 2v dx2
M;I
A
y 2 dA
梁的挠度与弯矩之间的微分关系（符号！）
平衡关系
受分布荷重微段平衡
左v 0,v EIv A 0 右v 0,v EIv
初参数法求解单跨梁弯曲要素的步骤
1.梁上载荷情况+式（2-16）含有4初参数的挠曲线; 2.列左端边界条件并代入，将挠曲线化简； 3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解； 4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。
悬臂梁） 单跨梁的弯曲问题：已知梁的尺寸、支持和
外荷求弯曲时变形和应力 船体骨架大多数受载弯曲，各杆件可视为梁。
杆件体系可拆为单跨梁进行分析
梁的弯曲微分方程式
基本假定：平断面假定 在xoy平面发生弯曲的单跨直梁：
挠度 挠曲线
几何方程
由变形关系
y
小变形（小挠度）
1 d 2v
dx2
u kl l T 2 2 EI
轴向力存在时对梁弯曲要素的影响
轴向拉力使梁的弯曲要素减少（ u=0时，辅助函数值 等于1；随u增加，辅助函数值减小，小于1）
轴向压力使梁的弯曲要素增加（ u=0时，辅助函数值 等于1；随u增加，辅助函数值增加，大于1； u*=/2 时，辅助函数值趋于无穷，梁失去稳定性）
➢ 弹性固定在刚性支座上 ➢ 弹性固定在弹性支座上
0
左v 0, v EIv
左右端v：v0, v AEIvE,Iv
左端：v EIv, 右端：v
AEIv,v EIv, AEIv,v EIv
右端：v
➢ 如弹性支座和弹性固定的柔度系数都是无穷，则相当于自由端
弹性固定在弹性支座上
左端：v AEIv, v EIv, 右端：v AEIv,v EIv
应力计算
应力计算：
船用薄壁型工字钢
max
N Aw
My
I
NS（S h/2 ydA)
Ib
y
2-5梁的复杂弯曲
复杂（纵横）弯曲梁
复杂弯曲微分方程式（轴向力为拉）
弯曲微分方程：
d2 dx2
EI
d 2v dx2
q
Tv
等断面且轴力沿长度不变：
EIvIV Tv q
解为齐次方程式的通解和非齐次方程式特解组成。求通解为
（1）自由支持在刚性支座上
A 0, v 0,v 0
（2）刚性固定在刚性支座上
A 0, 0 v 0,v 0
（3）自由支持在弹性支座上
左v AEIv,v 0
右v
AEIv, v
0
（4）刚性固定在弹性支座上
0
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
（5）弹性固定在刚性支座上
2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分 2-2 梁的支座及边界条件 2-3 梁的弯曲要素表及应力计算 2-4 剪切对梁弯曲变形的影响* 2-5 梁的复杂弯曲 2-6 弹性基础梁的弯曲 2-7 梁的弹塑性分析*
2-1 梁的弯曲微分方程式及其积分
梁：受外荷发生弯曲的构件 单跨梁：仅两端有支座支持的梁（特殊情况：
dN q dx
➢ 矩的平衡（2-7式）
dM dx
N
d dx
EI
d 2v dx2
N
➢ y方向力的平衡（2-8式）
dN dx
q
d2 dx2
EI
d 2v dx2
q
梁的弯曲微分方程式
符号体系
挠度（向下，y正向） 转角 （顺时针，与坐标体系定义一致） 剪力 （左下右上） 弯矩 （左逆右顺）
弯曲微分方程式的解
2-3 梁的弯曲要素表及应力计算
弯曲要素表的应用
➢ 小变形+虎克定律弯曲要素与外载成正比叠加法进行求解 ➢ 弯矩图和剪力图可以叠加求得 ➢ 刚性固定及弹性固定端可视为在自由支持梁端加适当弯矩掌握
基本形式：自由支持梁（例3） 两端加M1，M2 1= 2=0
➢ 弹性支座力的计算与刚性支座一样，但挠度和转角的影响需叠加 （例4）
1.梁上载荷情况+式（2-60或2-61）含有4初参数的挠曲线; 2.列左端边界条件并代入，将挠曲线化简； 3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解； 4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。
注意：用到剪力边界条件时， N EIv mTv
复杂弯曲梁叠加法的应用
尽管复杂弯曲时弯曲要素与u（轴向力）不为线 性关系，但轴向力一定（u为常数）时，弯曲要 素与横向荷重成线性关系，故叠加原理仍可用于 复杂弯曲梁求解
（3）弹性支座
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
➢ 自由支持在弹性支座上
➢ 刚性固定在弹性支座上
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
0
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
➢ 弹性支座刚度系数讨论（无穷或是为零）
（4）弹性固定端
左端左：端v ：vAEIvA左,Ev端Iv,vEIv,右E端Iv：, 右v 端A右：E端Ivv,vAEIv,EvIv EIv
T v A1 A2kx A3chkx A4shkx, k EI
整理得（无外载）
v
v0
0 k
shkx
M0 EIk 2
chkx 1
N0 EIk 3
shkx kx(2 59)
承受任意横向载荷梁的挠曲线表达式（轴向力为拉）
承受任意横向载荷梁的挠曲线表达式（轴向力为压）
复杂弯曲梁初参数法求解
讨论：
分布力
c
x
c
q
x
6EI
3
d
通用挠曲线形式
v
v0
0x
M0x2 2EI
N0x3 6EI
b
Px b3
6EI
x a2
a 2EI
c
x c
q
x
6EI
3
d
2-2 梁的支座及边界条件
边界条件： 弯曲要素的特定值或是弯曲要素之间的特定关系
（1）自由支持在刚性支座上
（2）刚性固定在刚性支座上
v 0, v 0 A 0, 0 v 0,v 0
等断面梁
逐次积分求解，积分常数为初参数
v
v0
0x
M0x2 2EI
N0x3 6EI
1 EI
x 0
x 0
x 0
x 0
qdx4
➢ 承受分布载荷等断面直梁的挠曲线方程
弯曲要素：挠度，转角，弯矩，剪力
讨论：
没有外载，则只与初参数相关
集中力
Px b3
b 6EI
有集中力偶
x a2
a 2EI
坐标系统，符号
几何方程：
y
d 2v dx2
物理方程
胡克定律（线弹性）
E
Hale Waihona Puke BaiduEy
d 2v dx2
平衡关系
弯曲正应力合力为零
梁断面面积对z轴静矩为零，中性轴过断面形心
弯曲正应力合力矩等于断面弯矩
EI
d 2v dx2
M;I
A
y 2 dA
梁的挠度与弯矩之间的微分关系（符号！）
平衡关系
受分布荷重微段平衡
左v 0,v EIv A 0 右v 0,v EIv
初参数法求解单跨梁弯曲要素的步骤
1.梁上载荷情况+式（2-16）含有4初参数的挠曲线; 2.列左端边界条件并代入，将挠曲线化简； 3.列右端边界条件，得到求解剩余初参数的方程并求解； 4.写出挠曲线具体表达形式，据题意求相应的弯曲要素。
悬臂梁） 单跨梁的弯曲问题：已知梁的尺寸、支持和
外荷求弯曲时变形和应力 船体骨架大多数受载弯曲，各杆件可视为梁。
杆件体系可拆为单跨梁进行分析
梁的弯曲微分方程式
基本假定：平断面假定 在xoy平面发生弯曲的单跨直梁：
挠度 挠曲线
几何方程
由变形关系
y
小变形（小挠度）
1 d 2v
dx2
u kl l T 2 2 EI
轴向力存在时对梁弯曲要素的影响
轴向拉力使梁的弯曲要素减少（ u=0时，辅助函数值 等于1；随u增加，辅助函数值减小，小于1）
轴向压力使梁的弯曲要素增加（ u=0时，辅助函数值 等于1；随u增加，辅助函数值增加，大于1； u*=/2 时，辅助函数值趋于无穷，梁失去稳定性）
➢ 弹性固定在刚性支座上 ➢ 弹性固定在弹性支座上
0
左v 0, v EIv
左右端v：v0, v AEIvE,Iv
左端：v EIv, 右端：v
AEIv,v EIv, AEIv,v EIv
右端：v
➢ 如弹性支座和弹性固定的柔度系数都是无穷，则相当于自由端
弹性固定在弹性支座上
左端：v AEIv, v EIv, 右端：v AEIv,v EIv
应力计算
应力计算：
船用薄壁型工字钢
max
N Aw
My
I
NS（S h/2 ydA)
Ib
y
2-5梁的复杂弯曲
复杂（纵横）弯曲梁
复杂弯曲微分方程式（轴向力为拉）
弯曲微分方程：
d2 dx2
EI
d 2v dx2
q
Tv
等断面且轴力沿长度不变：
EIvIV Tv q
解为齐次方程式的通解和非齐次方程式特解组成。求通解为
（1）自由支持在刚性支座上
A 0, v 0,v 0
（2）刚性固定在刚性支座上
A 0, 0 v 0,v 0
（3）自由支持在弹性支座上
左v AEIv,v 0
右v
AEIv, v
0
（4）刚性固定在弹性支座上
0
左v AEIv, v 0
右v
AEIv, v
0
（5）弹性固定在刚性支座上