第1章 单跨梁弯曲理论

弯矩图及剪力图
例2（静不定结构） 静不定结构） 计算如图所示，一端刚性固定， 计算如图所示，一端刚性固定，另一端自由支持梁的 中点挠度，右端转角并画出梁的弯矩图及剪力图。 中点挠度，右端转角并画出梁的弯矩图及剪力图。已 知P=Q/3
d 4v EI 4 = q dx
梁的微分方程的解
EIv (4) = q EIv (3) = ∫ qdx + A = N
0 x
EIv (2) = ∫ ∫ qdx 2 + Ax + B = M
0 0
x x
EIv (1)
Ax 2 = ∫ ∫ ∫ qdx 3 + + Bx + C = θ 2 0 0 0 Ax 3 Bx 2 ∫ ∫ ∫ ∫ qdx + 6 EI + 2 EI + Cx + D 0 0 0 0
弯曲微分方程
由材料力学可知；梁的挠度与断面上弯矩的关系为： 由材料力学可知；梁的挠度与断面上弯矩的关系为：
d 2v EI = M 2 dx N + qdx − ( N + dN ) = 0 1 M + Ndx + q(dx) 2 − ( M + dM ) = 0 2 dN dM 可得 =q =N dx dx 代入可得弯曲微分方程为
c 3 2
m( x − a) + a 2EI
2
P(x −b)3 b 6EI
∫
c
x
q(ξ ) (x −ξ)3 dξ 6EI
边界条件
自由支持在刚性支座上
v=0
刚性固定在刚性支座上
v′′ = 0
v′ = 0
v=0
弹性支座
左端：v′′ = 0及v = − AEIv′′′ 右端：v′′ = 0及v = AEIv′′′
0
=
6EI∆ 12 EI ∆ ,N0 = − l2 l3
(3)挠 曲 线 线 方 程 为 3x2 2x2 v = ∆ 2 − 3 l l 6EI∆ 2x 6EI∆ M = E I v ′′ = 1− = l2 l l2 12 EI ∆ N = E I v ′′′ = − − l3
4 x x x x
X X X
1 v= EI
左端 x = 0
A = N0
B = M0
x x x x
C = θ0
D = v0
1 梁的挠曲线方程为： v = EI
N 0 x3 M 0 x 2 qdx 4 + + + θ 0 x + v0 ∫∫∫∫ 6 EI 2 EI 0 0 0 0
当受有集中力、集中弯矩、分布载荷作用时有 N0x M0x v= + +θ0x + v0 + 6EI 2EI +
静定结构
超静定结构
单跨静定
悬臂梁
单跨超静定Fra Baidu bibliotek
两端固定
简支梁
伸臂梁
一端固定， 一端固定，一端铰支
定义坐标系
X轴在梁的中性面上，向右为正 轴在梁的中性面上， 轴向下为正； 轴与x Y轴向下为正；z轴与x、y形成右手坐标系
符号法则
梁的绕度—向下为正； 梁的绕度—向下为正； 梁的断面转角—顺时针方向为正； 梁的断面转角—顺时针方向为正； 梁断面的弯矩—在左断面逆时针方向为正， 梁断面的弯矩—在左断面逆时针方向为正，在右 断 面顺时针方向为正 梁断面的剪力—在左断面向下为正， 梁断面的剪力—在左断面向下为正，在右断面向 上为正
解 ： (1)无 外 载 荷 作 用 时 N 0x3 M 0x2 N 0x2 M 0x + + θ 0 x + v0 + + θ0 v = v′ = 6EI 2EI 2EI EI ( 2 )边 界 条 件 x = 0时 ， v = 0 及 v ′ = 0 x = l时 ， v = ∆ 及 v ′ = 0 将边界条件代入挠曲线方程可得 v 0 = 0， θ 0 = 0， M
弯曲要素表及其应用
例1（静定结构） （静定结构）
求梁的中点挠度、端点转角并画出梁的弯矩图、 求梁的中点挠度、端点转角并画出梁的弯矩图、剪力 梁上受集中力P及弯矩m=0.2Pl 图。梁上受集中力P及弯矩m=0.2Pl
解：由附录可得 ml 2 v1 = − 16 EI ml θ1 = − 3 EI Pl 3 v2 = 48 EI Pl 2 θ2 = 16 EI ml 2 Pl 3 则 有 v = v1 + v2 = − + 16 EI 48 EI ml Pl 2 + θ = θ1 + θ 2 = − 3 EI 16 EI
第一章 单跨梁弯曲理论
主讲内容
梁的弯曲 微分方程 及其解
梁的弯曲要 素表及其应 用
基本概念
• 梁：受外力作用而发生弯曲的杆件 • 单跨梁：仅在梁的两端有支座支持。悬臂梁也属 于单跨梁，它是单跨梁的特殊形式。 • 单跨梁的简单弯曲：梁仅受到垂直于梁轴线的载 荷作用 • 单跨梁的复杂弯曲：梁不仅受到垂直于轴线方向 的力的作用，还受到沿轴向的载荷作用
弹性固定端
θ 与M 间的关系满足
则边界条件为 左端：v=0及v′=α EIv′′ 右端：v=0及v′=-α EIv′′
M θ = α M 或θ = K
例题（挠曲线方程及边界条件的运用） 例题（挠曲线方程及边界条件的运用）
两端刚性固定的梁，当其右支座发生位移△ 两端刚性固定的梁，当其右支座发生位移△时，求 其挠度曲线方程与端点弯矩和剪力。 其挠度曲线方程与端点弯矩和剪力。