平行线压轴题举例

平行线类压轴题举例

1．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．

（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．

2．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D 三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

3．画图题：

（1）在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH．

（2）判断EF、GH的位置关系是．

（3）连接AC和BC，则三角形ABC的面积是．

4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．

（1）如图1中，AC∥DB，请你探究一下∠M，∠A与∠B的数量有何关系，并说明理由

（2）如图2中，当点M向左移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

（3）如图3中，当点M向上移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

（4）如图4中，当点M向下移动到图2所示的位置时，∠M、∠A与∠B又有怎样的数量关系呢？

写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明

5．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

6．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM 交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

参考答案

1．（2016春•碑林区校级月考）已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是∠ABE+∠CDE=∠BED．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED 的数量关系2∠BFD+∠BED=360°．

【分析】（1）首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．

（2）首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）；然后由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD=∠BED．

（3）首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．

【解答】解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：如图1，作EF∥AB，

∵直线AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，

∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．

故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=∠BED．

理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE），

由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）

∠BED=∠ABE+∠CDE，

∴∠BFD=∠BED．

（3）2∠BFD+∠BED=360°．

理由：如图3，过点E作EG∥CD，，

∵AB∥CD，EG∥CD，

∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，

由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，

又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），

∴2∠BFD+∠BED=360°．

故答案为：2∠BFD+∠BED=360°．

【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．