第5章 刚体定轴转动

第五章 刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用
§5-5 角动量守恒
§5-6 转动中的功和能
§5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化； 理想模型； 特殊的质点系；
刚体运动的分类
i i i
rC
m r
i
i i
m
i i
0
J JC mh
2
m r 0
i
此定理可用于任何形状的刚体，但必须是平行轴。
例：如图所示，一正方形边长为 l ，它的四个顶点各有一个 质量为m 的质点，分别求此系统对（1）z1 轴；（2）z2 轴；（3）z3 轴的转动惯量。
z2
z1
(1) J m l2 ;
v电 v泵
转速转化为线速
0.1m
0.29m
2n电 v电 电 r电 r电 15.2m/s 60 n电 2r电 n泵 2r泵 n电 r电 1450 0.1 n泵 500rev/min 60 60 r泵 0.29
例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50 s后静止。
平动——刚体上任何两点的连线始终保持平行的运动。 平动时所有质元的运动完全相同，可用刚体的质心的 运动代替整个刚体的运动。 转动——刚体上所有的质元均绕同一直线做圆周运动。 该直线成为转轴。
一般运动——平动和转动的叠加。
刚体的定轴转动
刚体转动时，转轴固定。
特点:
任意质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 一般情况下，各质元的线速度、加速度不同。 各质元运动的角位移、角速度、角加速度 相同。
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s
2
an 2r 6.16 103 m / s 2
a t的方向与 t 边缘上该点的加速度 a a n a其中 a的大小为 n 向相反， a的方向指向轮心，
a
转动惯量
J mi ri
i
2
特性：（1）与质量有关。 （2）与质量对轴的分布有关。 （3）与转轴的位置有关。 意义：转动惯量是对刚体转动时惯性大小的量度。
轴向总角动量
L J
转动惯量的计算
（1）质点系
J mi ri
i
2
（2）质量连续分布
I r 2 dm
m
线分布 面分布 体分布
[例]利用皮带传动，用电动机拖动一个真空泵．电动机上装一半径为 0.1m 的轮子，真空泵上装一半径为0.29m的轮子，如图所示．如果电动机的转速 为 1450 r/min ， 则 真 空 泵 上 的 轮 子 的 边 缘 上 一 点 的 线 速 度 为 __________________，真空泵的转速为____________________． 解：两轮边缘的线速度是相同的，
OR
M iz ri Fi sin i
轴向总力矩： M z
M r F
iz i i
i i
sin i
§5-4 转动定律的应用
规范的解题思路：
认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。 分析刚体的转动和质点运动情况， 找出相关的线量( v, a ) 和角量( , )， 确定它们之间的关系。 画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。 选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
解：根据题意，设角加速度为：
kt
由角加速度定义变积分后得：


0
d dt ktdt
0 0
t
t
1 2 kt 2
当t=5min=300s时， = 600πrad·s-1，则： k 75


150
t
t2
由角速度定义变积分可得：


0
d dt
z

r Oi
转动平面
rj
mi
m j
描述刚体转动的角量
角位移
d 角速度 dt d d 2 2 角加速度 dt dt
对定轴转动，矢量可简化为标量：

如右图，ω、 α与Z 轴方向相同，其值为正，否则为负； α与 ω方向相同，为加速转动，否则为减速转动。 若α =常量，则刚体作匀变速转动。
（1）求角加速度a和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；
（2）求制动开始后t=25 s时飞轮的角速度； （ 3 ）设飞轮的半径 r=1m ，求在 t=25 s时边缘上一点的速度 和加速度。 解 （1）设初角度为0，方向 如图所示，量值为 0=21500/60=50 rad/s，对 于匀变速转动，可以应用以角 量表示的运动方程，在t=50 s 时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
2
1 mR2 J 圆盘： 对称轴 2 2 2 J mR 薄球壳： 直径 3
球体：
J 直径
2 2 mR 5
例: 如图所示，刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动 惯量如何计算？(棒长为L ,
mL
mO
球半径为R）
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变
dL 任意质点系的角动量定理： M dt dLz z 方向的分量式： M z dt
ri ' ri h
对通过A 点的转动惯量为
心 轴
意 轴
J mi ri '2 mi (ri ' ri ')
i
i
h A ri ' mi C ri
mi (ri h ) (ri h )
mi (ri 2 2h ri h2 )
i
i
mi ri 2 2h mi ri mi h2
M ~ F J ~ m ~ a
m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性
力对定轴z的力矩
选择转轴上任何一点OR 作为 M 的参考点。
Fi i
Fi
z
Mi
O ri riR
力矩： M i r iR Fi


Miz ri riz Fi ri Fi
r
R
dr
解： 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽 度为dr的圆环（如图），它的转动惯量为：
dJ r 2 dm
以 表示圆盘的密度，则圆环的质量为：
dm 2rldr m 由于 2 ，上式可写为： R l 2m dm 2 rdr R
于是，圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量为：
刚体匀变速转动公式
设 : t 0, 0 ; 0 ; 且 常数
容易得到：
0 t
1 2 0 0 t t 2 2 02 2 ( 0 )
同匀变速直线运动公式。
角量与线量的关系
v r a t r , a n r 2
0
t源自文库

150
0
t 2 dt


450
t3
60000 rad 当t=300s，代入上式，得：
30000 r 所以转子在5min中内转过的圈数为： n 2
§5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算
刚体的角动量和转动惯量
角动量： L r p r p r p i i iz i i iR i
J dJ
R
0
2m 3 1 2 r d r mR R2 2
说明：
此例对圆盘厚度l不限制，所以一个质量为m，半径为R的 均匀实心圆柱对其轴的转动惯量也是 1 mR 2 。 2
常用的转动惯量
细杆： J过中点垂直于杆 1 mL2 12
J过一端垂直于杆 1 mL2 3
圆环：
J mR 对称轴
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与 0相同 ；
（2）t=25 s 时飞轮的角速度
（3）t=25 s 时飞轮边缘上一点P的速度 可由
v r
求得。所以
v v r si n r si n900 r 78.5m / s
m 2R
d
r dm
R

dm dl Rd r R cos
在环上取质量元dm， dm距转轴r
J r dm 2 2R cos Rd
2
2 2
2
m
1 2 R mR 2
3
例：求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。 设圆盘的半径为R，质量为m，厚度为l，密度均匀。
0
O a
an
v
r
at
50 a rad/s2 t 50 2 3.14 rad/s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
0
1 2 1 0 0t at 50 50 502 2 2 1250 rad
1250 N ＝625 转 2 2
角动量： Lz
J z
其中转动惯量： J z （对 z 轴）
mi ri 2
i
刚体定轴转动定律：
d M z ( J z ) J z dt
M J
定轴下，可不写角标 Z，记作：
M J
M：对转轴的合外力矩。 J：刚体对转轴的转动惯量
:
刚体的角加速度。
式中： M , J , 必对同一转轴。 与牛顿第二定律比较：
dm dl ：线密度 dm dS ：面密度 dm dV ：体密度
计算转动惯量的几条规律
对同一轴可叠加
J Ji
i
Jc m
C 质心
J
平行轴定理
J J C md
2
d
证 C 为刚体的质心，A为任意一点。以质心C为 任 坐标原点，取 mi , ri h ri ' 质
z3
(2) J 2m l2 ; (3) J 2m l2 .
如图5-10所示，P、Q、R和S是附于刚性轻 质细杆上的质量分别为4m、3m、2m和m的 四个质点，PQ＝QR＝RS＝l，则系统对 OO 轴的转动惯量为________。
O′
P
Q R
R
S R O
[例] 求质量均匀分布的细棒对（1）通过端点的轴转动惯 量；（2）通过杆的中心转动惯量。设棒长为 l ，质量为m 。
解：（1）对过端点的轴
I1 r dm x dx
2 2 0
l
x
O
1 3 1 2 l ml 3 3
（2）对过质心的轴 利用平行轴定理：
x
dx
I C I1 ml 2
2
1 2 ml 12
I I C md 2
例: 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。
解: 在环上任取一小线元dl 其质量
J
m dm dl 2R
R 2 dm
O
R dm

m
0 2
R

2 R
0
m dl 2R
均匀圆环的 转动惯量： J mR 2
mR
2
例: 求质量为M 半径为R 的薄圆筒绕中心轴的转动惯量。 （不计厚度）
解:将圆筒分为一系列的圆环，质 量为dm
O
2 2
此角动量沿Z 轴的分量为：
z
Li

Liz ri pi
Liz
pi
Liz ri pi mi ri vi mi ri2
轴向总角动量：
O ri riR
Lz

i
Liz
m r
i
i i
2
OR


ri 为质元到转轴的垂直距离。 注意：
2 a t2 a n
的方 v
(6.16 103 ) 2 3.142 m / s 2
6.16 103 m / s 2
a 的方向几乎和 a n 相同
例：当陀螺圆盘的转子的角加速度从零开始与时间成正比的 增大，经过5min后，转子以600πrad·s-1的角速度转动， 求转子在这段时间内转过的圈数。
R
dJ dm R dm dJ R
2
2
dJ R Rdm dm MR MR J JdJ V V
J M 2
2
0
0
圆环与圆筒的转动惯量公式相同 2
dJ R dm J MR
2
例：求半经为R质量为m的均匀圆环, 对于沿直径转轴的转动惯量 解：圆环的质量密度为