组合数学-排列组合

前言

组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方。幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。

贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有《黄帝九章细草》、《算法斅古集》斅(音'笑')(“古算法导引”)都已失传。杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳(William Geoge Horner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。

1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。书中首次使用了组合论(Combinatorics)一词。

组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。组合分析主要研究内容是计数和枚举。这与数学分析形成了对照。

第一章排列组合

在这一章我们要用加法法则和乘法法则解决最基本的几种组合模型，包括排列、组合的计数问题。

第一节加法法则与乘法法则

加法法则设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n 种产生方式。

集合论语言：若|A|=m,|B|=n,A∩B=φ,则|A∪B|=m+n。

/*

例某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。

例北京每天直达上海的客车有5次，客机有3次，则每天由北京直达上海的旅行方式有5+3=8种。

*/

乘法法则设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m·n种产生方式。

集合论语言：若|A|=m ,|B|=n,A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},则|A×B|=m·n。

/*

例某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5×3=15个。

例从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有3×2=6条道路。例某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有4×2=8种着色方案。若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是4×4=16，而只有4×3=12种。

在乘法法则中要注意事件A和事件B的相互独立性。

例1)求小于10000的含1的正整数的个数2)求小于10000的含0的正整数的个数

1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个.含1的有：9999－6560=3439个

另: 全部4位数有104个,不含1的四位数有94个,含1的4位数为两个的差:104－94=3439个2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。

在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。

不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个

不含0小于10000的正整数有9+92+93+94=(95－9)/(9－1)=7380个

含0小于10000的正整数有9999－7380=2619个

*/

第二节排列与组合

在本节中我们要用加法法则和乘法法则解决一系列关于排列、组合的计数问题。我们将从中学数学中已经出现的最简单的排列、组合讲起。

1．从a,b,c 3个字母中取2个做排列，能有几个不同的排列？把它们列举出来。

这些排列是ab,ac,ba,bc,ca,cb ，一共有6个。

2．从a,b,c 3个字母中取两个做组合，即不考虑它们的顺序，例如ab 与ba 看作是相同的，这样的安排是ab,ac,bc ，一共有3个。

上面的问题都是我们在中学数学中熟悉的。我们先来温习几个相应的定义。 定义1.2.1

从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个元的（无重）排列。这些排列的全体组成的集合用P (n,r)表示。排列的个数用P (n,r)表示。当r=n 时，称为全排列。一个排列也可看作一个字符串，r 也称为排列或字符串的长度。

在上述定义中，一个排列的第1位有n 个选择，第2位有(n-1)个选择，第k 位有(n-k+1)个选择，故P (n,r)=n(n-1)…(n-r+1)。

/*

从a,b,c 3个字母中取2个做排列，可用一棵树表示： /* 定义0！=1，P (n,n))!(!n n n -=!0!n = = n! 上述（无重）排列的计数相当于将r 个不同的球（将r 个球编为1号到r 号）放入n 个不同的盒子，每盒最多一个球的方案数。

定义1.2.2

从n 个不同元素中，取r 个不重复的元素，不考虑其次序，构成一个子集，称为从n 个元中取r 个元的（无重）组合。这些组合的全体组成的集合用C (n,r)表示，组合的个数用C (n,r)或⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛r n 表示。用C(n,r)中的一个组合中的元素作全排列，有r!个。于是 C (n,r)•r! = P (n,r))!

(!r n n -= 故C (n,r)!

)!(!r r n n -= 从a,b,c 3个字母中取2个做组合，每个组合对应2!个排列：ab:ab,ba ；ac:ac,ca ；bc:bc,cb 。 组合的计数相当于将r 个相同的球放入n 个不同的盒子里，每盒最多一个球的方案数。

定义1.2.3

从n 个不同的元素中，取r 个可重复的元素，按次序排成一列，称为从n 个元中取r 个

元的可重排列。这些排列的全体组成的集合，用r)(n,P 表示。排列的个数用r)(n,P 表示。

因这样的可重排列的每一位都有n 个选择，共有r 位。故r)(n,

P = n r 。 从a,b,c 3个字母中取2