浙江省2021届高考数学专题-数列求和(较难)

数列求和—非常规通项常规求和方法

一、错位相减法

1、数列{}n a 满足12a =，1*

11(21)2(2)()n n n n n n a a a a n N ++++=-∈.{}n a

（1） 求23,a a 的值；

（2） 如果数列{}n b 满足2n

n n a b =，求数列{}n b 的通项公式.

2、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*

121()n n a S n N +=+∈.

（1） 求数列{}n a 的通项公式；

（2） 在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这n+2个数依次组成公差为n d 的等差数列，

设数列1n d ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，求证：2n T <.

3、已知数列{}n a 的首项1a a =，前n 项和为n S ，且满足2

1324n n S S n n ++=++.

（1） 若数列{}n a 为递增数列，求实数a 的取值范围；

（2） 若11a =，数列{}n b 满足1111,()2n

n n n n b b b a a -+=-⋅=+，求数列{}n b 的通项公式.

4、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1232486,,,a a a a a a ++=成等比数列，若数列{}n b 满足

1*1223113

...3,22

n n n b b b n N a a a +++++=⨯-∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列{}n b 的前n 项和n S .

5、对于数列{}n a ，我们把121121......n n n a a a a a a a --++++++++称为数列{}n a 的前n 项的对称和（规定：{}n a 的前1项的对称和等于1a ）.已知等差数列{}n c 的前n 项的对称和等于2

*

2,n n t n N ++∈. （1） 求实数t 的值； （2） 求数列2n n c ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项的对称和.

6、已知正项数列{}n a 满足：11a =，*

121()n n a a n N +-=∈.

（1） 求证：{}+1n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 满足：11b a =，且数列11n n n b b a +⎧⎫-⎨

⎬+⎩⎭

的前n 项和为1

12n -，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .

7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5

34,,2

S S S 成等差数列，521322a a a =+-. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 设2

n

n n S b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .

8、已知数列{}n a 满足111,1n n a a a +=-=，数列{}n b 满足110,n n n b b b a +=-=. （1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2） 数列{}n c 满足2n a

n n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .

9、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，125a =，且11113,,a a a 成等比数列. （1） 求使不等式0n a ≥成立的最大自然数n ； （2） 记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，求证：1312

2525n T -≤≤.

10、已知数列{}n a 满足14a =，当1

1212()2.n n n n a a a a +-≥-++⋅⋅⋅=时，

（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 若+2n n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：3

14

n T ≤<.

11、已知数列{}n a 的各项都是正数，12a =，其前n 项和为n S ，且当2n ≥时，2

11,,4

n n n S a S -构成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足(1)ln n

n n b S =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n T n <.

12、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*

21(,,)n n S a bn a b R n N =⋅+-∈∈.

（1） 当1,1a b ==时，求数列{}n S 的前n 项和n T ； （2） 若数列{}n a 是等比数列，证明：3+12

1223n 1

...1n n a a a S S S S S S ++++<.

13、数列{}n a 满足11a =，120n n a a ++=，其前n 项和为n S ，数列21n b n ⎧⎫

⎨⎬+⎩⎭

的前n 项积

为

1

21

n +. （1） 求n S 和数列{}n b 的通项公式； （2）

设n c =

求数列{}n c 的前n 项和为n T ，并证明：对任意的

正整数m,k ，均有m k S T >.

14、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足

*2()12

n n S n N a =∈-

.

（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 若12(1)(1)n n n n a b a a ++=--，求证：1212111

...4(...)n n

b b b a a a +

++<+++.