量子力学第六章、固体的能带理论

三、克龙尼克-潘纳模型 1、模型 克龙尼克-潘纳模型是周期性势场为一维方势阱的特例。
势场周期为（a+b），势垒高度为V0，势垒宽度为b。 假定V0足够大，b足够小，二者的乘积是一个有限值。
2、根据克龙尼克-潘纳模型计算得到E~k关系曲线
在周期性势场中，电子有带状结构的能谱。能谱由允带和禁带 交替排列组成。禁带出现在k= (/a)· h的位置，其中h为整数。 E是k的偶函数，即E（k）= E（-k） 能量较高的允带较宽，能量较低的允带较窄 对于任一能带，能量E是波矢k的周期函数，周期为倒格矢k h = (2/a)h。 En k En k kh
四、布洛赫定理的一些重要推论 1、布洛赫函数及能量的严格表达式 对于每一指定的波矢k，对应着很多波函数和能量，它们分 属不同的能带。第n个能带的波矢为k的波函数和能量记为 r n,k(r)、 E n (r) ，布洛赫波n,k (r) = Un,k (r) eik· 2、周期性 K态与k+kh态是相同的状态。即 Ψn,K(r)=Ψn,K+Kh(r) En(K)=En(K+Kh) 其中倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3 如果将k值限制在第一布里渊区-/a~ /a内，这些波矢完全能标 志所有的波函数和能量，它们称为简约波矢。因此第一布里渊区 也称为简约区。 电子的能量对称性与晶体点群对称性一致：E n (k)= E n (k)。 其中表示晶体所有的点群对称操作。
3、根据上述近似所建立的有关固体中电子状态的理论就是能带理 论。 4、薛定谔方程： 2 2 r 2 E V r r 0
5、由于晶体结构具有周期性，因而晶体中的每个价电子都处在一 个完全相同的严格周期性势场中。 电子势函数V（r）的周期与晶体结构的周期相同： V（r）= V（r+Rn）。其中Rn=n1a1+n2a2+n3a3是格矢。
二、布洛赫定理 1、布洛赫定理 在周期性势场中，薛定谔方程的解（电子波函数）
k r Uk r e
其中
ik r
U k (r ) U K (r Rn )
2、布洛赫波 r形式的波函数称为布洛赫波。 具有 k (r) = Uk (r) eik· r被晶格周期 布洛赫定理表明，布洛赫波是自由电子的平面波eik· 函数Uk(r) 调幅的平面波。
六、状态密度 1、概念 状态密度：给定体积的晶体在单位能量间隔内所包含的电子状态 数。 K空间的每一点对应于能带内的一个能量E，而一个给定的能量E 对应着波矢空间的一系列k点，这些k点在波矢空间形成的曲面称 为等能面。 2、公式 三维情况 由于在k空间内k点的密度是Vc/(2)3，因而能量为E和E+E 的两个等能面之间的壳层包含的k点数目为[Vc/(2)3]Vk。 考虑到能带的准连续性，则在E和E+dE之间的壳层内包含 的k点数为
Rl 3、布洛赫定理的另一种表示： n,k (r+Rl) = eik· n,k (r)。 在布洛赫函数中，将坐标平移一个格矢的效果是乘上一个相位 Rl 。 因子eik· 4、周期性势场中的电子是晶体中的公有化电子。 由布洛赫定理得到|n,k (r) |2= | n,k (r+Rl) |2，表明周期性势 场中的电子在r处与r+Rl处出现的几率相等，即电子在各个元胞 的对应点出现的几率是一样的。 电子是公有化的，而不是局限在某个特定的原子附近运动。 5、ħk不是晶体电子的真实动量 对于自由电子，波函数是平面波， ħk是动量算符的本征值，P= r的电子的真实动量。 ħk是处在状态k (r) = A eik· 对于一维周期性势场中的电子， d d ikx ikx d i k x i Uk x e k k x i e Uk x dx dx dx 由于右边第二项一般不为零，因而k (x)不是动量算符-iħd/dx 的本征态，ħk不是动量算符的本征值。 ħk在晶体中发生的许多过程中起电子动量作用，常被称为电子 的晶体动量（或准动量）。
dZn
K空间的 体积元dk=dSEn0‧dk ，其中dSE是等能面上的面 元，n0是面元的法向单位矢量。
3、波矢k的密度 每个波矢k在倒空间所占体积为
N


2 3
Vc
在第一布里渊区内，波矢k的数目为 /N
N
Vc
在倒空间内波矢k的密度为 在二维情况下，波矢k的密度为 在一维情况下，波矢k的密度为
N

2 3
2
Sc / 2 Lc / 2
其中，Vc、Sc、Lc分别为晶体的体积、面积、长度。 4、由于在第一布里渊区内k的数目为N，因此在每个能带内有N个 能量状态，即一个能带内有N个能级。又由于N是一个很大的数， 且能带的宽度仅为数电子伏特。所以在一个能带内部能级十分密 集，可以近似地看作是连续的或者准连续的。
eik N1a1 1 eik N3a3
eik N2a2
K N1a1 2 l1 1即 K N 2 a2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ l2 K N a 2 l 1 3 3 3
其中l1、l2、l3 0, 1, 2,
2、波矢k的取值 设k=1b1+ 2b2+ 3b3，其中1、 2、 3是待定的系数。代入 上式，求得 1=l1/N1 2=l2/N2 3=l3/N3 于是k=（l1/N1）b1+ （l2/N2 ）b2+ （l3/N3）b3
五、周期性边界条件与波矢k的取值 1、周期性边界条件 晶格的周期性边界条件用于布洛赫波得
n,k r n,k r Ni ai
利用调幅因子的周期性，得到：
i 1,2,3
ik r ik r ik Ni ai U r e U r N a e e 将布洛赫函数代入 n,k n,k i i