矢量场旋度

1 = h1h2 h3
2
h2 h3 h3 h1 ( )+ ( ) x 2 h2 x 2 x1 h1 x1
h1 h2 ( ) + x3 h3 x3
其中
e1 , e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢； 为正交曲线坐标系的基矢；
= ( x1 , x 2 , x 3 ) 是一个标量函数； 是一个标量函数；
3、不同坐标系中的微分表达式(Difference Expression
in Different Coordinates) z
ez
p (x,y,z)
ey
y为常数平面
ex
y x
a) 笛卡儿坐标
x为常数平面
x1=x， x2=y， x3=z
h1=1，h2=1，h3=1 =1， =1，
= ex + ey + ez z x y
A = A ( x1 , x 2 , x3 ) = A1e1 + A2 e 2 + A3 e3 是一个矢 量函数，只有在笛卡儿坐标系中， 2 A = ( 2 A)1 e1 + 量函数，只有在笛卡儿坐标系中，
( 2 A ) 2 e 2 + ( 2 A ) 3 e 3 ，在其它正交坐标系中
( 2 A) i ≠ 2 Ai
b) 圆柱坐标系 坐标变量: 坐标变量: x1= r x2=φ x 3= z 与笛卡儿坐标的关系： 与笛卡儿坐标的关系： x=rcosφ x=rcosφ z= z 拉梅系数: 拉梅系数: h1=1 h3=1 h2=r y=rsinφ y=rsinφ
x
φ为常数平面 φ r
z
z为常数平面
ez
eφ
y
er
s → 0
∫ A dl lim
L
s
即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状 即单位面积平均环流的极限。 无关， 无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方 且通常L 向 n ，且通常L的正方向与 n 规定要构成右手螺旋法 则，为此定义
∫ A dl n rotA = × A = lim
h1e1 1 × A = h1 h2 h3 x1 h1 A1 e1 = h2 h3 e2 + h1 h3
h2 e 2 x2 h2 A2
h3 e3 x 2 h3 A3
( h3 A3 ) ( h2 A2 ) x3 x2
( h1 A1 ) ( h3 A3 ) x1 x3 e3 ( h2 A2 ) ( h1 A1 ) + h1 h2 x1 x2
1 1 Ar + ( rAφ ) r φ r r
e z
u 1 1 2u 2u 2u = + 2 (r )+ 2 2 r r r r φ z 2 A = ( 2 A ) r e r + ( 2 A ) φ eφ + ( 2 A ) z e z
将 2 A = ( A) × ( × A) 应用于圆柱坐标可得： 应用于圆柱坐标可得：
Ar 2 Aφ ( A) r = Ar 2 2 r r φ Aφ 2 Ar 2 2 ( A)φ = Aφ 2 2 r r φ
2 2
( A) z = Az
2 2
c) 球坐标系
z
θ为常数平面 平面
er
(r,θ,φ)
eφ
eθ
r
r为常数平面 平面 φ θ
y
φ为常数平面 平面
x
坐标变量： 坐标变量： x1 = r , x2 = θ , x3 = φ 与笛卡儿坐标的关系： 与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数： 拉梅系数： h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sin θ
§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理
Rotation of Vector Field, Stoke’s Theorem
1、矢量场 的环流(The Circumfluence of Vector’s 的环流(The Field) 在数学上，将矢量场 A(x ) 沿一条有向闭合曲线L 在数学上， 即取定了正线方向的闭合曲线） （即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分
L s →0
s
称为矢量场 A(x ) 的旋度（rot是rotation缩写）。 的旋度（rot是rotation缩写 缩写）。 旋度的重要性在于， 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附 近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot 近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rotA = 0 称为无旋场。 称为无旋场。 3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 斯托克斯定理（ Theorem）
c = ∫ A dl
L
称为 A 沿该曲线L的循环量或流量。 的循环量或流量。 2、旋度(Rotation) 旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，
以闭合曲线L 以闭合曲线L为界的面积 S 逐渐缩小， A dl 也将逐 逐渐缩小， ∫L 渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值， 渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记 作
Second-order Difference Operatowenku.baidu.com, Green’s Theorem
1、一阶微分运算(First-order Difference Calculation) (First将算符直接作用于标量场和矢量场，即分别得 直接作用于标量场和矢量场， 到梯度、散度和旋度， 到梯度、散度和旋度，即 , A , × A 这些都 叫一阶微分运算。 叫一阶微分运算。 举例： 举例： a)设 a)设 为源点x ′ 2 2 2 r = ( x x′) + ( y y′) + ( z z ′) 之间的距离， 的方向规定为源点指向场点， 与场 x 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点， 的梯度。 试分别对场点和源点求r 的梯度。
2 2
Aθ 2 Ar ( A)θ = Aθ + 2 ( θ r 2 sin 2 θ cos θ Aφ ) 2 sin θ φ Aθ Ar 2 2 2 ( A) φ = Aφ + 2 ( + ctgθ φ r sin θ φ Aφ ) 2 sin θ
2 2
§0 - 5
二阶微分算符
格林定理
[
]
1 2
2 ( x x ′)
同理可得： 同理可得：
r ( y y ′) = , y r
故得到： 故得到：
r ( z z ′) = z r
r r r r = ex + ey + ez x y z ( x x′) ( y y ′) ( z z ′) = ex + ey + ez r r r 1 r = ex ( x x′) + e y ( y y ′) + e z ( z z ′) = = r r r
= e x + ey + ez x y z A y A x A z A= + + x y z ex × A= x Ax 2 = 2 x
2
ey y Ay + 2 y
2
ez z Az + 2 z 2
2 A = ( 2 A x ) e x + ( 2 A y ) e y + ( 2 A z ) e z
er × A=
1 r 2 sin θ r Ar
1 eθ r sin θ θ rAθ
1 eφ r φ r sin θ Aφ
Aθ 1 (sin θ Aφ ) = er r sin θ θ φ 1 1 Ar + ( rAφ ) eθ r sin θ φ r 1 + r Ar r ( rAθ ) θ eφ
1 2 u= 2 (r r r 1 + 2 2 r sin θ
2
u 1 u )+ 2 (sin θ ) θ r r sin θ θ 2u φ 2
2 A = ( 2 A) r er + ( 2 A)θ eθ + ( 2 A)φ eφ
其中
2 1 1 Aφ ( A) r = Ar 2 Ar + (sinθAθ ) + sinθ θ sinθ φ r
e1 e2 H1 e3 H1 = q1 H 2 q2 H 3 q3 e1 e2 H 2 = q2 H1 q1 e1 e3 H 3 = q3 H1 q1 e2 e1 H1 = q1 H 2 q2 e3 H 2 e1 H 2 e2 = q2 H 3 q3 H1 q1
e2 e3 H 3 = q3 H 2 q2 e3 e1 H1 = q1 H 3 q3 e3 e2 H 2 = q2 H 3 q3 e3 e1 H 3 e2 H 3 = q3 H1 q1 H 2 q2
r为常数平面
= er + eφ + ez r rφ z
1 u u u u = e r + eφ + ez r φ z r 1 1 Aφ Az A= (rAr ) + + r r r φ z 1 er r × A= r Ar eφ φ rAφ 1 ez r z Az
Ar Az 1 Az Aφ =( )e r + ( )eφ r φ z z r
第一步：源点固定， 是场点的函数， 第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点 求梯度用 r表示，则有 表示，
场源点
r
场点（观察点） 场点（观察点）
x′
o 坐标原点
x
r r r r = ex + ey + ez x y z
而
r 1 = ( x x ′) 2 + ( y y ′) 2 + ( z z ′) 2 x 2 ( x x ′) = r
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ
1 1 = er + eθ + eφ r r θ r sin θ φ u 1 u 1 u u = e r + eθ + eφ r r θ r sin θ φ 1 2 1 A= 2 ( r Ar ) + (sin θAθ ) r sin θ θ r r 1 Aφ + r sin θ φ
Expression of Hamilton Operator, Gradient, Divergence, Rotation and Laplace Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinates)
1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 A= h1 h2 h3 (h2 h3 A1 ) + (h3 h1 A2 ) + (h2 h1 A3 ) x 2 x 3 x1
其中
2 2 2 2 2 = h12 dx1 + h2 dx 2 + h3 dx3
x 2 y 2 z 2 hi = ( ) + ( ) + ( ) xi xi xi
(i = 1,2,3)
称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三 度量系数（ 拉梅系数）， ），正交坐标系完全由三 个拉梅系数h 来描述。 个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算 梯度、散度、 符 2在正交曲线坐标系下的一般表达式(The General
1、度量系数(Measurement Coefficents) 度量系数(Measurement 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的 x,y,z是某点的笛卡儿坐标 是某点的笛卡儿坐标， 正交曲线坐标， 正交曲线坐标，长度元的平方表示为
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
∫ A ds = ∫∫ ( × A) ds
L s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合 曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然
§0 - 4
正交曲线坐标系中运算 的表达式
Expression of Operation on Orthogonal Curvilinear Coordinates Frame
[
]
第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度 第二步：场点固定， 是源点的函数， 表示。 用 ′r 表示。
r r r ′r = e x + ey + ez x ′ y ′ z ′
而 r = 1 [( x x′) 2 + ( y y′) 2 + ( z z′) 2 ]1 2 2( x x′) (1)