物理竞赛力学

机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。
x = x( t )
或
y = y( t )
z = z( t )
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∆§1.3 位移，速度，加速度
一.位移（displacement）： 位移 —— 质点在一段时间内位置的改变。 z P 1 r( t ) x
O P2
Δr
r(t+Δt )
轨迹
y
∆r = P1 P2 大小： 位移：∆r = r ( t + ∆t ) − r ( t ) P1 → P2 8 方向：
3
∆§1.1 参考系 、坐标系
一.参考系（frame of reference, reference system） 由运动的相对性， 描述运动必须选取参考系。 参考系： 用来描述物体运动而选作参考的物体 或物体系。 不同参考系中物体 运动学中参考系可任选， 的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。 常用的参考系： ▲ 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ▲ 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ▲ 地面参考系或实验室参考系 4 ▲ 质心参考系（第三章§3.5）
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三. 速度（velocity）：
∆r 1.平均速度（average velocity）：v = ∆t
质点位矢对时间的变化率叫速度。
2.（瞬时）速度（instantaneous velocity）： ∆r d r = =r v = lim ∆t → 0 ∆t d t v
υ雨对人
du 若 u = const . 则a0 = = 0, 有a = a ′ dt
a = a ′ + a0
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几点说明： 1.以上结论是在绝对时空观下得出的： 只有假定“长度的测量不依赖于参考系” （空间的绝对性）， 才能给出位移关系式： ∆r = ∆r ′ + ∆r0 只有假定“时间的测量不依赖于参考系” 才能进一步给出关系式： （时间的绝对性）， v = v′ + u 和
分离变量：
z
dz =
z0
ω
2
g
rdr
等号双方积分：∫ d z =
∫0
r
ω2
g
rdr
6
解得：
z=
ω2
2g
r 2 + z0 （旋转抛物面）
1
2
二.角量与线量的关系
线量
v = Rω dv at = = Rα dt 2 v 2 an = = Rω R
角量
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§1.6 平面曲线运动 （plane curvilinear motion）
一个任意的平面曲线运动，可以视为由一系 列小段圆周运动所组成。 加速度：
dv v a= ⋅ et + ⋅ en dt ρ
·
▲
2 列方程： N + m g = m a = − m ω r
ω
z
N
z向： r向：
N cosθ − mg = 0 (1)
水
z0 O
θ a θ z r m
·
mg
− N sin θ = − m ω 2 r ( 2) dz 由导数关系：tg θ = (3) dr 2 ω d z r = r (1)(2)(3)得： dr g
x
r = r ( x, y, z ) = xi + yj + zk y ˆ + yy ˆ + zz ˆ 或 r = xx
6
二. 运动函数（function of motion） 在坐标系中配上一套同步时钟，可以给出质点 位置坐标和时间的函数关系 —— 运动函数。 r (t ) = x(t )i + y(t ) j + z(t )k
5.线加速度（linear acceleration）： v = v ⋅ et dv d 切向单位矢量 a = = (v ⋅ et ) e t ( t + ∆t ) t t d d ∆θ → 0 e t 法 d et dv e n ∆θ ∆e t = ∆θ ⋅ e n et + v = 向 R ω dt dt ∆θ e t ( t ) 单
物理 B
（一）
力学 热学
若干补充内容
1
力学（Mechanics）
▲ 质点力学： 复习、提高
1.使知识系统化，条理化； 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）； 3.提高分析能力（量纲分析，判断结果的合 理性等）； 4.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。
▲ 刚体、相对论： 新内容
要认真体会其思想、观点，掌握其处理问 题的方法。 2
●
∆§1.2 质点的位置矢量、 运动函数
一.质点位置矢量（position vector of a particle） 用来确定某时刻 位置矢量（位矢、矢径）： z
·
质点位置（用矢端表示）的矢量。
P( t )
●
z( t )
位置矢量：
轨迹
r( t ) ^ z k y( t ) j ^ xO ^ x( t ) y i
a = a ′ + a0
绝对时空观只在 u << c 时才成立。
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2.不可将速度的合成与分解和伽利略速度变 换关系相混。 速度的合成是在一个参考系中，总能成立； 伽利略速度变换则应用于两个参考系之间， 只在u << c时才成立。
3. a = a0 + a ′ 只适用于相对运动为平动的情形。
求导 积分
v, a
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一. 描述圆周运动的物理量 1.角位移：∆θ （angular displacement）
dθ = θ 2.角速度： ω = dt （angular velocity）
∆s R ∆θ θ ω,α x O
v
dω 3.角加速度(angular acceleration)：α = = θ dt d s R dθ 4.线速度(linear velocity)： = = Rω v= 13 dt dt
2
P1
· ρ
1
e t1 en1
O1
曲率圆2
ρ2 P 2
O2
··
运动轨迹
·
en2
et 2
ρ ―曲率半径
在曲线上的各点固结一系列由 当地的切线和法线所组成的坐标 系称自然坐标系。
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曲率圆1
§1.7 相对运动（relative motion）
在不同参考系中观察同一物体运动。 仅讨论一参考系 S ′ 相对另一参考系 S 以速 度 u 平动时的情形： 位移关系： y′ u y y′ u S ′ S S′ ∆r = ∆r ′ + ∆r0 ∆r B
v = v ′ + u 称为伽利略速度变换
υ人对地(骑车) υ雨对地
（Galilean velocity transformation） [例] 雨天骑车人只在胸前铺 一块塑料布即可遮雨。 υ雨对地=υ雨对人+υ人对地(骑车) （υ ） （υ′） （u ） 加速度关系： 在 S ′相对于S平动的条件下
二. 坐标系（coordinate system）
为定量描述运动，需在参考系上固结坐标系。 固结在参考系上的一组有刻度的射线、 坐标系： 曲线或角度。 参考系选定后，坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。 z 常用的坐标系： z ▲ 直角坐标系（ x , y , z ） θ r ▲ 球极坐标系（ r,θ, ϕ ） y ϕ ▲ 柱坐标系（ρ, ϕ, z ） y x ρ ▲ 自然“坐标系”（本章§1.6） 5 x
第一章 质点运动学 （Kinematics of particles）
Δ§1.1 参考系 、坐标系（书§1.1 ） Δ§1.2质点的位置矢量、运动函数（书§1.1 ） Δ§1.3 位移、速度、加速度（书§1.2、§1.3 ） Δ§1.4 匀加速运动（书§1.4、§1.5、§1.6 ） §1.5 圆周运动（书§1.7 ） §1.6 平面曲线运动 §1.7 相对运动（书§1.8 ）
a t 是引起速度大小改变的加速度。
v an = R
2
─ 法向加速度 (normal acceleration) 或 向心加速度 (centripetal acceleration)
a n 是引起速度方向改变的加速度。
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思考：
· a a · O a
·
a4 v
3
左图中分别是什么情形？ 是否都能存在？
( t +Δ t )
Δv v
( t +Δ t )
2 ∆v d r d v = = 加速度：a = lim = r dt ∆t → 0 ∆t dt2
y
加速度的方向：v 变化的方向
dv dv 加速度的大小：a = a = ≠ dt dt
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运动学的两类问题：
r (t )
O′ ∆ r 0 O′ A
·
A′
●
A′
∆r ′
●
·
x′ 速度关系： x
O
′ 称为相对速度（relative velocity） v
称为绝对速度（adsolute velocity） v
x′
v = v′ + u
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u 称为牵连速度（convected velocity）
1
Δ§2.1 牛顿运动定律
▲
第一定律（惯性定律） （First law，Inertia law） 除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。 第一定律 定义了“惯性系”（inertial frame） 定性给出了“力”与“惯性”的概念