第三节 正交变换法化二次型为标准型.
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T T T T
T T x Ax x Ax x x x x , T T
T
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
所以 x x xi xi xi
T i 1 i 1
n
n
2
0, 0,
即 , 由此可得是实数.
第三节
正交变换法化二次型 为标准形
正交变换：标准正交基到标准正交基的坐 标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是 正交矩阵. T X AX 为标准形的 用正交变换X=CY化二次型 问题，等价于求正交矩阵C,使得： CT AC C 1 AC diag (1, 2 ,..., n ),
由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有 n个线性无关的实特征向量，从而它必相似 于对角矩阵. 现须说明，一定存有A的n个特征向量组成 的标准正交组，为简化计算，先看下面的 定理：
定理3 设 1和2是对称矩阵A的互异特征根， X 1和X 2分别A的属于它们的特征向量，则 X 1与X 2正交.
证明：1 X1 AX1 , 2 X 2 AX 2 , 1 2 ,
A对称, A AT , T T T T T T 1 X 1 X1 AX1 X 1 A X 1 A,
1
于是
1 X 1 X 2 X 1 AX 2 2 X 1 X 2
注：此种类型需要先写出二次型矩阵.
补充知识
(1) 矩阵等价. 设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变 换可以化为B,则称A与B等价. 判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B). (2) 矩阵相似. 方阵，逆 判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征 值相同且都可以相似对角化，则A相似与B. 特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由 于对称矩阵都可对角化，故只要A与 B相同，则A相似与B.
对角线元素是矩阵A的全部特征值.
定理5 任一个n元实二次型f X AX ,
T
一定存在正换X CY (C 1 C ), 把该 二次型化为标准形：
2 2 f Y T BY 1 y12 +2 y2 ... n yn .
二次项系数是矩阵A的全部特征值.
利用正交矩阵将对称矩阵对角 化的方法
(3) 矩阵合同.
实对称矩阵，转置 判别方法：A与B均为n阶实对称矩阵，则A与B 合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个 数相同. A：-2，1，2
练习1：设 0 A 0 2 0 1 0
B：1，1，-1
A相似但不合同 B合同但不相似
2 1 0 ，B 1 0
，则 ( ) B 1
C相似且合同
D不合同也不相似
练习2：设 1 1 0 ，B A 0 1 1 ，则( C ) 0 0
A相似但不合同 B合同但不相似
C相似且合同 D不合同也不相似
E A E B 2 ( 1)2 0
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k 重特征根, 则矩阵A的对应于的特征 子空间的维数恰等于k ,即齐次线性方程组： ( E A) X 0的基础解系恰有k 个解向量， 亦即：r ( E A) n k , 从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章 定理6：设0是n阶矩阵A的k 重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数 不超过重数k .
此式表明，当C为正交矩阵时，由上式 所得的对角矩阵既与A合同，又与A相 似，且对角线元素全是A的全部特征值。
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
证明：
设复数为对称矩阵A的特征值 , 复向量x为 对应的特征向量 ,
即 Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数 ,
x表示x的共轭复向量 ,
则
Ax Ax
Ax x x.
于是有
T
及 x Ax x A x A x x x x x x.
T T T
T 1 T 1
(1 2 ) X X 2 0, 1 2 , 故：X X 2 0, 即二者正交.
由定理3，Biblioteka Baidu合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵A，一定存在 正交矩阵C ,使得： 1 2 T 1 C AC C AC O . n
注： (1)求出特征值后，正交对角化后的 矩阵已经确定;
(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交 化即可. (3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化， 构成正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致. (4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择 .
例2：用正交变换化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4 为标准形，并求相应的正交变换.
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1 求矩阵A的特征值, 2 求特征值的特征向量, 3 将属于同一特征值的特征向量正交化, 4 单位化特征向量, 5 单位化的向量为列，构造正交矩阵；
从而正交对角化对称矩阵.
例1：设对称矩阵 2 2 4 A 2 4 2 2 2 4 求一个正交矩阵C，使得C T AC 为 对角矩阵，并写出此矩阵.
T T x Ax x Ax x x x x , T T
T
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
所以 x x xi xi xi
T i 1 i 1
n
n
2
0, 0,
即 , 由此可得是实数.
第三节
正交变换法化二次型 为标准形
正交变换：标准正交基到标准正交基的坐 标变换(可逆的线性变换)X=CY，其中C是 正交矩阵. T X AX 为标准形的 用正交变换X=CY化二次型 问题，等价于求正交矩阵C,使得： CT AC C 1 AC diag (1, 2 ,..., n ),
由定理1和定理2可得:n阶对称矩阵A一定有 n个线性无关的实特征向量，从而它必相似 于对角矩阵. 现须说明，一定存有A的n个特征向量组成 的标准正交组，为简化计算，先看下面的 定理：
定理3 设 1和2是对称矩阵A的互异特征根， X 1和X 2分别A的属于它们的特征向量，则 X 1与X 2正交.
证明：1 X1 AX1 , 2 X 2 AX 2 , 1 2 ,
A对称, A AT , T T T T T T 1 X 1 X1 AX1 X 1 A X 1 A,
1
于是
1 X 1 X 2 X 1 AX 2 2 X 1 X 2
注：此种类型需要先写出二次型矩阵.
补充知识
(1) 矩阵等价. 设A,B为同型矩阵，若A经过有限次初等变 换可以化为B,则称A与B等价. 判别方法：A与B等价的充要条件是r(A)=r(B). (2) 矩阵相似. 方阵，逆 判别方法：A与B均为n阶矩阵，若A与B的特征 值相同且都可以相似对角化，则A相似与B. 特别的：A与B均为n阶对称矩阵，由 于对称矩阵都可对角化，故只要A与 B相同，则A相似与B.
对角线元素是矩阵A的全部特征值.
定理5 任一个n元实二次型f X AX ,
T
一定存在正换X CY (C 1 C ), 把该 二次型化为标准形：
2 2 f Y T BY 1 y12 +2 y2 ... n yn .
二次项系数是矩阵A的全部特征值.
利用正交矩阵将对称矩阵对角 化的方法
(3) 矩阵合同.
实对称矩阵，转置 判别方法：A与B均为n阶实对称矩阵，则A与B 合同的充要条件是：矩阵A与B的正负特征值个 数相同. A：-2，1，2
练习1：设 0 A 0 2 0 1 0
B：1，1，-1
A相似但不合同 B合同但不相似
2 1 0 ，B 1 0
，则 ( ) B 1
C相似且合同
D不合同也不相似
练习2：设 1 1 0 ，B A 0 1 1 ，则( C ) 0 0
A相似但不合同 B合同但不相似
C相似且合同 D不合同也不相似
E A E B 2 ( 1)2 0
定理2 设 A为 n阶对称矩阵, 是A 的k 重特征根, 则矩阵A的对应于的特征 子空间的维数恰等于k ,即齐次线性方程组： ( E A) X 0的基础解系恰有k 个解向量， 亦即：r ( E A) n k , 从而对应特征值
恰有 k 个线性无关的特征向量.
对比复习：第五章 定理6：设0是n阶矩阵A的k 重特征值， 则A的对应于0的特征子空间的维数 不超过重数k .
此式表明，当C为正交矩阵时，由上式 所得的对角矩阵既与A合同，又与A相 似，且对角线元素全是A的全部特征值。
由第五章矩阵可以相似对角化的条件，只 要说明矩阵A的特征值都是实数，且一定 有n个特征向量组成的标准正交组,则问题 就可以得到完全解决. 定理1 n阶对称矩阵的特征值必为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值 i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0 是实系数方程组 ,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
证明：
设复数为对称矩阵A的特征值 , 复向量x为 对应的特征向量 ,
即 Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数 ,
x表示x的共轭复向量 ,
则
Ax Ax
Ax x x.
于是有
T
及 x Ax x A x A x x x x x x.
T T T
T 1 T 1
(1 2 ) X X 2 0, 1 2 , 故：X X 2 0, 即二者正交.
由定理3，Biblioteka Baidu合矩阵相似对角化的理论，
可得以下定理4：
定理4 对n阶对称矩阵A，一定存在 正交矩阵C ,使得： 1 2 T 1 C AC C AC O . n
注： (1)求出特征值后，正交对角化后的 矩阵已经确定;
(2)每次只需对同一特征值的特征向量正交 化即可. (3)每一特征值的特征向量正交化后，单位化， 构成正交矩阵，特征向量与特征值要位置一致. (4)正交矩阵不唯一，依赖于基础解系参数的选择 .
例2：用正交变换化二次型 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4 为标准形，并求相应的正交变换.
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：
1 求矩阵A的特征值, 2 求特征值的特征向量, 3 将属于同一特征值的特征向量正交化, 4 单位化特征向量, 5 单位化的向量为列，构造正交矩阵；
从而正交对角化对称矩阵.
例1：设对称矩阵 2 2 4 A 2 4 2 2 2 4 求一个正交矩阵C，使得C T AC 为 对角矩阵，并写出此矩阵.