2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)

定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
e1 e2
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2 3e2
2e1
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
2e1 3e2
a
e1 e2
定理的应用：
例2. 如图， 平行四边形ABCD两条对角线
相交点M且 AB a , AD b, 用a , b表示 MA , MB , MC , MD .
向量的坐标表示
在平面坐标系内，我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、作为基 j 底，由平面向量基本定 理可知，对任一 向量a，有且只有一对实数 、y使得 x a xi y j.
我们把( x , y )叫做向量a的直角坐标, 记作a ( x，y ). 其中x叫做a在x轴上的 坐标x , y叫做a在y轴上的坐标, a ( x , y ) 叫做向量a 的坐标表示.
e1
M
e1
C
a
e1
O
a
B
C
'
O
e2 B A
'
e2
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
N M
B e
'
A
2
A
C
a
e1
M
e1
C
a
e1
O
a
B
C
'
O
e2 B A
'
e2
N
平面向量基本定理：
如果 e1 , e2 是同一平面内两个不 共线的向量，那么对这 一平面内任 意一个向量a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e2 .
A
C
a
O
e1 e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
A
C
a
e1 O
'
e1
e2 B A
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
' B e
A
2
C
a
e1 O
'
e1
e2 B A
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
D
C M
b
A
a
B
定理的应用：
OB 例3. 如图, OA、 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
P
B
O A
定理的应用：
OB 例3. 如图, OA、 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
本题的实质是：
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
4
C
B
( 2) 如图，平面内有 、B两 3 A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢？ 1
j
A
x
O i 1
2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j 底表示向量a . y
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
问题一：
在刚才我们总结的定理 中， 基底 e1， 2 是不是唯一的呢？ e
基底不共线也不唯一，任意 两个不共线的向量均可作基底．
问题二：
给定基底e1， 2 之后，任意一个 e 向量a的表示是不是唯一的呢 ？
问题二：
给定基底e1， 2 之后，任意一个 e 向量a的表示是不是唯一的呢 ？
给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的．
N
' B e
A
2
C
a
e1 O
'
e1
e2 B A
M
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
N
B e
'
A
2
A
C
a
e1
M
e1
C
a
e1
O
O
e2 B A
'
e2
B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
N
B e
'
A
2
A
C
a
讨论：
⑴ 当a与e1或e2共线时，可令
1或2为0即可使结论成立.
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
A
e1 A a
O e 2
B
e1 e2 B O a
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
已知两个非零向量a、 , 作OA a , b OB b , 则AOB , 叫向量a、b的 夹角. 当 0 , a、 同向; b
o
当 180 , a、 反向; b
o
当 90 , a与b垂直, 记作a b.
o
向量的坐标表示
在平面坐标系内，我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、作为基 j 底，由平面向量基本定 理可知，对任一 向量a，有且只有一对实数 、y使得 x a xi y j.
e1
O
A
M
a
B
C
e2
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
B N
C
e2
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
解：
e1 e2
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
定理的应用：
C
A
e1 A a
B e O e 2 2
'
B
e1 e2 B O a
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
A M
e1 A a
N
B e O e 2 2
'
B
e1 e2 B O a
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
A M
e1 A a
N
B e O e 2 2
'
B
e1 e2 B O e1 a '
A
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
A M
e1 A a
N
B e O e 2 2
'
B
A M
e1 e2 B O e1 a '
C
N
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边 ？ 形
AB OB OA O i 1 4i 4 j） ( 2i 1 j ) （ (4 2)i (4 1) j 2i 3 j
j
A
x
2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
思考:
(1)给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出 向量 3e 2e , e 2e .
1 2 1 2
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用
形如 1 e1 2 e2 的向量表示？
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关 系呢？
P
B
O A
定理的应用：
OB 例3. 如图, OA、 不共线, 且 AP t AB ( t R ), 用 OA, OB 表示 OP .
本题的实质是：
已知O、A、B三点不共线， P 若点 P 在直线 AB 上， 则 OP m OA nOB, 且 m n 1.
B
A
O
向量的夹角:
e1
O
A
M
a
B N
C
显然： OM ON a
e2
归纳：
根据向量共线的条件 存在唯一的一对 , 实数 1，2，使得： OM 1 e1 , ON 2 e2 , 故a 1 e1 2 e2 .
e1
O
A
M
a
B N
C
e2
想一想：
确定一对不共线向量 e1， 2 后， e 是否平面内任意一个向 量都可以用 1 e1 2 e2来表示呢 ？
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
4
C
B
( 2) 如图，平面内有 、B两 3 A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢？ 1
j
A
x
O i 1
2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
4
C
B
( 2) 如图，平面内有 、B两 3 A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢？ 1
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
解：
e1 e2
2e1
定理的应用：
已知向量e1、 e2 , 求作向量 a， 例1. 如图， 使 a 2e1 3e2 .
e1 e2
a
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
4
C
B
( 2) 如图，平面内有 、B两 3 A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢？ 1
j
A
x
O i 1
2 3 4
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
4
C
B
( 2) 如图，平面内有 、B两 3 A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 量 AB 呢？ 1
O
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
O
a
C
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j
4
3 C
2 1 j
a
x
2 3 4
O i 1
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
平面向量基本定理：
如果 e1 , e2 是同一平面内两个不 共线的向量，那么对这 一平面内任 意一个向量a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e2 .
其中e1，2 叫做表示这一平面内 e 所有向量的一组基底 .
问题一：
在刚才我们总结的定理 中， 基底 e1， 2 是不是唯一的呢？ e
4
3 C
2 1 j
百度文库
a
x
2 3 4
O i 1
平面向量的坐标表示
(1) 如图，若 | i || j | 1，以向量i、为基 j y 底表示向量a .
a 2i 3 j 即： 2,3） a （
以原点O为起点的 向量OC的坐标与点C的 坐标相等.
4
3 C
2 1 j
a
x
2 3 4
O i 1
平面向量的坐标表示
2.3平面向量的基本 定理及坐标表示
复习引入
如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？
a b
复习引入
如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？
a b
向量b 与非零向量a共线条件是： 有且只有一个实数 ，使b a .
O
A
a
C
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
a
B
C
e2
平面向量基本定理：
观察如图三个不 共线向量e1 、 、 2 , 它 a e 们之间会有怎样的关
e1 e2
a
系呢？ 将三个向量的起点移到同一点：