初中竞赛数学第6讲一元二次函数的图象和性质

第六讲二次函数的图象和性质

【趣题引路】

例生产某商品xt需费用1000+5x+

1

10

x2元,出售该商品xt时的价格是每吨a+

x

b

元,

其中a,b是常数,如果生产出的商品都能卖掉,并且当产量是150t时利润最大,•这时的价格是每吨40元,求a,b的值.

解析设卖出xt的利润是y元,则

y=x(a+x

b

)-(1000+5x+

1

10

x2)

=(1

b

-

1

10

)x2+(a-5)x-1000.

又由题设知,当x=150时,y最大,因此

5

150,

11

2()

10

150

40.

a

b

a

b

-

⎧

-=

⎪

-

⎪

⎨

⎪

+=

⎪

⎩

即

300

35,

150

40. a

b

a

b

⎧

+=

⎪⎪

⎨

⎪+=

⎪⎩

解得 a=45,b=-30.

当b=-30时, 1

b

-

1

10

<0,

∴函数有最大值.

∴a=45,b=-30为所求.

点评

这是一个关于商品的利润问题,解决此类问题的关键是函数建模,使之转变为函数问题,利用一元二次函数的性质求解.二次函数的研究通常和一元二次方程、一元二次不等式等联系起来.

【知识延伸】

例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是(8,0),顶点坐标是(6,-12),求这个二次函数的解析式.

解析 方法一:由题意可列方程组 22

880,6,

212.4a b c b a

b c a

⎧⎪⨯+⨯+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 解得a=3,b=-3b,c=96.

故函数解析式为y=3x 2-36x+96;

方法二:设所求解析式为y=a(x-6)2-12.

又图象过(8,0),

∴a(8-6)2-12=0,

∴a=3,

故函数解析式为y=3x 2-36x+96;

方法三:函数图象关于直线x=6对称,因此图象一定通过点(8,0)和点(4,0),即4,8是方程ax 2+bx+c=0的两个根,因而二次函数可以写成y=a(x-4)(x-8).

又函数图象过(6,-12),

∴a(6-4)(6-8)=-12.

∴a=3.

故函数解析式为y=3x 2-36x+96.

点评

在求二次函数解析式时,若已知抛物线上任意三点,常设一般式:y=a x 2+bx+c(•a ≠0);若已知顶点或对称轴,常设顶点式:y=a(x+m)2+n,其中(-m,n)为顶点;若已知抛物线与x 轴交点的坐标时,常设交点式:y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0).

例2 已知抛物线y=x 2+px+q 上有一点M(x 0,y 0)位于x 轴下方,(1)求证:已知抛物线与x 轴有两个交点A(x 1,0),B(x 2,0),其中x 1

解析 (1)由已知,得022200000,4().24

y p p q y x px q x <⎧⎪⎨-=++=+-⎪⎩ △=p 2-4q=4(x 0+2

p )2-4y 0>0,即△>0, ∴方程x 2+px+q=0有两个实根,且不相等.

不妨设x 1

(2)由韦达定理1212,.

x x p x x q +=-⎧⎨=⎩

又y0=x02+px0+q<0,

即x02-(x1+x2)x0+x1x2<0,

(x0-x1)(x0-x2)<0,

即x1

(3)当点M为(1,-1999)时有x0=1,y0=-1999,

则由x1,x2为整数,(x1-1)(x2-1)也为整数,且x1-1>x2-1,

得1

211999, 11,

x x -=

⎧

⎨

-=-⎩或1

2

11,

11999.

x

x

-=

⎧

⎨

-=-

⎩

解得1

22000, 0,

x x =

⎧

⎨

=⎩或1

2

2,

1998.

x

x

=

⎧

⎨

=-

⎩

点评

此题“△”的求值较新颖,值得借鉴;第(3)•问利用二次三项式的因式分解过渡自然.

【好题妙解】

佳题新题品味

例设抛物线y=a x2+bx+c开口向下,与x轴交于-1与3处,试判断下列关系式哪些是正确的?

(1)abc>0;(2)a+b+c=0;(3)a=-1

2

b;(4)3b=2c;(5)a-b+c>0;(6)5a+b+c>0;(7)•c>2b;

(8)9a+3b+c=0.

解析由开口向下知,a<0.

由于抛物线与x轴交于x1=-1与x2=3处.

∴y=a(x-x1)(x-x2)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.

即b=-2a,c=-3a.由此可知

abc=6a3<0表明(1)错;a+b+c=-4a>0表示(2)错;b=-2a表明(3)对;3b=-6a,•2c=•-6a表示(4)对;a-b+c=0表明(5)错;5a+b+c=0表明(6)错;c-2b=a<0,(7)错;9a+3b+•c=0,(8)对.

中考真题欣赏

例(2003年北京市中考题)已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴一个交点为A(-1,0).

(1)求抛物线与x轴另一个交点B的坐标;

(2)D是抛物线与y轴交点,C是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线解析式;

(3)E是第二象限内到x轴,y轴的距离之比为5:2的点,如果点E在(2)•中的抛物线上,且它与点A在抛物线对称轴同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,•使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.