离散时间系统状态方程的求解.

c2
2 2
cn1
n1 2
n j
c0
c1n
c2
2 n
cn
1
n1 n
将 c0 , c1,分, c别k1代入（3），即可。
若A 的特征根为重根的情况，例如 1为A 的m 阶重根，
则对重根部分计算为
n
c0
c11
c212
cn
n1
1 1
d
d
n
1
n1n1 c1 2c21
n
1
cn
n2
法也使状态方程的求解显得容易一些。 由离散系统的状态方程和输出方程
λ n 1 Aλ n Bxn
yn
Cλ
n
Dxn
两边取 z 变换
zΛz zλ 0 AΛz BX z Y z CΛz DXz
整理,得到
Λz zI A 1 zλ 0 zI A 1 BX z
Y
z
C
zI
A 1
zλ
0
C
zI
Leabharlann Baidu
A 1
BX
零输入解
ni01 CAn1i Bxiun 1 Dxnun
零状态解
由两部分组成：
•一是起始状态经转移后在 n 时刻得到的响应分量；
•另一是对n 1 时刻以前的输入量的响应。它们分别
称为零输入解和零状态解。
其中 An称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中
的 e At 含义类似，也用符号 表示，写作n
二．A n的计算
关键：计算状态转移矩阵 ，n 即 。An
利用凯莱一哈密顿定理，
An c0 I c1A c2 A2 cn1An1
(3)
设 1(i 1,2为An的) n个独立的特征单根，用下列联立方程组
求系数
c0 , c1 ,, ck1
1 j
c0
c11
c212
cn
n1
1 1
2 j
c0
c12
项决定，即 本λ身n，0 只有当 时，n 式 n(02)才可给出完 整的 之结果λ。n
如果起始时刻选 n0 ，0并将上述对 值的n 限制以阶跃信号
的形式写入表达式，于是有
λ
n
Anλ 0un
零输入解
ni01 An1i Bxiun 1
零状态解
还可解得输出为
yn Cλ n Dxn
CAnλ0un
1 1
d2
d
2
n
1
n
n 1 1n2
2c2
3 2c31
n 1n 2 cn11n3
dm1
d
m1
1
n
n! m 1
!1nm1
m
1!cm1
m
! cm1
m 1!
2!
cm112
n 1! n m!
c nm k 1 1
三．离散系统状态方程的 z 变换解
和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变z换方
或
An1u n 1 Z 1 zI A 1
z
DX
z
取其逆变换即得时域表示式为:
λ n Z 1 zI A 1 z λ 0 Z 1 zI A 1 B Z 1 X z
yn
Z
1
C zI
A 1 z
λ
0
Z
1
C zI
A 1 B
D
Z
1 X z
状态转移矩阵即为
An Z 1 zI A 1 z Z 1 I z1A 1
A3λ n0 A2Bxn0 ABxn0 1 Bxn0 2
对于任意n 值，当 n n0 可归结为
λ n Aλ n 1 Bxn 1
Ann0λ n0 Ann0 1Bx n0 Ann0 2Bx n0 1
Bxn 1
(2)
n1
Ann0λ n0 An1i Bx i
上式中，当 n 时n0 第in二0 项不存在，此时的结果只由第一
设给定系统的起始状态为：在 n ，n0 则λ 按n0 式(1)有
λ n0 1 Aλ n0 Bxn0
以下用迭代法，求n0 2,n0 3,, n 时刻的值：
λ n0 1 Aλ n0 Bxn0 λ n0 2 Aλ n0 1 Bxn0 1
A2λ n0 ABxn0 Bxn0 1
λ n0 3 Aλ n0 2 Bxn0 2
§12.6 离散时间系统状态方 程的求解
概述
离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似， 包括时域和变换域两种方法。
矢量差分方程的时域求解 An的计算 离散系统状态方程的z变换解
一．矢量差分方程的时域求解
离散系统的状态方程表示为
λ n 1 Aλ n Bxn
（1）
此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。
n An
它决定了系统的自由运动情况。
yn Cλ n Dxn
CAnλ0un
零输入解
n1
CAn1i
Bxi
un
1
Dxnu
n
i0
零状态解
可以看出，零状态解中，若令 xn ，δ 则n系统的单位样值
响应为
hn CAn1Bun 1 Dδ n
可见，零状态解正是 hn与 xn的卷积和，也可写作 hn xn