多元函数条件极值的四种求解方法

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用无条件极值判定多元函数条件极值

用无条件极值判定多元函数条件极值

用无条件极值判定多元函数条件极值用无条件极值判定多元函数条件极值------------------------------------------------------------------多元函数的极值是指在定义域内,函数值变化最快的点,其特征为函数在极值点处切线垂直于坐标轴。

要求多元函数极值,一般采用导数法、无条件极值判定法、拉格朗日乘子法、几何法等方法。

### 一、导数法使用导数法来求多元函数极值,即通过计算函数的偏导数,使得偏导数等于0,从而得到极值点。

要想使用导数法求多元函数的极值,首先要计算出函数的一阶、二阶、三阶偏导数,然后将偏导数代入极值条件,即等于0,从而解出极值点。

### 二、无条件极值判定法无条件极值判定法是通过直观上判断函数在某一区间内是否存在极大值或者极小值,也就是判断函数在区间内的单调性。

例如,如果在某个区间内,函数的取值都是递增的,那么就说明该函数在该区间内有极小值;如果在某个区间内,函数的取值都是递减的,那么就说明该函数在该区间内有极大值。

### 三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种可以快速计算多元函数极值的方法。

这种方法将原来的多元函数变为一元函数,通过一元函数来求解多元函数的极值。

该方法的关键在于将原函数中的约束条件(如非负性约束、单调性约束、可行性约束等)用乘子的形式表达出来,然后将乘子代入原函数中,将原函数变为一元函数,最后使用一元函数的求解方法来解决该问题。

### 四、几何法几何法是通过图形直观表示来求多元函数极值的方法。

该方法通过在相应的图形上画上该函数的图形,然后由图形上的相应特征来判断该函数是否存在极大值或者极小值。

这种方法一般用于解决二元函数或者三元函数的问题。

总之,用无条件极值判定法来求多元函数条件极值是一种有效的方法,它不仅可以快速的找到多元函数的极值,而且还可以很好的发现多元函数的特性。

多元函数的极值与条件极值的求解方法

多元函数的极值与条件极值的求解方法

多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。

求解多元函数的极值是一个常见的数学问题,而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。

本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。

二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值,需要判断函数在特定点的局部极值,并进一步确定全局极值。

常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。

1. 二阶条件法对于一个二次可导函数,可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。

具体步骤如下:a. 计算函数的一阶偏导数,并令其等于零,得到临界点;b. 计算函数的二阶偏导数,并检查其正负性;c. 若二阶偏导数为正,则临界点是局部极小值;若二阶偏导数为负,则临界点是局部极大值。

2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值,其思想是在梯度的指引下,逐步迭代寻找函数的最优解。

具体步骤如下:a. 计算函数的梯度向量,并初始化变量值;b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值;c. 重复步骤b,直到满足收敛条件。

3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。

通过构建拉格朗日函数,并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解,得到函数的条件极值。

三、条件极值的求解方法在现实问题中,多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。

求解条件极值需要考虑约束条件,并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。

1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数,将约束条件引入目标函数中,得到增广拉格朗日函数;b. 求解增广拉格朗日函数的临界点,即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。

c. 验证求得的临界点是否满足约束条件,并通过比较确定全局的条件极值。

2. 案例分析假设有一个三角形,其面积为目标函数,而周长为约束条件。

通过使用拉格朗日乘子法,可以求解出在给定周长下,使得三角形面积最大的顶点。

四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。

对于多元函数极值的求解,可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。

多元函数条件极值的求法探讨

多元函数条件极值的求法探讨

F (x, y) = 40x + 20 y - 25 + l (x + y - 25) 5 + x 10 + y
求其对 x, y , l 的一阶偏导数,并使之为零,得方程组
ì ï ï
Fx¢
=
200 (5 + x)2
+
l
=
0
ï í
Fy¢
ï
=
200 (10 + y)2
+
l
=
0
ï x + y - 25 = 0 ï î
1 z
=
1 a为
一固定正数,
由命题知,当它们相等时其积取最大值,即当
1 x
=
1 y
=
1 z
=
1 3a
1 时,x
×
1 y
×1 z
=
1 xyz
取得极大值,即
xyz
取得
润最大,最大利润是
L(15,10)=
40 ×15 5 +15
+
20 ×10 10 +10
-
25
=15(千元)。
例 4:要建造一个表面积为 108 的长方体形敞口水池,问水池 的尺寸如何才能使其容积最大。
132 万方数据
多元函数条件极值的求法探讨
作者: 作者单位: 刊名:
英文刊名: 年,卷(期):
夏滨 四川建筑职业技术学院
管理学家 GUANGLI XUEJIA 2009(11)
参考文献(4条) 1.朱弘毅 高等数学 2001 2.同济大学数学教研室 高等数学 1988 3.侯风波 高等数学 2000 4.廖玉麟 高等数学试题选题解 2001

多元函数求极限的方法

多元函数求极限的方法

多元函数求极限的方法在学习多元函数求极限的方法时,我们需要掌握一些基本的概念和技巧。

多元函数的极限是指当自变量趋于某一点或无穷远时,函数的取值趋于一个确定的值。

接下来,我们将介绍多元函数求极限的几种常用方法。

首先,我们来看一下多元函数极限存在的条件。

对于二元函数来说,当自变量(x, y)在点(x0, y0)的任何一个邻域内,函数值都无限接近于一个确定的常数L时,就称函数f(x, y)在点(x0, y0)处有极限,记作lim(f(x, y)) = L。

这里需要注意的是,这里的邻域可以是任意小的开区域,而不仅仅是点(x0, y0)的某个小邻域。

接下来,我们将介绍多元函数求极限的方法。

首先是直接法,即通过代入法来求解多元函数的极限。

这种方法适用于一些简单的多元函数,通过直接代入自变量的值,可以求得函数在某一点的极限值。

其次是夹逼法,这种方法常用于证明多元函数在某一点的极限存在。

夹逼法的核心思想是通过构造两个函数,一个比原函数小,一个比原函数大,并且它们的极限值相等,从而得出原函数的极限存在并且等于夹在中间的函数的极限值。

另外,我们还可以利用极坐标法来求解多元函数的极限。

极坐标法适用于一些具有极坐标对称性的函数,通过将自变量用极坐标表示,可以简化函数的求解过程,从而得出极限值。

最后,我们还可以通过换元法来求解多元函数的极限。

换元法的核心思想是通过一些变量替换或者代换,将原函数转化为一个更容易求解的形式,从而得出极限值。

综上所述,多元函数求极限的方法包括直接法、夹逼法、极坐标法和换元法等。

在实际应用中,我们需要根据具体的函数形式和求解的难度来选择合适的方法,从而准确求解多元函数的极限值。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握多元函数求极限的技巧。

求一类多元函数最值的公式

求一类多元函数最值的公式

求一类多元函数最值的公式一类多元函数最值的公式是关于多元函数在一定条件下的最值(最大值和最小值)的计算公式。

在数学中,这类多元函数的最值计算是一门重要的课题,广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域。

下面将介绍一些常见的多元函数最值的公式。

一、无条件最值公式在没有任何限制条件的情况下,多元函数的最值一般可以通过求导数和极值点来确定。

1.偏导数法:对于一个多元函数,可以求出所有的偏导数,并令它们等于零,解方程组得到一组极值点。

然后通过计算这些极值点的函数值,找出最大值和最小值。

2.拉格朗日乘数法:当多元函数存在一定的限制条件时,可以使用拉格朗日乘数法来求解最值。

该方法首先利用限制条件构造一个拉格朗日函数,然后通过求导数和解方程组来确定最值。

二、条件最值公式在有一定条件限制的情况下,多元函数的最值计算可以通过约束条件和拉格朗日乘数法来确定。

1.约束条件法:当多元函数存在一定的约束条件时,如等式约束或不等式约束,可以将约束条件代入多元函数中,构造一个只有自变量的函数。

然后使用无条件最值公式中的方法来求解最值。

2.拉格朗日乘数法:与无条件最值公式中的拉格朗日乘数法相似,有条件最值问题中的拉格朗日乘数法是通过构造拉格朗日函数来求解最值。

该函数由多元函数与约束条件的乘积构成,通过求导数和解方程组来确定最值。

三、特殊情况下的最值公式除了常规的无条件和有条件最值公式之外,还存在一些特殊情况下的最值计算公式。

1.函数的凸性:对于凸函数,其最大值一般出现在定义域端点或导数不存在的点。

而最小值一般出现在定义域端点或导数不存在的点。

2.矩阵的最值:对于一个矩阵,其最值可以通过矩阵的行列式、特征值等特性来确定。

3.条件概率最值:在概率论中,可以使用条件概率公式和贝叶斯公式来计算条件概率最值。

总结起来,多元函数最值的计算是一个非常广泛的领域,涉及到很多不同的方法和公式。

根据具体情况选择合适的方法和公式来计算最值是非常重要的,可以通过求导数、解方程组、约束条件法等方法来进行计算。

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题

多元函数的极值问题在数学中,多元函数的极值问题是一个重要的研究领域。

与一元函数的极值类似,多元函数的极值问题也是求函数在一定范围内取得最大值或最小值的问题。

在实际问题中,多元函数的极值问题有着广泛的应用,例如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。

本文将介绍多元函数的极值问题的基本概念、求解方法以及相关定理。

一、多元函数的定义首先,我们来回顾一下多元函数的定义。

在数学中,多元函数是指自变量不止一个的函数,通常表示为$z=f(x,y)$,其中$x$和$y$是自变量,$z$是因变量。

多元函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。

二、多元函数的极值定义对于多元函数$z=f(x,y)$,极值的定义与一元函数类似,分为最大值和最小值。

具体定义如下:1. 最大值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最大值,点$(x_0,y_0)$是最大值点。

2. 最小值:如果存在点$(x_0,y_0)$,使得在$(x_0,y_0)$的某个邻域内,对于任意$(x,y)$,都有$f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$,则称$f(x_0,y_0)$是函数$f(x,y)$的最小值,点$(x_0,y_0)$是最小值点。

三、多元函数的极值求解方法求解多元函数的极值问题,通常可以通过以下步骤进行:1. 求偏导数:对多元函数$z=f(x,y)$,分别对$x$和$y$求偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$。

2. 解方程组:令$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$,解出方程组$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=0 \end{cases}$,得到极值点$(x_0,y_0)$。

多元函数求极限方法

多元函数求极限方法

多元函数求极限方法多元函数求极限是高等数学中的重要内容之一,它与微积分、数学分析等领域密切相关。

在学习多元函数求极限的过程中,我们需要掌握一些基本方法和技巧。

下面,我将介绍几种常用的多元函数求极限方法。

一、直接代入法直接代入法是求解多元函数极限最简单的方法之一。

当我们需要求解一个多元函数在某个点处的极限时,可以先将这个点的坐标代入到这个函数中,从而得到一个实数值。

如果这个实数值存在且唯一,那么这个实数就是该多元函数在该点处的极限值。

例如,对于二元函数f(x,y) = (x^2+y^2)/(x+y),当(x,y) = (1,1)时,我们可以直接将(1,1)代入到f(x,y)中得到:f(1,1) = (1^2+1^2)/(1+1) = 1因此,在点(1,1)处,该二元函数的极限值为1。

二、夹逼定理夹逼定理是判断多元函数是否收敛以及计算其极限值的重要工具。

夹逼定理通常用于那些难以直接计算或者无法使用其他方法计算出来的多元函数极限。

夹逼定理的核心思想是,如果一个多元函数可以被两个已知的函数“夹逼”在中间,而这两个函数的极限值相等,那么这个多元函数的极限值也应该等于它们的极限值。

例如,对于二元函数f(x,y) = sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2),我们可以使用夹逼定理来求解它在点(0,0)处的极限。

首先,我们定义两个二元函数g(x,y)和h(x,y),使得:g(x,y) = (x^2+y^2)/sin(x^2+y^2)h(x,y) = 1显然,在点(0,0)处,g(x,y)和h(x,y)都等于1。

因此,我们可以将f(x,y)表示为:h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y)当x和y趋近于0时,g(x,y)趋近于1,而h(x,y)趋近于1。

因此,根据夹逼定理,f(x,y)在点(0,0)处的极限值也应该等于1。

三、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是一种常用于计算多元函数积分、求解多元函数最大值和最小值以及判断多元函数是否可积等方面的工具。

高中数学多元函数极值解题技巧

高中数学多元函数极值解题技巧

高中数学多元函数极值解题技巧在高中数学中,多元函数极值问题是一个非常重要且常见的题型。

解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。

本文将介绍几种常见的多元函数极值解题技巧,并通过具体的例子进行说明,帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些技巧。

一、利用偏导数求解在多元函数的极值问题中,利用偏导数是一种常用的方法。

偏导数可以帮助我们找到函数在某一方向上的变化率,从而判断极值点的位置。

举个例子,考虑函数f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5。

我们要求函数f(x, y)的极值点。

首先,计算函数f(x, y)对x和y的偏导数:∂f/∂x = 2x - 2∂f/∂y = 2y - 4然后,令∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0,解方程组得到极值点的坐标。

将∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0带入得到的方程组中,我们可以解得x = 1,y = 2。

因此,函数f(x, y)的极小值点为(1, 2)。

二、利用二次型矩阵判断极值类型在多元函数的极值问题中,有时候我们需要判断极值点的类型,即是极小值点还是极大值点。

这时,我们可以利用二次型矩阵来进行判断。

举个例子,考虑函数f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 4x - 6y + 9。

我们要判断函数f(x, y)的极值点类型。

首先,计算函数f(x, y)对x和y的偏导数:∂f/∂x = 2x - 4∂f/∂y = 4y - 6然后,计算二次型矩阵A的特征值,其中A = [∂^2f/∂x^2, ∂^2f/∂x∂y; ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2]。

如果二次型矩阵A的特征值都大于0,则极值点为极小值点;如果特征值都小于0,则极值点为极大值点;如果特征值有正有负,则极值点为鞍点。

计算二次型矩阵A的特征值,我们得到λ1 = 2,λ2 = 4。

由于特征值都大于0,所以函数f(x, y)的极值点为极小值点。

三、利用约束条件求解在多元函数的极值问题中,有时候我们需要在一定的约束条件下求解极值点。

多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法,其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束,通过构造拉格朗日函数来求解极值点。

具体步骤如下:1.确定目标函数和约束条件。

假设目标函数为f(x,y,...),约束条件为g(x,y,...)=0。

2.构造拉格朗日函数。

将目标函数和约束条件相乘,并引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。

对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数,令其等于0,得到一组方程。

解方程组,得到拉格朗日乘子λ和变量的值。

4.检查结果。

将求得的解代入目标函数中,计算函数值,检查是否为极值点。

若不是,返回第3步,重新求解。

二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法,该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。

具体步骤如下:1.确定目标函数和约束条件。

假设目标函数为f(x,y,...),约束条件为g(x,y,...)=0。

2.构造拉格朗日函数。

将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0,其中z是一个待定参数。

3. 利用隐函数定理。

对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导,得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z,dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。

求得dz/dx 和 dz/dy 后,得到 z(x, y) 的形式。

4.代入目标函数。

将x和y分别用z表示,得到函数f(z)。

对f(z)求导,令其等于0,解方程求得z(x,y)的极值点。

5.检查结果。

将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中,计算函数值,检查是否为极值点。

若不是,返回第4步,重新求解。

总结:拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下,且求解过程相对简单。

多元函数的极值和极值点的计算

多元函数的极值和极值点的计算

多元函数的极值和极值点的计算在数学中,多元函数是一种包含多个自变量的函数。

对于一元函数,我们可以通过求导或者二阶导数来计算它的极值。

但对于多元函数,如何求它的极值呢?在这篇文章中,我们将探讨多元函数的极值和极值点的计算方法。

一、梯度和偏导数在计算多元函数的极值和极值点时,我们需要用到梯度和偏导数的概念。

梯度是指一个向量,它的方向指向函数值增加最快的方向,大小表示增加幅度。

对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn),它的梯度为:∇f(x1,x2,x3,...,xn) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ∂f/∂x3,...,∂f/∂xn)其中,∂f/∂xi表示对自变量xi的偏导数。

偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数,其他自变量看做常数。

对于一个函数f(x1,x2)而言,它的偏导数为:∂f/∂x1 = limΔx1→0 [( f(x1+Δx1,x2) - f(x1,x2) )/Δx1]∂f/∂x2 = limΔx2→0 [( f(x1,x2+Δx2) - f(x1,x2) )/Δx2]二、求解多元函数的极值对于一个多元函数f(x1,x2,x3,...,xn),它在点(x1*,x2*,x3*,...,xn*)处取得极值,当且仅当以下两个条件同时成立:1.∇f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.对任意的(x1,x2,x3,...,xn),有f(x1*,x2*,x3*,...,xn*)≥f(x1,x2,x3,...,xn)其中,第一个条件保证在这个点附近任意方向的导数都趋近于0,即它是函数曲面的一个平坦点,第二个条件保证在这个点处函数的值是一个局部极小值。

用数学符号表达,上述条件可以写成:1.∂f/∂x1(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x2(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0∂f/∂x3(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=0...∂f/∂xn(x1*,x2*,x3*,...,xn*)=02.二次偏导数矩阵为正定或者负定,即对于任意的i和j,有∂^2f/∂xi∂xj(x1*,x2*,x3*,...,xn*)>0或者<0.其中,二次偏导数矩阵为一个n×n的矩阵,其ij位置的元素为∂^2f/∂xi∂xj。

多元函数条件极值的解法

多元函数条件极值的解法

多元函数条件极值的解法梯度法利用梯度法求目标函数),,,(21n x x x f 在条件函数0),,,(21=n k x x x ϕ(n m m k ≤=,,,2,1 )组限制下的的极值。

首先求目标函数),,,(21n x x x f 的梯度向量,),,,(21nx f x f x f g ra d f ∂∂∂∂∂∂= ;设n n ϕλϕλϕλϕ+++= 2211为m 个条件相交部分的方程,把多个条件转化为一个条件,而曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的法向量为:),,,(21n x x x n ∂∂∂∂∂∂=ϕϕϕ ,注意其中in n i i i x x x x ∂∂++∂∂+∂∂=∂∂ϕλϕλϕλϕ 2211;设曲面0),,,(21=n x x x ϕ在点),,,(21n x x x 处的切平面上的一个切向量为:),,,(21n a a a a =,则有n a ⋅=in i i x a x a x a ∂∂++∂∂+∂∂ϕϕϕ 21=0;然后令0)2(,,2,1,个数为中的-=n n i a i ,可以得到一个切向量,如令0132====-n a a a ,11/x x a a n n∂∂∂∂-=ϕϕ,),0,,0,(1n n n a x a x ∂∂∂∂-∴ϕφ ,消去n a ,于是得到切平面上的一个切向量),0,,0,(1x x n ∂∂∂∂-ϕφ ,类似可以得到另外的)2(-n 个向量,),0,,0,,0(2x x n ∂∂∂∂-ϕφ ,…,),,0,,0(1-∂∂∂∂-n n x x ϕφ ;把这)1(-n 个向量与),,(21nx f x f x f g r a d f ∂∂∂∂∂∂= 作内积并令它们为0,得到)1(-n 个方程,再与m 个条件函数联立构成方程组,即可求出稳定点。

[5]例4:已知抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一个椭圆,求原点到这个椭圆的的最长和最短距离。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1(必要条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值,则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2(充分条件) 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导,又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下:
(1)02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值,当0>A 时有极小值;
(2)02<-B AC 时没有极值(在()00,y x 处不取极值);
(3)02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。

二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点,可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=,
其中λ为参数。

()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。

大学多元函数的极值问题

大学多元函数的极值问题

大学多元函数的极值问题多元函数的极值问题是微积分中的重要内容之一。

在大学数学课程中,研究多元函数的极值问题,不仅可以帮助我们更深入地理解函数的性质,还可以应用于实际问题的解答和优化。

一、多元函数的定义和性质多元函数是指依赖于两个或更多个变量的函数。

例如,f(x, y)是一个关于变量x和y的函数。

多元函数的定义域是所有定义函数的变量取值所组成的集合。

我们可以用类似于一元函数的方法,来求解多元函数的导数、连续性等性质。

二、多元函数的极值条件多元函数的极值通常需要通过偏导数来确定。

对于二元函数f(x, y),偏导数的定义为函数 f 对某一个变量的导数。

当偏导数等于零时,可能存在极值点。

然而,仅仅满足偏导数等于零的条件,不足以确定极值点,还需要进行二阶偏导数的判定。

三、多元函数的极值求解方法1. 使用偏导数法:通过求解偏导数方程组来找到多元函数的极值点。

先求得一阶偏导数,然后令其等于零,求解方程组即可得到极值点。

2. 使用拉格朗日乘子法:在某些特殊情况下,多元函数的极值问题需要满足一定的条件。

拉格朗日乘子法可以有效地解决这类问题,通过引入拉格朗日乘子,将带有条件的极值问题转化为无条件的极值问题。

3. 使用二阶偏导数判定:通过求解二阶偏导数,并进行判定,确定极值点的类型。

当二阶偏导数为正时,存在极小值点;当二阶偏导数为负时,存在极大值点;当二阶偏导数既正又负时,不存在极值点。

四、多元函数的极值应用实例多元函数的极值问题广泛应用于各个领域。

在经济学中,通过求解函数的极值,可以找到最大化或最小化利润的方案;在物理学中,通过求解函数的极值,可以确定物体的最稳定状态;在工程学中,通过求解函数的极值,可以找到最优的设计方案。

总结:多元函数的极值问题是数学中的重要课题,通过求解偏导数、拉格朗日乘子法和二阶偏导数,我们可以找到多元函数的极值点,并应用于各个领域的实际问题中。

在学习过程中,我们需要进行大量的计算和推导,以提高对多元函数的理解和运用能力。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法

新课
一、多元函数的极值及最大值、最小值
极值的定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对 于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有 f(x y)<f(x0 y0)(或f(x y)>f(x0 y0)) 则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0) 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
观察极值与切线的关系
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0)0 >>> •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论:
极值点是否一定是驻点? 驻点是否一定是极值点? 考察x0是否是函数yx3的 驻点 是否是函数的极值点
5(x 1) 3 3 x 1 (2)令f (x)0 得驻点x1 x1为f(x)的不可导点 f (x)
(3)列表判断
x
f (x)
( 1)

1
不可导
(1 1)

1
0
(1 )

f(x)

0

33 4

(4)极大值为 f (1)0 极小值为 f (1) 33 4
确定极值点和极值的步骤
(1)求出导数f (x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值
例 1 求函数 f (x) (x 4)3 (x 1)2 的极值 例 解 (1)f(x)在( )内连续 除x1外处处可导 且
例2、讨论函数 z 1 x 2 y 2 在 (0, 0)处的极值。

多元函数的极值与最值求解

多元函数的极值与最值求解

多元函数的极值与最值求解在数学中,多元函数是指有多个自变量的函数。

对于多元函数,我们常常需要求解它的极值与最值,以便确定函数的特征与性质。

本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法。

一、极值的定义与求解方法在多元函数中,极值是指函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。

极值的求解可以通过以下方法进行:1. 边界法:如果多元函数在一个有限的闭区域内定义且连续,在区域内的边界上取到的值必然是极值。

因此,我们可以通过计算多元函数在边界上的值来确定极值。

需要注意的是,在使用边界法时,我们应当首先确定区域的边界。

2. 梯度法:多元函数的梯度表示函数在某个点处的变化率和方向。

对于一个局部极值点,函数在该点处的梯度应当为零。

因此,我们可以通过求解多元函数的梯度并令其为零来确定极值点。

3. Lagrange乘数法:Lagrange乘数法适用于求解多元函数在约束条件下的极值问题。

通过引入一个或多个约束条件,我们可以将多元函数的极值问题转化为无约束条件下的极值问题。

随后,可以使用梯度法或其他方法求解。

二、最值的定义与求解方法在多元函数中,最值指的是函数在某个区域内取得的最大值或最小值。

最值的求解可以通过以下方法进行:1. 整体法:整体法是指先求出函数在整个定义域上的取值,然后从中选取最大值或最小值作为最值。

该方法适用于函数在整个区域内单调递增或单调递减的情况。

2. 极值法:可以通过先求解函数的极值点,然后在这些点处比较函数的取值来确定最值。

需要注意的是,函数的最值可能存在于极值点处,也可能存在于边界上。

3. 梯度法:与求解极值类似,可以通过计算多元函数的梯度,并在梯度为零的点处比较函数的取值来确定最值。

三、示例为了更好地理解多元函数的极值与最值的求解方法,我们来看一个具体的示例。

假设有一个二元函数 f(x,y) = x^2 + y^2,我们需要求解这个函数的极值与最值。

首先,我们计算函数的梯度∇f = (2x, 2y)。

多元函数求条件极值的原理

多元函数求条件极值的原理

多元函数求条件极值的原理多元函数的条件极值是指在一定条件下使函数取得极大值或极小值的点。

求条件极值的原理包括拉格朗日乘数法和边界条件法两种方法。

一、拉格朗日乘数法:当多元函数在一定的约束条件下取得条件极值时,可以使用拉格朗日乘数法来求解极值点。

其基本思想是在考虑目标函数值的同时,引入一个约束函数,通过寻找约束函数和目标函数的共同极值点来得到条件极值。

设多元函数为f(x1,x2,...,xn),约束条件为φ(x1,x2,...,xn)=0,其中φ(x1,x2,...,xn) 表示n-1 个关于x1,x2,...,xn 的函数,同样需要求导来得到其极值点。

具体步骤如下:1. 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn),其中λ是拉格朗日乘数。

2. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数,并令其等于0。

3. 解方程组,得到x1,x2,...,xn 和λ的取值。

4. 将x1,x2,...,xn 和λ的取值代入f(x1,x2,...,xn) 计算函数值,得到条件极值。

拉格朗日乘数法的原理和求解过程比较复杂,但是可以通过引入拉格朗日乘数将约束条件转化为一个等式来求解条件极值问题。

二、边界条件法:边界条件法用于求解多元函数在给定边界条件下的条件极值问题。

当约束条件形式为不等式时,可以通过将不等式约束条件转化为等式约束条件,并在约束区域的边界上求解得到条件极值。

具体步骤如下:1. 将不等式约束条件转化为等式约束条件,得到约束函数φ(x1,x2,...,xn)=0。

2. 对多元函数f(x1,x2,...,xn) 和约束函数φ(x1,x2,...,xn) 构建拉格朗日函数L(x1,x2,...,xn,λ)=f(x1,x2,...,xn)+λφ(x1,x2,...,xn),其中λ是拉格朗日乘数。

3. 对L(x1,x2,...,xn,λ) 分别对x1,x2,...,xn 及λ求偏导数,并令其等于0。

多元函数极值与条件极值

多元函数极值与条件极值

多元函数极值与条件极值一、简介在数学中,多元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

与一元函数类似,多元函数的极值求解也是一项重要的研究内容。

本文将介绍多元函数极值求解的方法以及条件极值的概念。

二、多元函数极值求解方法1. 梯度法梯度法是一种常用的寻找多元函数极值的方法。

其基本思想是通过计算函数的梯度来确定极值点的位置。

具体步骤如下:a. 计算函数的梯度向量;b. 找到梯度向量为零的点,即梯度为零的点是极值点的候选;c. 对候选点进行二阶偏导数判定,确定是否为真正的极值点。

2. 条件极值法条件极值是指在给定的条件下,函数取得的最大值或最小值。

求解条件极值的方法主要有以下步骤:a. 根据给定的条件,建立约束方程;b. 将约束方程带入函数,得到一元函数;c. 对一元函数求导,找到其极值点;d. 将极值点带入约束方程,得到条件极值。

三、实例分析下面通过一个实例来说明多元函数极值与条件极值的求解过程。

例:求函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 在约束条件 g(x, y) = x +y - 5 = 0 下的条件极值点。

解:首先,计算函数 f 的梯度向量为∇f = (2x - 2, 2y - 4)。

令梯度向量为零,可得极值点候选为 (1, 2)。

接下来,对候选点进行二阶偏导数判定。

计算二阶偏导数矩阵 H = [[2, 0], [0, 2]],判断其是否为正定矩阵。

由于二阶偏导数矩阵的行列式为 4 > 0,且主对角线上的元素全为正数,说明该矩阵是正定矩阵。

因此,候选点 (1, 2) 为真正的极小值点。

接下来,求解条件极值。

将约束方程 g 带入函数 f,得到 f(x) = x^2 - 2x + (5 - x)^2 - 2(5 - x) + 3。

对一元函数 f(x) = x^2 - 7x + 13 求导得 f'(x) = 2x - 7。

令导数为零,得到极值点 x = 3.5。

多元函数求极值的方法总结(一)

多元函数求极值的方法总结(一)

多元函数求极值的方法总结(一)多元函数求极值的方法前言多元函数求极值是数学中的重要概念,它在众多实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍多元函数求极值的几种常用方法,希望对读者加深对该主题的理解。

正文1. 求偏导数求多元函数的极值,首先需要求出其偏导数。

对于多元函数f(x1,x2,...,x n),分别对各个变量求偏导数,并令其等于零,可以得到一组方程。

解这组方程即可得到函数的驻点。

2. 极值判定条件在确定函数的驻点后,我们需要进一步进行极值判定。

可以通过求解二阶偏导数来判断驻点是否是极值点。

具体方法如下:•若二阶偏导数全为正,则为极小值点;•若二阶偏导数全为负,则为极大值点;•若二阶偏导数有正有负,则为鞍点。

3. 拉格朗日乘数法当多元函数存在一些约束条件时,可以使用拉格朗日乘数法求解其极值。

该方法通过引入拉格朗日乘子,将原问题转化为无约束条件的极值求解。

具体步骤如下:•列出约束条件的方程式,并引入拉格朗日乘子;•求解拉格朗日函数的偏导数,并令其等于零;•解方程组,得到自变量和拉格朗日乘子的值。

4. 条件极值在实际问题中,有时需要求解多元函数在一定条件下的最大值或最小值。

此时,我们可以将该条件转化为方程,并结合求偏导数的方法进行求解。

结尾多元函数求极值是一门复杂而重要的数学问题,常用的求解方法有求偏导数、极值判定条件、拉格朗日乘数法和条件极值。

通过合理地运用这些方法,我们可以在实际问题中找到函数的最大值或最小值。

希望本文对读者对多元函数求极值的方法有所启发和帮助。

注:文章中所述的方法和概念仅为常规方法,实际问题中可能还有其他更为复杂的求解方式。

拓展阅读1. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法,可以用于求解多元函数的最小值。

该方法通过迭代计算函数的负梯度方向,使函数值逐渐接近最小值。

梯度下降法在机器学习和深度学习等领域得到广泛应用。

2. 牛顿法牛顿法也是一种常用的优化算法,可以用于求解多元函数的最小值或最大值。

高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法

高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解,得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ),
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号,再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36; 二、(8 , 16).
55
2、大, 1; 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、 在 平 面 xOy 上 求 一 点 , 使 它 到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点,
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y),
其中 为某一常数,可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时具有极值,
当 A 0时有极大值, 当 A 0时有极小值;
(2) AC B2 0时没有极值; (3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值,
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12盎 司或 21.66立 方 英 寸 .为使 表 面 积 最 小 ,它 应 该 取何 尺 寸?并 求最 小 的表面 积.
解 因为饮 料 罐 为一 圆柱 体 ,设 其 底 面 半径 为
函数条 件极 值 的认 识 . 为 方便计 ,本 文 的多元 函数 以二元 函数 为例 .
r,高 度为 ,则 表面 积为 S( ,r)一2nrh+27cr ,并 且 容 积约 束条 件 为 7cr。h一 21.66.此 问 题 即求 目标 函
第 2O卷 第 2期 2017年 3月
高 等 数 学 研 究
STU DIES IN C0LLEGE M A TH EM AT ICS
V o1.2O。 NO.2 M ar.,2017
多 元 函数 条 件 极 值 的 四 种 求 解 方 法
曹宏 举 ,何 素艳 ,万 丽 英
(大 连 外 国语 大 学 软 件 学 院 ,辽 宁 大 连 116044)
根 据 约束条 件 7c z 一21.66,解 得 h- ,将
其代入 目标 函 数 ( ,r)一2nrh+ 2nr。,得 f(r)一
或 z一 ( ),再 将 所 得 表 达 式 代 人 目标 函数 — f(x, ),从而 将 问题转 化为求 解 一 元 函数 z—f(x,
s( (r), )一 +2 7c z,从 而 问题 转 化 为求 解 一
育 、运 筹 学 的研 究 ,Email:hongjucaol980@ sina.com.
的求解 方 法 ,厂 (,.)一 一 +47rr,令 厂 (r)=:=0,
得驻点,一√ ≈1.51英寸.又因为此问题为 V Yt-
实际 问题 ,最 小值 一 定 存 在 ,而 驻 点 唯一 ,所 以该 饮
Four M ethods of Solving Conditional Extrem um Problem s of M ultivariate Functions
CAO Hongju,HE Suyan,W AN Liying
(School of Softw are,D alian U niversity of Foreign Languages, Dalian 1 1 6044,PRC)
Abstract Conditional extremum problem of multivariate function is an im portant topic in advanced mathe— matics.This paper introduces four m ethods(equality constraints,boundary constraint,Lagrange m ultipli— er,and the unit vector constraint quadratic form )to solve the problem . Keywords conditional extremum ,equality constraints,boundary constth— od, unit vector constraints
英 寸.
52.25,因 此 圆 盘 上 最 高 温 度 52.25在 (一 1/2,±
摘 要 多元 函数 条 件 极 值 是 高等 数 学 的 重要 内容之 一 ,本 文 从 等 式 约 束 、区 域 约 束 、拉 格 朗 日乘 子 法 和 单 位 向 量 约 束 下二 次 型 最 值 问题 四 个 角度 切 入 ,力 图全 面 介 绍 高等 数 学 中有 关 多元 函数 极 值 的 问题 . 关 键 词 条 件 极 值 ;等 式 约 束 ;区域 约 束 ;拉 格 朗 日乘 子 法 ;单 位 向量 约束 中 图 分 类 号 O141,022 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 1008—1399(2017)02—0021—03
1 等 式 约 束 极 值 的 代 入 法
所 谓 等式约 束是 指求解 二元 函数 —f(x, )在 约束条 件 ( , )一0的条 件 下 的极 值.所 谓 代 人 法 ,是 指根 据约束 条 件 (z, )一0,解 得 Y一 (z),
数 s(h,r)一 2nrh+ 2nr 在 约 束 条 件 7cr。h=:=21.66 下 的最 小值 .
作 为多元 函数微 分 学 的 应 用 ,多 元 函数 的极 值 ( ))或 者 一厂( ( ), )的极值 .
是 高等 数学 的重要 内容 之 一 .多 元 函数极 值 分 为 无
例 1 (饮 料罐 问题 )美 国标 准 饮料 罐 的容 积是
条 件极 值 和 条 件 极 值 两 种 情 况 ,相 比 于 无 条 件 极 值 ,条件 极 值 较 难 一 些 .本 文 从 四个 角 度 来 详 细 讲 解 条件 极值 问题 求解 方 法 ,以期 增 加 读 者 对 于多 元
22
高 等 数 学 研 究
2017年 3月
料 罐底 面半 径为 r一1.51英 寸 ,高 度 为 h一3.02英
将 以上 三 个 可 能 最 值 点 坐 标 分 别 代 入 目标 函
寸 时 ,表面 积最 小 ,此 时最 小表 面积 约为 42.98平 方 数 ,得 -厂(1/2,0)一 49.75,f(一 1/2,±√3/2)一

元 函数 厂(r)在 r> 0时 的最 小 值 ,由一 元 函数 最 值
收稿 日期 :2016—2—18
修 稿 日期 :2016—12—21
基金 项 目 :教 育 部 人 文 社 会 科 学 研 究 青 年 基 金 项 目 (15YJCZH005),
辽 宁 省 教 育 科 学 “十 二 五 ”规 划 立项 课 题 (JG12DB318). 作者 简 介 :曹 宏 举 (1980一 ),男 ,山 东 郓 城 人 ,讲 师 ,主 要 从 事 数 学 教
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