21.2.1 配方法 课件
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2.方程3x2+9=0的根为( D )
A.3 B.-3
C.±3 D.无实数根
3.如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根
是
9或-3
.
4.如果实数a,b满足 3a 4+b2-12b+36=0,那么ab的值是 -8 .
探究问题
二、探索新知
怎样解方程x2+4x-96=0?
对比这个方程与可以发现,方程的左边是含有x 的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解 方程;而方程不具有上述形式,直接降次有困难, 能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?
一般地,如果一个一元二次方程通过配方转成 (x+n)²=p (Ⅱ)的形式,那么就有: (1)当p>0时,方程(Ⅱ)有两个不等的实数根 x1 n p, x2 n p ;
(2)当p=0时,方程(Ⅱ)有两个相等的实数根 x1=x2=-n;
(3)当p<0时,因为对于任意实数x,都有(x+n)² ≥0,所以方程(Ⅱ)无实数根.
二次项系数 为1时
一次项系数 一半的平方
一次项系数 的一半
根据这个技巧,我们来把方程 转化为 x2 = p 或( mx+n)2 = p(p≥0) 的形式。
1.若x2-4x+p=(x+q),那么p,q的值分别是( B )
A.p=4,q=2
B.p=4,q=-2
C.p=-4,q=2 D.p=-4,q=-2
课堂小结
1. 直接开平方法:
解形如 x2 = p 或( mx+n)2 = p(p≥0)的一元二次方程时 ,利用
直接开平方法解方程达到降次转化的目的,
。
x p,mx n p
2.配方法解方程的基本思路 :
把方程转化为 的形式。
x2 = p 或( mx+n)2 = p(p≥0)
归纳总结
21.2.1 配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程
怎样解一元二次方程?
2x2+1 =3x
3x2-6x+4 = 0
探究
根据完全平方公式填空。
(1)x2+8x + _1_6_____ = ( x+4_____ )2
(2)x2-4x + __4_____ = ( x- 2_____ )2
(3)x2-10x+__2_5____ = ( x- _5____ )2
五、归纳小结
1.通过本节课的学习,你能用配 方法解一元二次方程吗?有哪些需要 注意的地方?
2.用配方法解一元二次方程涉及那 些数学思想方法?
(2)9x²-5=3
解:整理,得9x²=8,
即x²= .
两边开平方,得x=
,
即x1=
,x2=
.
(3)(x+6)²-9=0 解:整理,得 (x+6)²=9.
根据平方的意 义,得x+6=±3,
即x1=-3,x2=-9.
(4)3(x-1)²-6=0
解:整理,得3(x-1)²=6,
即(x-1)²=2.
两边开平方,
D.x²-4x+4=-11
3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一 个关于x的完全平方式,则m等于( C )
A.1
B.-1 C.1或9
D.-1或9
4.若代数式
x2 x 2 x2 1
为 x=2 .
的值为0,则x的值
5.方程x²-2x-3=0的解为 x1=-1,x2=3 .
得x-1= ,
即x1=
,x2=
.
(5)x²-4x+4=5
解:原方程可化
为(x-2)²=5.
两边开方,得
x-2=
,
即x1=
,x2=
(6)9x²+5=1 解:整理,得9x²=-4,
即x²=- .
因为当p<0时,对任意实数 . x,都有x²≥0,所以此方
程无实数根.
解方程
x 1.
2= 16 4. 2 x 12 1
四、巩固练习
1.将二次三项式x²-4x+1配方后,得( B )
A.(x-2)²+2
B.(x-2)²-2
C.(x+2)²+2
D.(x+2)²-2
2.已知x²-8x+15=0,左边化成含x的完全平方式, 其中正确的有( B )
A.x²-8x+(-4)²=31 B.x²-8x+(-4)²=1
C.x²+8x+4²=1
(2)2x2+1=3x 解:移项,得2x²-3x=-1.
二次项系数化为1,得
.
配方,得
,
.
由此可得 ,
x1=1,x2= .
(3)3x²-6x+4=0
解:移项,得3x²-6x=-4.
二次项系数化为1,得
.
配方,得
,
.
因为实数的平方根不会是负数,所以x取任何实数 时, 都是非负数,上式都不成立,即原方程无实 数根.
加其他的 数行吗
x2+4x-96 = 0
移项
x2+4x
= 96
两边加上
4 2
2
,使左边配成完全平方式
x2+4x+4左=边9写6成+完全4平方式为边什都么加方上程 42两2
(x+2)2= 100
降次
x+2 = ±10
x+2 = 10, x+2 = -10 解一次方程 x = 8, x = -12
2. x 2= 0
5. 2 x 12 0
3. x 2 = -16
6. 2 x 12 16
7. 22x 12 16
x2 16
这些方程在解法 上有什么共同点?
(2x+1)2 = 16 2(2x+1)2 = 16
x 4
2x+1 =±4
2x+1=±8
方程一边是一个完全平方式,另一边是一个常
数。根据平方根的意义完求全解平。 方公式
a2+2ab+b2 = (a+b)2
a2-2ab+b2 = (a-b)2
归纳总结
一般地,对于方程 x²=p,
(Ⅰ)
(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程(Ⅰ)有两个不
等的实数根: x1 p, x2 p
;
(2)当p=0时,方程(Ⅰ)有两个相等的实数根:x1=x2=0;
求解:解2一元一2次方程。
定解:写出原方程的解。
三、掌握新知
例 解下列方程:(1)x2-8x+1=0
解:移项,得 x2-8x=-1.
配方,得 x2-8x+42=-1+42,(x-4)2=15.
由此可得x-4=± , 15 x1=4+ ,x2=154- . 15
思考
如果某个一元二 次方程的二次项系数 不是1,还能用配方 法解这个一元二次方 程吗?谈谈你的看法, 并尝试解方程
(3)当p<0时,因为对于任意实数x,都有x²≥0,所以方程 (Ⅰ)无实数根.
归纳总结
上面的解法中,实质上是把一个一元二次方程“降次”, 转化为两个一元一次方程.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元 二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根,则 必然有两个实数根,通常记为x1=a,x2=b.
知识要点
x2+4x = 96 x2+4x+4 = 96+4
(x+2)2= 100
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法,叫配方法。
配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次 方程来解。
使用配方法应该注意的问题
配方法的关键是正确配方,而要正确配方就 必须熟悉完全平方式的特征。 使用配方法,先配方,再降次。 配方法适用于一切一元二次方程。
一、复习导入
如 果 x2=a , 那 么 x 叫 做 a 的
作
;
如果x2=4,那么记作 x 2
3的平方根是
3
0的平方根是
0
-6的平方根是 没有平方根
平方根
; ;
.
,记 ;
例1 解下列方程:
(1)2x²-8=0 解:整理,得2x²=8,
即x²=4. 根据平方根的意 义,得x=±2,
即x1=2,x2=-2.
用配方法解一元二次方程的步骤
化:把原方程化成 x+px+q = 0 的形式。
移项:把常数项移到方程的右边,如x2+px =-q。
配方:方程两边都加上一次 = -q+ ( )2
方程右边是
2
2
非负数
开方:根据平方根的意义,方程两边开平方。
p
p
( x+ )2 =-q+ ( )2