斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质一、通项公式：a n = √5〔1+√52〕n - √5〔1−√52〕n二、设p,q,u,v 为自然数且p = min{ p ,q , u , v} . 若p + q = u + v , 则对于斐波那契数列{ an} ,以下公式恒成立: a p a q - a u a v = (-1)p +1a u-p a q-u三、a n+1a n−1 - a n 2 = (−1)n (n >= 1, n 属于 N)四、a 2n+1 = a n+12 + a n 2 （n 属于N ）五、a n+12 - a n−12 = a n 2 (n >= 1, n 属于N)六、a n+m = a n−1a m + a n a m+1 (n >= 1, n 和m 属于N)七、a 2n+2a 2n−1 - a 2n a 2n+1 = 1(n >= 1, n 属于N)八、a m+n 2 - a m−n 2 = a 2m * a 2n (m > n >= 1)九、a n−1∗a n+2 - a n ∗a n+1 = (−1)n (n >= 2)十、{f 2n f 2n+1} 有极限且等于黄金分割率√5 −12下面是一篇文章：第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16. f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契数列通项公式的几种求法
斐波那契数列通项公式的几种求法1.记忆化递归：使用递归方式求解斐波那契数列比较直观，但效率较低。
通过使用记忆化技术，可以避免重复计算，提高效率。
具体步骤如下：（1）定义一个辅助数组用于保存已经计算过的结果。
（2）初始时，将数组中各元素都设置为-1，表示未计算过。
（3）每次计算fibonacci(n)时，先检查数组中是否已经计算过该值。
（4）若已经计算过，则直接从数组中获取结果；若未计算过，则通过递归计算并保存结果至数组中。
（5）最终返回数组中的fibonacci(n)。
2.动态规划：动态规划是一种用于优化重复计算的技术，适用于求解斐波那契数列。
该方法遵循“最优子结构”和“重复子问题”的性质，通过将问题分解为子问题，然后将子问题的解逐步合并，最终得到原问题的解。
通过动态规划求解斐波那契数列的通项公式，具体步骤如下：（1）初始化fibonacci数组，将前两个数（即第0个和第1个数）分别设置为0和1（2）使用一个循环从第2个数开始，依次计算并保存每个数的值，直到计算到第n个数。
（3）每次计算一个数时，都利用前两个数的值，通过迭代的方式计算。
（4）最终返回第n个数。
3.矩阵乘法：具体步骤如下：（1）构造一个2x2的矩阵A，其中A=[[1, 1], [1, 0]]，向量V=[[fibonacci(n+1)], [fibonacci(n)]]。
（2）利用矩阵乘法的定义，计算矩阵A和向量V的乘积，得到结果W=[[fibonacci(n+2)], [fibonacci(n+1)]]。
（3）最终返回矩阵W中的第一个元素fibonacci(n+2)，即为第n个斐波那契数。
以上就是三种常见的求解斐波那契数列通项公式的方法。
每种方法都有其特点，选择适合自己需求和情况的方法进行求解。
斐波那契数列 通项公式
斐波那契数列通项公式
fibonacci 数列由十九世纪意大利数学家莱昂内里·斐波那契首次提出，由数列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..构成的数列。
这个数列也被称为“黄金分割率数列”，因为其中数字之间的比值恰好等于黄金分割率（约为0.618）。
斐波那契数列的通式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(0) = 0，f(1) = 1。
当n大于1时，斐波那契数列将以前两项之和作为每一项的值，每一项都等于它前面两项之和。
斐波那契数列在许多领域都有应用，其中最主要的应用是算法和数学方面。
它可以用于解决计算机程序中的递归问题，也可以用来解决许多数学问题。
斐波那契数列也可以用来求一些规律性的物理问题，如分段弦的变形、碰撞的合力和振动的波型。
斐波那契数列不仅仅是一个数学概念，它也可以用来分析金融市场和投资过程。
它可以帮助我们更好地理解金融市场的发展情况，有助于投资者制定更有效的投资策略。
此外，斐波那契数列也可以用来帮助生物和医学研究。
斐波那契数列可以用来描述一些生物进化过程，也可以用来描述病毒抗性的下降趋势。
总之，斐波那契数列是一个十分重要的数学概念，它在科学研究、投资和金融分析等领域都得到了广泛的应用。
掌握斐波那
契数列的基本原理和特性，将有助于我们更好地实现解决各类问题的目标。
斐波那契数列通项公式求解
斐波那契数列通项公式求解
解：设a n-αa n-1=β（a n-1-αa n-2）。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x2-x-1=0，解得α=1-√5/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
由此可得
感想：询问老师后知道斐波那契数列的通项公式还有很多解法。
由于所学知识有限，所以使用较为简单的初等代数方法，可以称之为待定系数法，也是数学学习中常用的一种思想方法。
值得注意的是待定系数法解斐波那契数列是构造等比数列而不是等差数列，这也需要通过自己的尝试来得出。
这个公式有一个特别之处，就是公式中带有√5和分数，但无论第一项第二项都是整数，所以想通过观察找规律来得出通项公式基本是不可能的，从中也能看出数学的无尽魅力。
数学-以斐波那契数列为背景的高中数学问题
这就产生了斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34…其规律是从第三项起，每一项都是前两项的和.用递推公式表达表达就是：12211n n na aa a a++==⎧⎨=+⎩斐波那契数列通项公式为n nna⎡⎤⎥=−⎥⎝⎭⎝⎭1.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …实标生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则357920211a a a a a ++++++是斐波那契数列{}n a 中的第__________项.答案：2022解析：由题意得357920212357920214579202167920212020202120221.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=++++++=+++++=++++==+=2.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列, 在斐波那契数列{}n a 中, 12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈ .用n S 表示他的前n 项和,若已知2020S m = ,那么2022________.a =答案：m +1解析：()12211,1n n n a a a a a n N *++===+∈123234345,,a a a a a a a a a ∴+=+=+=201920202021202020212022,a a a a a a +=+=以上累加得：1234202020212222a a a a a a ++++⋯⋯++3420212022a a a a =++⋯⋯++12320202022220221a a a a a a m a m ∴+++⋯⋯+=−=∴=+3.“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列{}n a 满足: 12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥,记其前n 项和为n S ,则6543( )S S S S +−−=A.8 B.13 C.21 D.34答案：C解析：【分析】由数列的递推式和斐波那契数列{}n a 的定义，计算可得所求值.【详解】()12121,1,3,n n n a a a a a n n *−−===+≥∈N 1n a −+++1n a −+++)21n a a −++++1n a a −+++2=1n a +−21n a −++=2n a a ++=31242323a a a a a a =+==+=，5346455,8a a a a a a =+==+= 65436453S S S S S S S S ∴+−−=−+−6554855321a a a a =+++=+++=故选C.4.若数列{}n F 满足,则称{}n F 为斐波那契数列.记数列{}n F 的前n 项和为n S ,则( ) A.26571F F F =+ B.681S F =−C.135910F F F F F +++= D.2222123678F F F F F F +++=答案：BC解析：()1212,A.11,3,n n n F F F F F n n N *−−===+>∈3214325436547658769871098226576576868132, 3,5, 8,13, 2134, 55,64,166, 1 ,A B.1123520, 120, B ;C.F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F S F S F F F F ∴=+==+==+==+==+==+==+==+=∴=+=≠+=++++=−=++故错误；=-1故正确591022221236222278123678125133455;D.114925641041321273,, .C F F F F F F F F F F F F F FD ++=++++==+++=+++++==⨯=∴++++≠.故确故错误正5.斐波那契数列，又称黄分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合,小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变,都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的数学之美,在数学上斐波那契数列{}n a 一般以递推的方式被定义:12211, ()n n n a a a a a n N *++===+∈,则( )A.1055a = B .2211n n n a a a ++−=C. 1n n a +⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列 D.设1n n na b a +=,则112n n n n b b b b +++−<−答案：ABC解析：12213A.1,,n n n a a a a a a ++===+开始各项依次为：则从102, 3 ,5 ,8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,,55,;a ⋯⋯=因此正确()222211111B.n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++−+−=+−=−由222111n n n n n n a a a a a a ++−+−=−=⋯⋯可得：22132121 1.;a a a =−=⨯−=因此正确211111C.22n n n n n a a a a a ++++−+=++11111,222n n n n a a a a ++⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭21a +2111,,;22n n a a ++⎧⎫⎪⎪∴+⎨⎬⎪⎪⎩⎭数列是等比数列因此正确11211D.,n n n n n n n n n a a a b b b a a a +++++=−=−由则212111n n n n n n n a a a a a a a ++++−==12121,n n n n b b a a ++++−=同理可得：20,n n a a +>>由斐波那契数列的单调性可得：11211,.ABC.n n n n a a a a +++>因此因此不正确故选6.(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为{}n a ,12121,(3)n n n a a a a a n −−===+≥, 边长为斐波那契数a n 的正方形所对应扇形面积记为b n , (n ∈N *),则( )A.223 (3)n n n a a a n −+=+≥B. 123201920211a a a a a ++++=+C.()20202019201820214b b a a π−=⋅ D. 123202*********4b b b b a a π++++=⋅答案：AD解析：123,n n n a a a n −−=+≥由（递推公式）可得211212 n n n n n n n n a a a a a a a a ++−−−=+=+=−()221123A 3n n n n n n n a a a a a a n a +−−−+=++−=≥正确所以.故选项12313421,,,a a a a a a a ==−=−类似的有:11122(2),,1,n n n n n n a a a n a a a a +−++=−≥+−=−迭加可得123201920211B ;a a a a a +++⋯+=+故错误，故选项错误2112,,44n n n n n n b a b b a a ππ−+−=−=由题意可知，扇形面积为故()2020201920182021C ;4b b a a π−⋅=则错，故选项错误误121212223221(3),,,n n n a a a n a a a a a a a a −−=+≥==−由可得222211121,,n n n n n n n n a a a a a a a a a a +−+=−+++=迭加可得2123202020202021n n b a b b b b a a ππ=+++⋯+=⋅所以又.D AD.错误，故选故选项7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列，并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列说法正确的是( ) A.20211g = B.12320212696g g g g ++++=C.22221232020201920212f f f f f f ++++= D. 222123222022210f f f f f f −+−=答案：ABD解析：123451,1,2,3,1,g g g g g =====由已知得67891011120,1,1,2,3,1,0,,g g g g g g g ======={}6.n g 所以数列是以为周期的周期函数2021A ,202163365,1,A g =⨯+=对；故于选项因为所以选项正确1232021B ,g g g g ++++对于选项336(112310)(11231)2696,B ;=⨯++++++++++=故选项正确1221C ,,n n n f f f f f ++==+，对于选项()2211222312321,,f f f f f f f f f f f ∴==−=−()233423432,,f f f f f f f f =−=−()2112121,n n n n n n n n f f f f f f f f ++++++=−=−22221232020f f f f ++++所以()()()()122312343220192020201920182020202120202019f f f f f f f f f f f f f f f f f f =+−+−++−+−20202021,C ;f f =故错误()22222232122232221D ,,f f f f f f f f =−=−对于选项因为()22121222021222120,f f f f f f f f =−=−22212322202221212322232221202221222120f f f f f f f f f f f f f f f f f f −+−=++−+所以()20212221232223202321232223f f f f f f f f f f f f f =+−+−=+222322230,D .ABD.f f f f =−=故正确故选8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 2na a ++=2211223n n n na a a +++=22223233n na a a a a a +++=+++224na a ++1n n a a +=称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论确的是() A.68a = B.954S =C.135********a a a a a ++++= D.22212201920202019a a a a a +++=答案:ACD解析：{}A ,61,1,2,3,5,8,A ;n a 对于选项数列的前项为故正确()81234256420192020201813520192020135201921221212231232B ,112358132154,B ;C ,,,,,:2020D ,,n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=+++++++===−=−⋯⋯=−++++=++++=+==−=−对于选项故错误对于选项由项；可得故是斐波那契数波列对于选项,斐的那契数列总有中第则()()21334234232220182018201920172018201920172018201920192020201920182222123201920192020,,,,D ;:A ,CD.,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =−=−⋯⋯=−=−=−++++=故正确故选312n a ++=是奇数时等于第n+12, 当 n1.半径为1的两个圆12,O O外切,l是它们的一条外公切线,作312O O O l和、、均相切，作234,O O O l和、、均相切……,作11n n nO O O l+−和、、均相切,求8O的半径.解析：111,,,n n n n nO R l O S l O l O R O S P Q−+−⊥⊥作作过的平行线、于、111,n n n n nO M O R M O M PQ O P O Q−++⊥==+作于，则1nO Q+==因为1,n nO P O M+==同理==可得1112(2),1,n n n na a a a n a a+−==+≥==令则且3124235346452,3,5,8a a a a a a a a a a a a =+==+==+==+=75686713,21a a a a a a =+==+=,8228111.21441r a ===所以2.(2012上海)已知1()1f x x=+,各项均为正数的数列{}n a 满足()121,n n a a f a +==.若20102012a a =, 则2011a a +=__________.解析：2010201020121,,,1a t a a t t t ===+设由得解得则：()201020082200811,,.12k a t a t a k N a *====∈+则同理123579111123581,,,,,,,1235813n n a a a a a a a a +=======+又则2011813a a +故。
几种推导斐波那契数列通项公式的方法
几种推导斐波那契数列通项公式的方法斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的每个元素都是前两个元素之和，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
在这篇文章中，我将介绍几种推导斐波那契数列通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是最直接的方法，通过不断迭代计算，得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 通过迭代计算，求解F(n) = F(n-1) + F(n-2)，直到计算到所需的第n个数；3. 得到通项公式F(n)。
方法二：矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的方法，通过求解矩阵的幂次方，可以得到斐波那契数列的通项公式。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解A的幂次方A^n，其中n为所需的第n个数；4. 得到通项公式F(n) = (A^n)_(1,2)。
方法三：特征根法特征根法是一种利用矩阵的特征值和特征向量来求解斐波那契数列通项公式的方法。
具体步骤如下：1. 定义初始条件F(0) = 0，F(1) = 1；2. 构造矩阵A = [1 1; 1 0]；3. 求解矩阵A的特征值λ1和λ2，以及对应的特征向量v1和v2；4. 根据特征值和特征向量的性质，可以得到通项公式F(n) = λ1^n*v1 + λ2^n*v2。
方法四：通项公式法通项公式法是一种直接求解斐波那契数列通项公式的方法，通过对数列进行观察和推理，可以得到通项公式。
具体步骤如下：1. 观察斐波那契数列的前几个数，例如0、1、1、2、3、5、8...；2. 推理数列的规律，发现每个数都是前两个数之和；3. 假设斐波那契数列的通项公式为F(n) = a^n，其中a为常数；4. 代入初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，解得a = (1 + √5) / 2；5. 得到通项公式F(n) = ((1 + √5) / 2)^n。
数列的通项公式推导方法
数列的通项公式推导方法数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照特定规律排列的数字或者符号组成。
而数列的通项公式，可以通过一定的推导方法得到。
本文将介绍几种常见的数列推导方法，帮助读者更好地理解和掌握数列的通项公式的推导。
一、等差数列的通项公式推导方法等差数列是指数列中，从第二项开始，每一项都与前一项之间的差值保持相等的数列。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，其中n为项数。
推导等差数列的通项公式的方法如下：1. 根据等差数列的定义，可知an = a1 + (n-1)d。
2. 利用已知条件，将an表示为a1的函数，即an = a1 + (n-1)d。
3. 进一步化简，得到通项公式an = a1 + (n-1)d。
二、等比数列的通项公式推导方法等比数列是指数列中，从第二项开始，每一项都与前一项之间的比值保持相等的数列。
假设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。
推导等比数列的通项公式的方法如下：1. 根据等比数列的定义，可知an = a1 * q^(n-1)。
2. 利用已知条件，将an表示为a1的函数，即an = a1 * q^(n-1)。
3. 进一步化简，得到通项公式an = a1 * q^(n-1)。
三、斐波那契数列的通项公式推导方法斐波那契数列是指数列中，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
假设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，第n项为an。
推导斐波那契数列的通项公式的方法如下：1. 根据斐波那契数列的定义，可知an = an-1 + an-2。
2. 利用已知条件，将an表示为a1和a2的函数，即an = an-1 + an-2。
3. 进一步化简，得到通项公式an = a1 * F(n-1) + a2 * F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
四、几何数列的通项公式推导方法几何数列是指数列中，从第二项开始，每一项都与前一项之间的比值保持相等的数列。
数列的递归公式和通项公式
数列的递归公式和通项公式在数学的奇妙世界里，数列就像是一串有规律排列的数字精灵，而数列的递归公式和通项公式则是我们理解和掌控这些精灵的魔法钥匙。
让我们先来聊聊什么是数列。
简单说，数列就是按照一定次序排列的一列数。
比如：1，3，5，7，9……这就是一个数列。
递归公式呢，是通过前面的项来表示后面的项的一种方式。
举个例子，斐波那契数列的递归公式是：＄F_{n}＝F_{n-1}＋F_{n-2}＄（＄n\geq 2$），其中$F_{1}＝1$，＄F_{2}＝1$。
也就是说，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
那通项公式又是什么呢？通项公式可以直接算出数列中任意一项的值。
比如等差数列的通项公式是$a_{n}＝a_{1}＋（n-1)d$，其中$a_{1}＄是首项，＄d$是公差；等比数列的通项公式是$a_{n}＝a_{1}q^｛n-1}＄，＄a_{1}＄是首项，＄q$是公比。
递归公式和通项公式之间有着紧密的联系。
递归公式就像是一步一步的脚印，告诉我们怎么从前面的项走到后面的项；而通项公式则像是一张地图，能让我们直接找到想去的地方，也就是直接算出任意一项的值。
比如说，对于一个简单的数列：1，2，4，8，16……我们可以发现这是一个等比数列，它的递归公式是$a_{n}＝2a_{n-1}＄（＄n\geq2$），＄a_{1}＝1$。
而它的通项公式则是$a_{n}＝2^｛n-1}＄。
再来看一个例子，数列：1，3，6，10，15……这个数列的递归公式可以写成$a_{n}＝a_{n-1}＋n$（＄n\geq 2$），＄a_{1}＝1$。
通过一些巧妙的方法，我们可以推导出它的通项公式是$a_{n}＝＼frac{n(n＋ 1)｝｛2}＄。
那么，如何从递归公式推导出通项公式呢？这可不是一件容易的事情，需要一些巧妙的方法和技巧。
有时候，我们可以通过累加法、累乘法等方法来实现。
比如说对于递归公式$a_{n}＝a_{n-1}＋2$（＄n\geq 2$），＄a_{1}＝1$，我们可以依次写出：＄a_{2}＝a_{1}＋2$＄a_{3}＝a_{2}＋2=（a_{1}＋2)＋2=a_{1}＋2×2$＄a_{4}＝a_{3}＋2=（a_{1}＋2×2)＋2=a_{1}＋3×2$……以此类推，＄a_{n}＝a_{1}＋（n 1)×2$，因为$a_{1}＝1$，所以$a_{n}＝1 ＋ 2(n 1)＝2n 1$。
用递归,迭代,通项公式三种方法实现斐波那契数列求解
if(n<=0)
{
printf("输入错误.\n");
}
else if(n==1||n==2)
{
printf("1");
}
else
{
for(i=0;i<n-2;i++)
{
f3=f1+f2; //f1表示当前的值
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
阶乘(1) = 1 [基本情况] 对所有n > 1的整数：阶乘(n) = (n * 阶乘(n-1)) [递归定义] 一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这是你已经知道该怎么做的。
int i;
for(i=2;i<41;i++)
fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
for(i=1;i<41;i++)
数列的通项公式推导
数列的通项公式推导数列是数学中的一种重要概念，它由一组按照特定规律排列的数字组成。
在数列中，每一个数字被称为该数列的项。
而数列的通项公式是指能够通过该数列的项与项之间的关系式，来求出数列的第n项的公式。
数列的通项公式推导可以通过数列的规律进行观察和归纳，从而找到数列的通项公式。
下面，我们以一些常见的数列为例，来探讨数列通项公式的推导过程。
1. 等差数列的通项公式推导：等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差恒定的数列。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
观察等差数列的前几项，我们可以发现每一项与首项之间的差都是公差d的倍数。
根据这一规律，我们可以得到等差数列的通项公式的推导过程如下：a₂ - a₁ = da₃ - a₂ = d...aₙ - aₙ₋₁ = d观察到每两项之间的差都为d，我们可以将d视为公式中的常数。
根据观察，我们来总结n项之间的关系式：将上述关系式进行变形，得到：aₙ = a₁ + (n - 1)d因此，等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n - 1)d2. 等比数列的通项公式推导：等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值恒定的数列。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ。
观察等比数列的前几项，我们可以发现每一项与前一项的比值都是公比r。
根据这一规律，我们可以得到等比数列的通项公式的推导过程如下：a₂ / a₁ = ra₃ / a₂ = r...aₙ / aₙ₋₁ = r观察到每两项之间的比值都为r，我们可以将r视为公式中的常数。
根据观察，我们来总结n项之间的关系式：aₙ = a₁ * r^(n - 1)因此，等比数列的通项公式为：3. 斐波那契数列的通项公式推导：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续项为前两项之和。
即f₁ = 1，f₂ = 1，fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂。
观察斐波那契数列的前几项，我们可以发现从第3项开始，每一项都是前两项之和。
Fibonacci数列(斐波那契数列)
f e 0 . 4 7 8 2 n 0 . 7 6 2 4 0 . 4 6 6 5 e 0 . 4 7 8 2 n
这是粗略通项公式，那怎样寻找精确的通项公式呢？
3.Fibonacci数列的通项公式
数列满足递推关系 fn2fn1fn ，称这样 的递推关系为二阶线性差分方程。
猜测： 1 和 2 都是差分方程的解，都是数列
的通项，但这是不怎么可能，因为数列不会 有两个通项吧。猜测 1 与 2 的线性组合仍 是差分方程的解。设 fnC 11nC2 2 n ，代入 差分方程进行检验，猜测确实成立！
因此，差分方程的解为：
n
n
fnC1125 C2125
3.Fibonacci数列的通项公式
4.自然界中的斐波那契数列
这也可纳入饮食的0.618规律之列。抗衰老有 生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明， 生理上的抗衰为四，而心理上的抗衰为六， 也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心 理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达 到最好的延年益寿的效果。一天合理的生活 作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时 间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在 动与静的关系上，究竟是"生命在于运动"，还 是"生命在于静养"？
根据初始条件 f1 f2 1,可能确定常数 c 1 , c 2 ,
[c1,c2]=solve('c1*(1+sqrt(5))/2+c2* (1sqrt(5))/2=1','c1*((1+sqrt(5))/2)^2+ c2*((1-sqrt(5))/2)^2=1')
3.Fibonacci数列的通项公式
Fibonacci数列（斐波那契数列）
关于费波那契数列
关于斐波那契数列1．斐波那契数列斐波那契（Fibonacci）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题。
有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。
假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。
月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。
若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。
所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”(Fibonacci Sequence)，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：它的第100项；第1000项是什么呢？100354224848179261915075a ；1000434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398733224711 61642996440906533187a 938298969649928516003704476137795166849228875 (209位数)怎样计算的呢？笔算或用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
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问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
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a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
求斐波那契数列的通项公式
求斐波那契数列的通项公式斐波那契数列，这可是数学世界里一个相当有趣的家伙！咱们先来了解一下啥是斐波那契数列。
比如说，一开始有一对小兔子，小兔子长大需要一个月，长大之后每个月就能生一对小兔子。
第一个月就这一对小兔子，第二个月还是这一对，第三个月这一对长大能生了，就变成两对，第四个月原来的一对又生了一对，加上之前的两对，就有三对……这样依次下去，1，1，2，3，5，8，13，21……这就是斐波那契数列。
那怎么求出它的通项公式呢？这可得费点脑筋。
咱们先设斐波那契数列的第 n 项为 F(n) 。
为了找到通项公式，咱们可以试试从简单的数学方法入手。
比如说，咱们可以观察相邻两项的关系。
发现 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) ，这就是斐波那契数列的核心特点。
但仅仅知道这个关系还不够，要找到通项公式可没那么简单。
这时候就得用到一些更高级的数学工具啦。
咱们假设通项公式是一个形如 F(n) = x^n 的形式。
把这个假设代入到 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 这个关系式中，经过一系列复杂的计算和推导（这过程可有点烧脑），最终就能得到斐波那契数列的通项公式。
说到这，我想起之前给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙特别积极，瞪着大眼睛，一直问问题。
我给他一步一步解释，看着他从一脸迷茫到最后恍然大悟的样子，那种成就感简直爆棚！求出斐波那契数列的通项公式，不仅能让我们更深入地理解这个神奇的数列，还能在很多实际问题中派上用场。
比如说在计算机编程里，用通项公式可以快速生成斐波那契数列的项，提高程序的效率。
总之，虽然求斐波那契数列的通项公式有点难，但只要咱们有耐心，有探索的精神，就能攻克这个难关，发现数学世界里更多的精彩！。
斐波那契数列
斐波那契数列“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacc i，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。
他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。
他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。
他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(1/√5)*{[(1 +√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。
）（√5表示根号5）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
[编辑本段]【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.61803 39887……从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-12.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-13.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-14.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+16.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
斐波那契的三个基本公式
斐波那契的三个基本公式斐波那契数列是一个非常有趣且在数学中具有重要地位的数列。
它的名字或许听起来有点高大上，但其实它就在我们的生活中，而且有着神奇的规律和应用。
先来说说斐波那契数列是什么吧。
斐波那契数列指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…… 。
从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
那斐波那契的三个基本公式是啥呢？第一个公式是通项公式。
斐波那契数列的通项公式是：$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。
这公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢理解。
第二个公式是递推公式，$F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)$ ，其中$n \geq 2$，$F(0) = 0$ ，$F(1) = 1$ 。
这个公式就比较直观啦，说的就是后一项是前两项的和。
第三个公式是求和公式，前$n$项和$S(n) = F(n + 2) - 1$ 。
还记得我之前有一次给学生们讲斐波那契数列的时候，有个小调皮鬼一直嚷嚷着说这东西太难懂啦，根本没啥用。
我就笑着跟他们说：“别着急，咱们一起来找找它在生活中的影子。
” 然后我给他们举了个例子，比如说向日葵的花盘，大家仔细观察就会发现，葵花籽排列的方式就遵循着斐波那契数列的规律。
还有树枝的分叉，也有着斐波那契数列的踪迹。
这一下，孩子们都瞪大了眼睛，觉得太神奇啦！其实啊，斐波那契数列不仅仅在自然界中出现，在计算机科学、金融领域也都有它的身影。
比如在算法设计中，利用斐波那契数列的特性可以优化一些问题的解决方法。
在金融领域，股票价格的波动有时候也能呈现出类似斐波那契数列的规律。
咱们再回到这三个基本公式。
通项公式虽然复杂，但它能让我们精确地计算出数列中任意一项的值。
递推公式呢，就像是搭积木一样，一步一步地构建出整个数列。
求和公式则能帮助我们快速算出前若干项的总和。