利用换元法解方程(组)

第6讲 利用换元法解方程

一、方法技巧

（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.

（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程.

解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次.

（三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．

常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．

例如：① 256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝

⎭⎝⎭ ，可使用局部换元法，设1x y x =+ ②22110x x x x +++=，变形后也可使用局部换元法，设1x t x +=

③222212219116

x x x x x x x +++++=+++，看着很繁冗，变形整理成222211191116

x x x x x x +++++=+++时，就可使用局部换元法. ④()()443182x x +++=，可设()()3122x x y x +++==+，方程变成

()()441182y y ++-=，使方程变得易解，这是均值换元法.

⑤4326538560x x x x +-++=，符合与中间项等距离的项的系数相等，

如与6，与系数相等，可构造1x x +

换元，是倒数换元法.

⑥32310x x ++=，不易求解，若反过来看，把设x 看作已

t ，则方程就变成()()

2232110x t x t x ⋅+++-=， 数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.

有时根据方程各部分特点可设双元，达到化繁为简，求解的目的.

例如：

()()()()()222222223232321321451x x x x x x x x x x -++-+--+--=-+观察发现()()

22232321451x x x x x x -++--=-+，故可设232x x u -+=，2321x x v --=，原方程变为()222u uv v u v ++=+，方程由繁变简，可得解.

（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和

研究数学的兴趣.

二、应用举例

类型一 局部换元

（高次方程）

【例题1】解方程：42320x x -+=

【答案】11x =，21x =-

，3x =

4x =【解析】

试题分析：

通过观察发现()242x x =，故设2x y =，原方程变形为2320y y -+=，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.

试题解析：

解：设2x y =，则原方程变形为2

320y y -+=， 解得，11y =，22y =，

由11y =得21x =，解得11x =，21x =-，

由22y =得22x =

，解得3x =

4x =

∴方程的解是11x =，21x =-

，3x =

，4x =【难度】较易

（分式方程）

【例题2】解方程：256011x x x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

【答案】134x =-，223

x =- 【解析】

试题分析：

括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解.

试题解析： 解：设1

x y x =+，于是原方程变形为2560y y ++= 解得13y =-，22y =-

当13y =-时，

31x x =-+，解得134

x =-， 当22y =-时，21x x =-+，解得223

x =- 经检验134x =-，223

x =-均为原方程的根. ∴方程的解是134x =-，223x =- 【难度】较易

【例题3】已知实数x 满足22110x x x x +

++=，那么1x x

+的值是（ ） 【答案】2-

【解析】

试题分析： 由于222112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭

，故设1x t x +=，可解. 试题解析： 解：设1x t x

+=， 原方程化简得21120x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝

⎭， ∴220t t -+=，

解得11t =，22t =- 由11x x

+

=化简得210x x -+=，△＜0 ，无解，舍去 ∴12x x +=- 点评 ：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分，设元.

【难度】一般

（无理方程）

【例题4103= 【答案】114x =，294

x =- 【解析】

试题分析： 这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现221x x x

++=，

与2

x x +互为倒数，y =，则原方程变形为1103y y +=，无理方程化为有理方程. 试题解析：

()0y y = ＞，则原方程变形为1103y y +=

整理得231030y y -+=

解得13y =，213y =

当13y =3=，解得114

x =

当213y =13=，解得294

x =- 经检验114x =，294

x =-都是原方程的根. 原方程的解是114x =，294x =- 【难度】一般

【例题510=

【答案】112x =+

，

21x =- 【解析】

试题分析：

1=，可设两个未知数，利用韦达定理求解. 试题解析：

m = n = ，