第5章场论和路论的关系
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分析： U E D s Q C
求电容。
z
E
解 忽略边缘效应，由边界条件判 断，则极板间电场 E 与 r 有关，与 无关， ˆ E E (r ) a
h
x
O
U E dl E (r ) rd E (r )r
l 0
Q C U
Q
S
E dS
两导体的电位
U E dl
l
E dS C S E dl
l
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例2：如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位 于 xOz平面，另一极板和 xOz 面成 角，电容器高为 h ， 径向尺寸 r r2 r 1 ，内部填充介质的介电常数为 ，
C
0S
d1
d2
r1
r2
1 2
D
分析： q D E U C
证：设极板上的电量为q，由高斯定理：
思考 高斯面如何选？
包围一个极板的柱体
d1
d2
DS q
Dq S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
Dq S
E1 q E2 q
1 2
D
U E0 d
上、下面间的电流密度为： J c E0
于是总电流为： I J c S
E 0 ( r22 r12 )
2
U E R J I
U 2d 厚度方向的电阻为： R I (r22 r12 )
()
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向 流过的电流为 I，则其间任意弧面S上的电流密度为：
U IR
从场论出发，可以导出 路论中的欧姆定律
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
二、焦耳定律
1. 路论表达式
P U I
2. 功率损耗的含义
PI R
2
导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程 中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化 为热能称为功率损耗。
电磁场与电磁波
r2
所以电容为：
Q h r 2 C ln U r1
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例3：一无限长同轴电缆的内外半径分别为 a 和 b，其间填充介 电常数为 的介质。求：同轴电缆单位长度的电容。 分析： Q E U C 解：设内导体单位长度带电荷量为Q， 在内、外导体之间取单位长度的闭合 柱面，在该闭合面上应用高斯定律： D dS Q 即：
L Li L0
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例4：一空气同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径为b， 设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。 解：同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外 导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。 (1)内导体的内自感 (0 r a ) 如图所示，由安培环路定律得
I
S
J c dS E dS
S
根据定义可得到两端面 间导电媒质的电阻R为：
U l E dl ★ R I E dS
S
l
注意：首先需要确定等位面，U 为两等位面的压降，I 为与 等位面垂直的任意横截面上流过的电流
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
第5章 场论和路论的关系
一、 欧姆定律 二、 焦耳定律
安培(1775－1836)
三、 电阻的计算 四、 电容 五、 电感 六、 基尔霍夫定律和麦克斯韦方程
麦克斯韦 (1831－1879)
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
引言：
关系： 两者是统一而不可分割的理论体系 场论强调普遍性，路论是场论的特例 在电路尺寸远小于工作波长时，路论是由场 论导出的近似理论 路论的结果更简洁
M
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
2. 自感
（1）单匝线圈的自感
假设线圈内外不存在铁磁性物质， 则 I 和 之间存在线性关系：
I
B
L
I
S
B dS I
L 称为自感系数，简称自感 自感取决于线圈的几何形状 和尺寸以及磁介质的磁导率
（2）多匝线圈的自感
I 为与磁通ψ 交链的电流
b I I b 0 B0 dS 0 dr 0 ln S a 2πr 2π a
同轴线单位长度的外自感为：
U 电场： E ( r ) r U ˆ 电流密度: J c E = a r
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
四、电容
1.孤立导体的电容 孤立导体的电容是指 该导体与无穷远处的 另一导体间的电容 2. 双导体系统的电容 导体所带的电荷量
C
Q
导体的电位
带正电导体的电荷量
r2 E dl
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
(3)两侧面分别为等位面， 其中电场与 r 有关， 与 无关， 设两侧面间电压为 U ，则：
U E (r ) rd E ( r ) r
0
U E J I R
r2 U dU r2 dd r ln 电流: I J c d S r1 r r1 U 两侧平面间的电阻： R ( ) I d ln r2 r1
2 dP J E2 dV
dP EJ 功率密度： dV
J =E
——焦耳定律的微分形式
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
4. 与路论表达式的关系
在体积为 V 的一段导体中，总的损耗功率为：
P
V
E JdV
对于一段均匀直导体的情况，令 dV dldS ， dl 和电流线一致， dS 和电流线垂直，则：
设两极板间电压为 U
r1
y
r2
则： E ( r ) U
r
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
z
在 0 的极板处，根据电场边界条件：
U S Dn En r
在极板上总电荷为：
r2 r1
E
h
x
O
r1
y
Q S dS
S
U Uh r2 hd r ln r r1
第5章 场论和路论的关系
★3. 焦耳定律的微分形式 电子电荷 q在电场力作用下移动距离 l ,则电场力做功为：
W qE l eE l
dW 相应的功率为： eE v dt
电子漂移速度
体积元 dV 中全部自由电子的损耗功率为:
dP eE v ( N e dV ) E ( eN e v )dV E JdV
l
H dl I
l H dl H 2π2r I r 2 I 2 πr 2 I πa a
r
b
a
0 Ir ˆ Bi a 2 2πa
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
单位长度内导体截面的磁通量为 0 Ir d i Bi dS = dr 2 2πa
d i 只和半径为r 的截面内的电 流 I 交链： r2 I 2 I a
r
与总电流I 相交链的磁链为：
r2 0 r 3 I r 2 0 Ir di 2 d i 2 ( )dr dr 2 4 a a 2πa 2πa
在内导体内的总磁链为： i
a 0
dr
0 r 3 I
电路理论 基本物理量：电压 U 电流 I 电路参数： 电阻 R 电感 L 电容 C 电磁场理论
基本场量：电场强度 E 电位移矢量 D 磁感应强度B 磁场强度 H 媒质参数：电导率 磁导率 介电常数
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
一、欧姆定律
1. 概念 它反映电阻两端电压和流经电 阻的电流的关系，即 4. 两者之间的关系
I I ˆr ˆr Jc a a S d r 又因为： J c E
所以其间电场为： E I ˆr a d r
r2
r
两弧面之间的电压为： U
I J E U R
I I r2 dr ln r1 r1 d r d r1 于是电阻为： R U 1 ln r2 () I d r1
0 r 1 S
0 r 2 S
q d1 d 2 U E1d1 E2 d 2 0 S r1 r 2
d1
d2
0S q q C U q d1 d 2 d1 d 2 0 S r1 r 2 r1 r 2
若有N 匝相同的线圈，则得磁链
I
N N 自感为：
L I
匝数可理解为 与磁通相交链 的电流的数量
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（3）内自感和外自感
外自感：导线外部环面内的磁链 与导线中电流的比值 内自感：导线内部的磁链与导线 中电流的比值
L0 Li
0
I
i
I
单个载流回路的自感：
第5章 场论和路论的关系
例 1：有一扇形导体，电导率为 ，厚度为 d ，圆弧半径分别 为 r1 和 r2 ，两侧平面的夹角为 ，如图所示。求:(1)沿厚度方向 的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)两侧平面间的电阻。
解 (1) 上、下扇面分别为等位面，其 中电场为均匀场，设该电场为 E0 ，上、 下底面间的电压为：
U
b a
a
b
E 2πr Q
b Q Q b ˆ E drar dr ln a 2π r 2π a
Q ˆr E a 2π r
C Q 2π U ln(b a )
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例8－19 平行板电容器的极板面积为Ｓ，两板间距为d,极板间 充以两层均匀电介质，其一厚度为d1，相对介电系数为r1, 其二 厚度d2，相对介电系数为r2，试证
图2 三导体系统的等效电路
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
五、电感
I
1. 概念: 包括自感 L 和互感 M 在正弦交流电路中，当只含一个纯电 感时，电感上的电压和电流的关系：
U
L
U j LI
当电路包括两个以上电感线圈时， 电感上的电压和电流的关系：
I1 U1 L1 L2 I2 U2
U1 j L1 I1 j MI 2 U 2 j MI1 j L2 I 2
P
V
E JdV Edl JdS UI
l S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
三、电阻的计算
设和电流线垂直的两个端面为等 位面，两端面之间的电压降为：
I
R
+ U -
E
l S
J
U
I
U E dl
l
通过任意横截面S的电流为：
l ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ S
I
J
U
R
+ U -
I
l S
U IR
2. 条件 欧姆定律只是在线性、各向同 性媒质的假设下才成立。对于 均匀直导线的电阻
1 l = R S ★3. 欧姆定律的微分形式 1 E = J = J J E
电阻率
E
U E dl
l
dl Il U J dl I l l S S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
3. 部分电容
C C12 C13C23 C13 C23
对于三个导体以上的多导体系统 只能用部分电容来描述。 自电容：导体与大地之间 的电容 互电容：两个不同导体之 间的电容
图1 含金属球的平行板电容器
部分电容
导体系中部分电容之间的关系可由 叠加原理导出
2πa
4
dr
0 I
8π
(H/m)
内导体单位长度的内自感为： L i 0 i
I
8π
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（2）内外导体间的外自感 ( a r b) 根据安培环路定律 H dl I
l
dr
0 I ˆ B0 a 2 r
内外导体之间单位长度上的磁通为：
求电容。
z
E
解 忽略边缘效应，由边界条件判 断，则极板间电场 E 与 r 有关，与 无关， ˆ E E (r ) a
h
x
O
U E dl E (r ) rd E (r )r
l 0
Q C U
Q
S
E dS
两导体的电位
U E dl
l
E dS C S E dl
l
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例2：如图所示，电容器可以用圆柱坐标系表示，一极板位 于 xOz平面，另一极板和 xOz 面成 角，电容器高为 h ， 径向尺寸 r r2 r 1 ，内部填充介质的介电常数为 ，
C
0S
d1
d2
r1
r2
1 2
D
分析： q D E U C
证：设极板上的电量为q，由高斯定理：
思考 高斯面如何选？
包围一个极板的柱体
d1
d2
DS q
Dq S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
Dq S
E1 q E2 q
1 2
D
U E0 d
上、下面间的电流密度为： J c E0
于是总电流为： I J c S
E 0 ( r22 r12 )
2
U E R J I
U 2d 厚度方向的电阻为： R I (r22 r12 )
()
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（2）两圆弧面为等位面，其中电场沿径向变化，设沿径向 流过的电流为 I，则其间任意弧面S上的电流密度为：
U IR
从场论出发，可以导出 路论中的欧姆定律
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
二、焦耳定律
1. 路论表达式
P U I
2. 功率损耗的含义
PI R
2
导电媒质中自由电子在电场力作用下运动，运动过程 中电子和结晶点阵不断发生碰撞作用，电子的动能被转化 为热能称为功率损耗。
电磁场与电磁波
r2
所以电容为：
Q h r 2 C ln U r1
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例3：一无限长同轴电缆的内外半径分别为 a 和 b，其间填充介 电常数为 的介质。求：同轴电缆单位长度的电容。 分析： Q E U C 解：设内导体单位长度带电荷量为Q， 在内、外导体之间取单位长度的闭合 柱面，在该闭合面上应用高斯定律： D dS Q 即：
L Li L0
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例4：一空气同轴线，内导体的半径为a，外导体的内半径为b， 设外导体的壁厚很小，求同轴线单位长度的电感。 解：同轴线单位长度的电感可分为内导体中的内自感、内外 导体之间的外自感和外导体中的内自感三部分。 (1)内导体的内自感 (0 r a ) 如图所示，由安培环路定律得
I
S
J c dS E dS
S
根据定义可得到两端面 间导电媒质的电阻R为：
U l E dl ★ R I E dS
S
l
注意：首先需要确定等位面，U 为两等位面的压降，I 为与 等位面垂直的任意横截面上流过的电流
电磁场与电磁波
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
第5章 场论和路论的关系
一、 欧姆定律 二、 焦耳定律
安培(1775－1836)
三、 电阻的计算 四、 电容 五、 电感 六、 基尔霍夫定律和麦克斯韦方程
麦克斯韦 (1831－1879)
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
引言：
关系： 两者是统一而不可分割的理论体系 场论强调普遍性，路论是场论的特例 在电路尺寸远小于工作波长时，路论是由场 论导出的近似理论 路论的结果更简洁
M
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
2. 自感
（1）单匝线圈的自感
假设线圈内外不存在铁磁性物质， 则 I 和 之间存在线性关系：
I
B
L
I
S
B dS I
L 称为自感系数，简称自感 自感取决于线圈的几何形状 和尺寸以及磁介质的磁导率
（2）多匝线圈的自感
I 为与磁通ψ 交链的电流
b I I b 0 B0 dS 0 dr 0 ln S a 2πr 2π a
同轴线单位长度的外自感为：
U 电场： E ( r ) r U ˆ 电流密度: J c E = a r
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
四、电容
1.孤立导体的电容 孤立导体的电容是指 该导体与无穷远处的 另一导体间的电容 2. 双导体系统的电容 导体所带的电荷量
C
Q
导体的电位
带正电导体的电荷量
r2 E dl
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
(3)两侧面分别为等位面， 其中电场与 r 有关， 与 无关， 设两侧面间电压为 U ，则：
U E (r ) rd E ( r ) r
0
U E J I R
r2 U dU r2 dd r ln 电流: I J c d S r1 r r1 U 两侧平面间的电阻： R ( ) I d ln r2 r1
2 dP J E2 dV
dP EJ 功率密度： dV
J =E
——焦耳定律的微分形式
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
4. 与路论表达式的关系
在体积为 V 的一段导体中，总的损耗功率为：
P
V
E JdV
对于一段均匀直导体的情况，令 dV dldS ， dl 和电流线一致， dS 和电流线垂直，则：
设两极板间电压为 U
r1
y
r2
则： E ( r ) U
r
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
z
在 0 的极板处，根据电场边界条件：
U S Dn En r
在极板上总电荷为：
r2 r1
E
h
x
O
r1
y
Q S dS
S
U Uh r2 hd r ln r r1
第5章 场论和路论的关系
★3. 焦耳定律的微分形式 电子电荷 q在电场力作用下移动距离 l ,则电场力做功为：
W qE l eE l
dW 相应的功率为： eE v dt
电子漂移速度
体积元 dV 中全部自由电子的损耗功率为:
dP eE v ( N e dV ) E ( eN e v )dV E JdV
l
H dl I
l H dl H 2π2r I r 2 I 2 πr 2 I πa a
r
b
a
0 Ir ˆ Bi a 2 2πa
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
单位长度内导体截面的磁通量为 0 Ir d i Bi dS = dr 2 2πa
d i 只和半径为r 的截面内的电 流 I 交链： r2 I 2 I a
r
与总电流I 相交链的磁链为：
r2 0 r 3 I r 2 0 Ir di 2 d i 2 ( )dr dr 2 4 a a 2πa 2πa
在内导体内的总磁链为： i
a 0
dr
0 r 3 I
电路理论 基本物理量：电压 U 电流 I 电路参数： 电阻 R 电感 L 电容 C 电磁场理论
基本场量：电场强度 E 电位移矢量 D 磁感应强度B 磁场强度 H 媒质参数：电导率 磁导率 介电常数
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
一、欧姆定律
1. 概念 它反映电阻两端电压和流经电 阻的电流的关系，即 4. 两者之间的关系
I I ˆr ˆr Jc a a S d r 又因为： J c E
所以其间电场为： E I ˆr a d r
r2
r
两弧面之间的电压为： U
I J E U R
I I r2 dr ln r1 r1 d r d r1 于是电阻为： R U 1 ln r2 () I d r1
0 r 1 S
0 r 2 S
q d1 d 2 U E1d1 E2 d 2 0 S r1 r 2
d1
d2
0S q q C U q d1 d 2 d1 d 2 0 S r1 r 2 r1 r 2
若有N 匝相同的线圈，则得磁链
I
N N 自感为：
L I
匝数可理解为 与磁通相交链 的电流的数量
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（3）内自感和外自感
外自感：导线外部环面内的磁链 与导线中电流的比值 内自感：导线内部的磁链与导线 中电流的比值
L0 Li
0
I
i
I
单个载流回路的自感：
第5章 场论和路论的关系
例 1：有一扇形导体，电导率为 ，厚度为 d ，圆弧半径分别 为 r1 和 r2 ，两侧平面的夹角为 ，如图所示。求:(1)沿厚度方向 的电阻；(2)两圆弧面间的电阻；(3)两侧平面间的电阻。
解 (1) 上、下扇面分别为等位面，其 中电场为均匀场，设该电场为 E0 ，上、 下底面间的电压为：
U
b a
a
b
E 2πr Q
b Q Q b ˆ E drar dr ln a 2π r 2π a
Q ˆr E a 2π r
C Q 2π U ln(b a )
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
例8－19 平行板电容器的极板面积为Ｓ，两板间距为d,极板间 充以两层均匀电介质，其一厚度为d1，相对介电系数为r1, 其二 厚度d2，相对介电系数为r2，试证
图2 三导体系统的等效电路
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
五、电感
I
1. 概念: 包括自感 L 和互感 M 在正弦交流电路中，当只含一个纯电 感时，电感上的电压和电流的关系：
U
L
U j LI
当电路包括两个以上电感线圈时， 电感上的电压和电流的关系：
I1 U1 L1 L2 I2 U2
U1 j L1 I1 j MI 2 U 2 j MI1 j L2 I 2
P
V
E JdV Edl JdS UI
l S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
三、电阻的计算
设和电流线垂直的两个端面为等 位面，两端面之间的电压降为：
I
R
+ U -
E
l S
J
U
I
U E dl
l
通过任意横截面S的电流为：
l ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ S
I
J
U
R
+ U -
I
l S
U IR
2. 条件 欧姆定律只是在线性、各向同 性媒质的假设下才成立。对于 均匀直导线的电阻
1 l = R S ★3. 欧姆定律的微分形式 1 E = J = J J E
电阻率
E
U E dl
l
dl Il U J dl I l l S S
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
3. 部分电容
C C12 C13C23 C13 C23
对于三个导体以上的多导体系统 只能用部分电容来描述。 自电容：导体与大地之间 的电容 互电容：两个不同导体之 间的电容
图1 含金属球的平行板电容器
部分电容
导体系中部分电容之间的关系可由 叠加原理导出
2πa
4
dr
0 I
8π
(H/m)
内导体单位长度的内自感为： L i 0 i
I
8π
电磁场与电磁波
第5章 场论和路论的关系
（2）内外导体间的外自感 ( a r b) 根据安培环路定律 H dl I
l
dr
0 I ˆ B0 a 2 r
内外导体之间单位长度上的磁通为：