场论复习

F=f(r)，则称这个场为球面对称场。
作业
.
试证明下列各题
1 1. r r ,

r r , r r
, 3
2. 0
3. A 0
式中：
r xe x ye y ze z r xe x ye y z e z
( x, y , z ) A Ax e x Ay e y Az e z
0.4 矢量场的环量与旋度
一、环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
A dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。 例：流速场
图0.4.1 环量的计算
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动
流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源
二、旋度 1. 环量密度
( , , ) (cos ,cos ,cos ) l x y z
el (cos ,cos ,cos )
设
，分别是与x,y,z轴的夹角 ， 式中 ，
g el | g | cos( g , el ) l 当 ( g ,el ) 0 ,即 e l 与 g 方向一致时, l 为最大.
例：判断矢量场的性质
F ? =0 F ? =0
F ? 0 F ? =0
F ? =0 F ? 0
0.6 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
E dS
S
若S 为闭合曲面
净通量的大小判断闭合面中源的性质:
E ds ，可以根据
s
图0.3.1 矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场的通量
> 0 (有正源)
二、散度 如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积 之比的极限存在，即
过点P作一微小曲面S,它的边界曲线记为L,面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时,存在极限
d 1 lim S P S dS
Α dl
L
环量密度
取不同的路径，其环量密度不同。
2. 旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。
rot A A
图 0.4.3 斯托克斯定理
在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。
0.5 亥姆霍茨定理
亥姆霍茨定理： 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 矢量A的通量源密度 电荷密度 在电磁场中
已知
矢量A的旋度源密度 场域边界条件
电流密度J （矢量A唯一地确定） 场域边界条件
A dl 0
h ( x, y, z ) const
图0.1.2 矢量线
在直角坐标下:
图0.1.1 等值线
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
0.2 标量场的梯度
一. 梯度 设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方 向导数为:
图0.2.1 三维高度场的梯度
图0.2.2 电位场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直；
• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
0.3 矢量场的通量与散度
一、通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
则有:
g
式中
ex ey e z grad x y z
( , , ) x y z
梯度(gradient)
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
场 论 复 习
0.1 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确定的标量值 或矢量. 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
矢量场--矢量线 其方程为
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场
中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
1 divA lim A dS v0 v S
由于 A 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的
通量，对 A 体积分后，为穿
出闭合面S的通量
图0.3.3 散度定理
A dS lim
S
n Vn 0 n 1
AV

n
AdV
V
A dS AdV
S V
高斯公式
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
1 divA lim A dS v0 v S
计算公式
div A A
Ax x

Ay y

Az z
散度(divergence)
三、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• A= 0 (无源）
• A= 0 (正源)
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，其面积分后，环量为
l A dli ( A) dSi
i
l A dl ( A ) dS
S
Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
它与环量密度的关系为
d rot A en dS
旋度(curl)
ex
在直角坐标系下
ey
y
ez
z
A
x
Ax
Ay
Az
三、旋度的物理意义 • 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 • 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 • 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 • 在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)；