2021年高考数学预测卷一 Word版含答案

2021年高考数学预测卷一 Word 版含答案

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相．．．．应位置上．．．．

． 1. 若关于的不等式的解集为，则实数 ．

2. 已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥 的体积为 ．

3．设函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数 的图像交于另外两点、.是坐标原点，则 ． 4．已知函数为奇函数，则 ．

5. 已知函数，若, 则实数的最小值为 ．

6. 若，则直线与轴、轴围成的三角形的面积小于的概率为 ．

7. 已知点是球表面上的四个点，且两两成角，，则球的表面积为 ．

8. 已知点、分别为的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若，则的值为 ．

9. 正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3. 10. 若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则的最小值为 4 ． 11. 如已知函数 ，且，则 xx .

12. 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向

的夹角为60°,则为 ．

13. 已知函数的图像在某两点处的切线相互垂直，则的值为 0 . 14. 已知向量，，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数为偶函数． （1）求的解析式；

（2）若为锐角，，求的值． 解：（1）由题设：，，

为偶函数，函数的图象关于直线对称， 或，，，

；

（2），，

为锐角，

24

sin 2()2sin()cos()66625

πππααα∴+=++=，

，

2417sin 2sin[2()]()6325225ππαα∴=+-=⨯--=

． 16. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，是的中点，为上的一点．

P

D

G

（1）求证：平面平面；

（2）若平面，求的值．

（1）证明：设菱形的边长为1，

是的中点，，

，

，，，

平面底面，平面底面，

，平面，又,

平面平面；

（2）解：连接，交于，连接，

则平面，平面平面，

，.

17. 如图，在半径为30 cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料（点，

在直径上，点，在半圆周上），并将其卷成一个以为母线的圆柱体罐Array子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．

（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？

（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

解：（1）如图，设圆心为O，连结，设，

法一易得，，

所以矩形的面积为

（）

（当且仅当，（）时等号成立）

此时；

法二设，；

则，，

所以矩形的面积为

，

当，即时，（），

此时；

（2）设圆柱的底面半径为，体积为，

由得，，

所以，其中，

由得，

此时，在上单调递增，在上单调递减，

故当时，体积最大为，

答：（1）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的侧面积最大．（2）当截取的矩形铁皮的一边为为时，圆柱体罐子的体积最大．18.在平面直角坐标系，已知椭圆：过点，其左右焦点分别为，，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点．

①求证：为定值；

②设与以为直径的圆的另一交点为，问直线是否过定点，并说明理由．解：（1）易得且，解得

所以椭圆的方程为；

（2）设，，

①易得直线的方程为：，

代入椭圆得，，

由得，，从而，

所以()()2

2200000222

20000

284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫

⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线过定点，理由如下： 依题意，， 由得，，

则的方程为：，即， 所以直线过定点． 19．已知函数，.

（1）若函数有三个极值点，求的取值范围； （2）若依次在处取到极值，且，求的零点；

（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数的最大值.

（1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++

∵有3个极值点，∴有3个不同的根， --------2分 令，则，

从而函数在，上递增，在上递减.

∵有3个零点，∴，∴. -----------------4分 （2）是的三个极值点

∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分

∴，∴或（舍∵） ∴，

所以，的零点分别为，1，. -------------------10分 （3）不等式，等价于，即.

转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立. 即不等式在上恒成立.

即不等式在上恒成立. ----------------12分 设，则. 设，则.

因为，有. 所以在区间上是减函数. 又，，， 故存在，使得. 当时，有，当时，有.

从而在区间上递增，在区间上递减.