解求传递函数
传递函数的求取方法和定理
特点:
０
输入与输出成比例
实例:
I
RU
y(t) y=Kx0 x=x0
t
U=RI
2.4.2 积分环节
动态方程: 传递函数: 方框图:
y(t) 1
t
x(t)dt
T0
G(s) 1
Ts
X(t)
1/(Ts)
阶跃响应:
y(t)
y tx0 T
x=x0
特点:
０
T大则积分慢
2.5.1.2 等效变换规则（1）
①串联 ②并联
G1
G2
G1
G2
+-
③反馈
E
G1
X-
Y
Y=E G1
G2
E=X-G2Y Y=(X-G2Y)G1
Y(1+G1G2)=XG1
Y
G1
X 1+G1G2
G1G2
G1-+G2
G1 1+G1G2
2.5.1.2 等效变换规则（2）
④分支点前移
G1
G2
G3
G1
G2
G2G3
第四节 典型环节的动态特性
2.4.1 比例环节 2.4.2 积分环节 2.4.3 微分环节 2.4.4 惯性环节 2.4.5 振荡环节 2.4.6 迟延环节
2.4.1 比例环节
动态方程: y(t)=K x(t)
传递函数: G(s)=K
方框图: X(t)
K
阶跃响应:
节点-----------表示变量的圆圈 支路-----------两节点间的线段 输入节点-----只有输出支路的节点 输出节点-----只有输入支路的节点 混合节点-----既有输出又有输入支路的节点 通路-----------沿支路形成的路径 开通路--------与任一节点相交不多与一次 闭通路--------起始节点与终止节点为同一节点，且与其
传递函数推导
传递函数推导
传递函数是控制系统分析和设计中的重要概念，它可以描述系统输入与输出之间的关系。
在实际应用中，我们需要推导传递函数来分析系统的性能和稳定性。
传递函数推导的基本方法是根据系统输入和输出的数学表达式，利用拉普拉斯变换将其转化为复平面上的函数形式，然后将输入变量与输出变量的函数进行比较，从而推导出传递函数。
具体来说，传递函数推导的步骤如下：
1. 确定控制系统的输入输出关系，即建立数学模型。
2. 将输入和输出信号对应的数学表达式进行拉普拉斯变换，得到复平面上的函数形式。
3. 将输入变量与输出变量的函数形式进行比较，确定传递函数的表达式。
4. 对传递函数进行分析，得到系统的稳态误差、阶跃响应、频率响应等性能指标。
需要注意的是，传递函数的推导过程需要掌握一定的数学知识，如拉普拉斯变换、分式分解等。
此外，还需要具备系统分析与设计的基本理论和方法，如控制系统的稳定性分析、根轨迹法等。
在实际应用中，传递函数推导是控制系统设计中必不可少的一部分，它可以帮助我们分析系统的性能和稳定性，指导系统的优化和改进。
因此，掌握传递函数推导方法对于控制工程师来说非常重要。
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传递函数怎么求 例题
传递函数怎么求例题传递函数（Transfer Function）是控制理论中一个非常重要的概念，通过这个概念我们可以建立控制系统的数学模型，从而对系统进行分析、设计和优化。
那么，传递函数怎么求呢？下面我们就来一步步地讲解。
第一步：建立系统模型对于一个控制系统，首先需要建立它的数学模型。
在建立数学模型时，我们需要确定系统的输入和输出，以及系统组成的各个部分。
通常情况下，可以使用方程、框图等形式来表示系统。
第二步：提取系统的传递函数在建立系统模型之后，我们需要找到它的传递函数。
传递函数指的是系统的输出与输入之间的关系，通常使用频域法或者拉普拉斯变换来求得。
如果采用频域法求传递函数，可以通过系统的频率响应曲线来求解。
根据频率响应曲线的公式，我们可以得到系统的增益和相位，从而求得传递函数。
如果采用拉普拉斯变换来求传递函数，需要进行以下步骤：1. 对系统模型进行拉普拉斯变换2. 将求得的拉普拉斯变换表达式中的输入变量转化为拉普拉斯变换域中的变量3. 求出输出变量与输入变量之间的比值，即可得到传递函数例如，一个系统模型为：$$y(t) = \frac{1}{sC} \cdot \int_{0}^{t}x(\tau) e^{-\frac{t-\tau}{RC}} d\tau$$将其进行拉普拉斯变换：$$Y(s) = \frac{1}{sC} \cdot \frac{1}{1+RCs} \cdot X(s)$$再将其化简，可以得到传递函数：$$\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+RCs}$$第三步：对传递函数进行分析得到传递函数后，我们可以对它进行分析。
通过分析传递函数，可以得到系统的特性，比如阶数、稳定性、极点、零点、频率响应等。
通过这些特性，可以对系统进行优化，实现良好的控制效果。
通过以上步骤，我们就可以求得一个系统的传递函数了。
需要注意的是，在实际应用中，传递函数通常是被作为一个重要的参数使用，帮助我们建立系统模型、进行系统设计优化等。
自动控制原理第四次课—传递函数及结构图简化
典型传递函数
二阶系统
二阶系统的传递函数为G(s) = K / (Ts + 1)(Td + 1)，其中K为系统增益，T为系统时间常数，d为阻尼比。
高阶系统
高阶系统的传递函数为G(s) = N(s) / D(s)，其中N(s)和D(s)是多项式函数，通过求解高阶微分方程得到。
结构图
02
结构图是指用方框和箭头来表示系统或控制器动态行为的一种图形表示方法。
结构图的简化
结构图的应用
系统分析
通过结构图可以方便地对系统进行分析，例如系统的稳定性和响应时间等。
控制系统
03
控制系统是一种通过反馈机制实现特定输出与特定输入之间关系的系统。
它由传感器、控制器、执行器、被控对象等组成，通过信息交换实现系统的控制。
控制系统的定义
控制系统的分类
闭环控制系统
具有反馈环节，将输出信号反馈到输入端进行比较，调整控制信号，提高控制精度和稳定性。
系统达到稳定状态后的误差大小，即实际输出与期望输出的差距。
01
03
02
分析方法
04
频率分析法的基本思想
频率分析法的优点
频率分析法的局限性
频率分析法
根轨迹法
根轨迹法的基本思想
将控制系统传递函数表示成根的形式，然后根据根的分布情况进行分析。
根轨迹法的优点
可以直观地反映系统的性能指标，如稳定性、响应速度、超调量等。
根轨迹法的局限性
对于高阶系统进行分析时比较复杂，需要绘制多个根轨迹图。
01
02
03
极点配置法的基本思想
通过选择控制器的参数，使得系统的极点配置在期望的位置上，从而达到预期的系统性能。
要领悟世界上最常用传递函数详解
例
如图所示弹簧-阻尼系统。
Xi(t)
kx i (t ) x 0 (t ) D
dx0 (t ) dt
Xo(t)
kX i (s) X o (s) DsXo (s)
D s 1X o (s) X i (s) k
X (s) 1 G (s) 0 X i (s) D s 1 k
其中
n
1 ； LC
R 2
C 。 L
（6）延时环节
输入xi (t )与输出xo (t )之间的关系 xo (t ) xi (t ) X o ( s ) e - s X i ( s ) X o ( s) G ( s) e - s X i ( s)
特点：延时环节也是线性环节，有输入信号后，在τ时间内没有任何输出， 到τ时间后，不失真地反映输入。 延时常作为一个特性，与其他环节共同存在，而不单独存在。
例 如图所示无源滤波电路，
1 u ( t ) i ( t ) R i( t )dt i C u ( t ) 1 i( t )dt 0 C
k
m
c
略去质量的阻尼—弹簧系统
Ui(t)
R
i(t)
Uo(t) C
已知
拉氏变换后得 消去I(s)，得
1 U ( s ) I ( s ) R I(s) i Cs U (s) 1 I(s) 0 Cs
数学模型 o (t ) ui (t ) RCu
uo(t)
RCsUo (s) U i (s)
U o ( s) 1 K G( s) U i ( s) RCs s
5
二阶振荡环节
G (s)
如何求传递函数
如何求传递函数传递函数是描述信号在系统中传递过程的数学函数，也称为系统函数。
在信号与系统领域中，传递函数是一个重要的概念，用于描述线性时不变系统对输入信号的响应过程。
求传递函数的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
1. 基于系统的微分方程求解传递函数对于线性时不变系统，可以通过求解系统的微分方程来得到传递函数。
首先，根据系统的输入输出关系建立微分方程，然后进行变换和求解，最终得到传递函数。
例如，对于一个二阶系统，可以根据系统的微分方程和初始条件，通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，然后解代数方程得到传递函数。
2. 基于频域分析法求解传递函数频域分析法是一种常用的分析系统性能的方法，可以通过输入输出信号的频谱特性来求解传递函数。
通过对系统的输入信号进行傅里叶变换得到输入信号的频谱，再通过对输出信号进行傅里叶变换得到输出信号的频谱，最后将输出信号的频谱除以输入信号的频谱，即可得到传递函数。
3. 基于脉冲响应求解传递函数脉冲响应是指系统对单位脉冲信号的响应过程，通过脉冲响应可以求解传递函数。
首先，将系统对单位脉冲信号的响应过程测量或模拟得到脉冲响应函数，然后对脉冲响应函数进行拉普拉斯变换，即可得到传递函数。
4. 基于频率响应求解传递函数频率响应是指系统对不同频率输入信号的响应特性，通过频率响应可以求解传递函数。
可以通过输入不同频率的正弦信号或其他频率特性已知的信号，测量或模拟得到系统的频率响应曲线，然后对频率响应曲线进行数学处理，即可得到传递函数。
总结起来，求解传递函数的方法主要有基于系统的微分方程、频域分析法、脉冲响应和频率响应等方法。
不同的方法适用于不同的系统和信号特性。
在实际应用中，根据系统的性质和所需的分析结果选择合适的方法进行求解。
通过求解传递函数，可以深入理解系统的特性和性能，对信号在系统中的传递过程有更加全面的认识。
同时，传递函数的求解也为系统的分析、设计和控制提供了重要的数学工具。
拉普拉斯变换求传递函数
拉普拉斯变换求传递函数
拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，可以用来求解微分方程以及控制系统的传递函数。
传递函数是描述控制系统性能的一个重要指标，可以用来评估系统的稳定性、动态响应和稳态误差等性能指标。
在控制系统设计中，通常需要根据系统的特点求出传递函数，然后利用传递函数进行系统分析和设计。
本文将介绍如何利用拉普拉斯变换求解控制系统的传递函数，以及如何利用传递函数进行系统分析和设计。
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第四章传递函数
第四章传递函数 第一节传递函数一、定义：系统初始状态为零，系统输出与输入的拉氏变换之比。
)()()]([)]([)()()()(s R s Y t r L t y L s G s G t y t r ==，则为，系统传递函数、系统输入、输出分别为二、求法：1、由微分方程求取。
若系统的微分方程为)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(t x b t x b t xb t x b t y a t y a t ya t y a m m m m n n n n +'+++=+'+++----对微分方程的两端求拉氏变换11101110111011101110111)()()()()()()()()()()()()()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s G s X b s b s b s b s Y a s a sa s a s Xb s sX b s X s b s X s b s Y a s sY a s Y s a s Y s a n n n n m m mm m m m m n n nn m m mm n n n n +++++++==+++=++++++++=++++------------例1：系统微分方程为)()()()(22t f t kx dt t dx c dt t x d m =++，求系统的传递函数。
解：由给定的微分方程，kcs m s s F s X s G s F s X k cs m s s F s kX s csX s X m s t f t kx dtt dx c dt t x d m ++===++=++=++222221)()()()()()()()()()()()()()(例2：求R-C 电路的传递函数。
解：11)()()()1()()()(00000+==+=+=+Rcs s G s U s U Rcs s U s U s RcsU u u dtdu Rc i i i三、性质 1、系统的传递函数取决于系统的本身，与系统的输入、输出及其它外界因素无关。
传递函数的求取
传递函数的求取一、实验内容及目的本次实验要求如下：用足够多的方法求得以下电路系统的传递函数。
当在Ui上加入一个1V的输入电压时仿真出系统的输出曲线其中Ui是输入，Uo是输出。
本次实验共用了4种方法求得传递函数，分别是利用微分方程求解、利用阻抗法求解、利用方框图化简求解、利用流图与梅森公式求解。
之后用了两种方法求得输出曲线，分别是matlab程序仿真和一、1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 利用拉布拉斯变换将其转化为频域下的方程：------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解得：，即为传递函数。
2、利用阻抗法求传递函数在频域下将电容C1、C2用阻值为、的电阻来替换，此时得到的传递函数不发生变化，等效为电阻R4上的电压。
可以直接计算或利用戴维南、诺顿定理来求解。
如利用戴维南定理求U0：（1）将R4断开，求开路电压Uoc （如左图1）（2）求输入电阻（如左图2）：R=将R 、Uoc 代入，解得：即为传递函数。
3、利用方框图化简求传递函数利用方框图化简的各项原则最终将流程图化简如下 可得到最终的传递函数。
4、利用流图与梅森公式求解传递函数即得传递函数为二、 输出曲线仿真1、利用matlab 程序仿真取R1=1，R2=2，C1=3，C2=4 程序如下：图错误！未指定顺序。
自动控制原理 传递函数计算
G4
R
G1
G2
G3
C
H2 H1
P2 = G1G4
2 = 1
前向通路数：n = 2
求解步骤之三：求总传递函数
C
R
=
1
G1G2G3
G1G2G3 G1G4 G1G2 H1 G2G3 H2
G1G4
G4 H2
例3：对例2做简单的修改
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
①求反馈回路1
G4
R
C
G1
G2
G3
H2 H1
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
求解步骤之一（例1）
• 找出前向通路数n
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
C(s) G6
求解步骤之一（例1）
R(s) G1
-
H4
-
G2
-
G3
G4
-
G5
H2
H3
H1
• 前向通路数：n＝1
P1 = G1G2G3G4G5G6
G(s) = s 1
式中： ，T 为时间常数。
⑥二阶振荡环节，传递函数为
G(s)
=
T
2s2
1
2
Ts
1
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。
⑦二阶微分环节，传递函数为
G(s) = 2s2 2 s 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数
传递函数求法
y(t) K x(t)dt
2）传递函数
G(s) X C (s) K X r (s) s
x(t) R
-+
y(t)
+
3) 输入输出变化曲线
4）结构图
Ur C
U R (s)
K
c (s)
s
0
t
4、微分环节
1）数学表达式
y(t)
K
dx(t) dt
＋x(t）
Xr (s)
1i sC R
=
K
(T1S (T1S
1)(T2 S 1)(T2S
1)(Tm S 1)(Tm S
1) 1)
=
K
(T1S (T1S
1)(T2 S 1)(T2S
1)(Tm S 1)(Tm S
1) 1)
二、 传递函数的性质
1 .线性定常系统或元件的微分方程与传递函数一一对 应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。
－自然振荡角频率
R RC LC R LC －振荡环节阻尼比
2n L
2L
2
i Xc
输入量单位阶跃响应时，则 对上式拉氏反变换，求输出响应得
X C (s)
s2
n2 2ns
n2
xc (t) 1 e2 nt
1 2nt 1 2
tan1
b0sm b1sm1 bm1s bm a0sn a1sn1 an1s an
G(s)
传递函数的两种表达形式：
1)
G(s)
Xc (s) Xr (s)
b0sm b1sm1 bm1s bm a0sn a1sn1 an1s an
用梅逊公式求传递函数
图中没有三个互不接触回路，故
可得特征式
∑LiLjLK=0
1 Li Li Lj 1 (L1 L2 L3 L4 ) L2L3
1 G1G2G3G4G5G6H1 G2G3H2 G4G5H3 G3G4H4 G2G3G4G5H2 H3
3
图中只有一条前向通路，且该前向通路与四个回路均接触，所以
在下图(a)所示系统中，为求取n(t)作用下系统的闭环传递函数，可令 r(t)=0，此时图(a)可简化为图(b)。
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
Φn(s)为扰动信号n(t)作用下系统的闭环传递函数。此时，系统输出的 拉氏变换式为
C
(s)
用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
梅逊公式一般形式为
n
Pk k
(s) k1
式中 (s)为待求的总传递函数。
称为特征式，且
其中
1 Li Li L j Li L j Lk Li ——所有不同回路传递函数之和。 Li L j ——所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 Li L j Lk ——所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
C(s) R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H (s)
Φr(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的 拉氏变换式为 NhomakorabeaC
(s)
r
(s)R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
传递函数的求取
一、实验内容及目的本次实验要求如下：○1用足够多的方法求得以下电路系统的传递函数。
○2当在Ui上加入一个1V的输入电压时仿真出系统的输出曲线其中Ui是输入，Uo是输出。
本次实验共用了4种方法求得传递函数，分别是利用微分方程求解、利用阻抗法求解、利用方框图化简求解、利用流图与梅森公式求解。
之后用了两种方法求得输出曲线，分别是matlab程序仿真和simulink图形仿真。
实验目的是通过实践分析不同求传递函数方法的需求条件，加深对各种工具的熟练程度。
一、实验方案及内容1、利用微分方程直接求传递函数根据电路理论可列得下列等式：-----------------------------------------○1-----------------------------------------○2-----------------------------------------○3-----------------------------------------○4-----------------------------------------○5利用拉布拉斯变换将其转化为频域下的方程：------------------------------------------○6------------------------------------------○7------------------------------------------○8------------------------------------------○9------------------------------------------○10解得：，即为传递函数。
2、利用阻抗法求传递函数在频域下将电容C1、C2用阻值为、的电阻来替换，此时得到的传递函数不发生变化，等效为电阻R4上的电压。
可以直接计算或利用戴维南、诺顿定理来求解。
传递函数讲义
(T1 S 1)(T2 S 1) (Tm S 1) S 1) (T1S 1)(T2S 1) (Tm
二、 传递函数的性质
1 .线性定常系统或元件的微分方程与传递函数一一对 应，它们是在不同域对同一系统或元件的描述。 2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自身的固有特 性，它与其输入信号的形式无关 ，但和输入信号的 作用位置及输出信号的取出位置有关。 3.传递函数是复变量s的有理分式，且分子、分母多
P 1 , P2 , P 3 Pn 和
5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
例：传递函数求法
输入量Xr=u 列回路电压方程： ，输出量Xc=i。
r
U
i
di u Ri L dt
即 Xr(s)=RXc(s)+LsXc(s) 经整理得：
L
Xc( s) G ( s) Xr( s)
其中 Tl=
X c 为系统输出量， 为系统输入量。 Xr
在初始情况为零时，两端取拉氏变换：
a0 s n xc (s) a1s n1 xc (s) an xc (s) b0 s m xr (s) bm xr (s)
X c (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) n n 1 X r (s) a0 s a1s an1s an
传递函数的两种表达形式：
1)
X c (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X r (s) a0 s n a1s n1 an1s an ( S Z1 )(S Z 2 ) ( S Z m ) K = g (S P 1 )(S P 2 ) ( S P n) m (S Z i ) i 1 = Kg n j 1 ( S Pj )
求系统的传递函数的方法
求系统的传递函数的方法在控制系统中，传递函数是描述输入信号和输出信号之间关系的数学模型。
它是系统的重要属性，能够帮助我们分析系统的稳定性、动态响应和频率特性等。
求系统的传递函数的方法有多种，取决于系统的性质和所采用的建模方法。
以下是一些常见的方法：1. 物理建模法：对于具有明确物理意义和参数的系统，可以通过建立系统的物理方程来求解传递函数。
例如，对于机械系统可以通过牛顿力学方程，对于电路系统可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律等来建立方程并求解传递函数。
2. 线性化法：对于非线性系统，可以通过在某一工作点处进行线性化来近似系统的动态行为。
线性化可以将非线性系统转化为线性系统，并利用线性系统的数学工具来求解传递函数。
线性化方法通常包括泰勒级数展开和小信号假设等。
3. 系统辨识法：对于未知系统或无法准确建立物理方程的系统，可以通过实验数据来识别系统的传递函数。
系统辨识方法可以分为基于时域数据的辨识和基于频域数据的辨识。
常用的系统辨识方法包括最小二乘法、极大似然法和频域辨识法等。
4. 转移函数法：对于线性时不变系统，可以通过拉普拉斯变换将系统的微分方程转化为复频域的代数方程。
然后通过对代数方程进行处理，可以得到系统的传递函数。
转移函数法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
5. 状态空间法：对于具有多个输入和输出的系统，可以使用状态空间描述来求解传递函数。
状态空间法是一种基于系统的状态变量和状态方程的建模方法，通过矩阵运算可以得到系统的传递函数。
状态空间法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
无论采用哪种方法，求解系统的传递函数都需要系统的特性和参数的输入。
因此，在实际应用中，需要通过实验数据、物理模型或者系统辨识等方式来获取系统的特性和参数。
传递函数的求解对于系统分析、控制器设计和系统优化等方面都具有重要意义，是控制工程中的基础内容。
自动控制原理中一种求解传递函数的简单方法
ｌ ４ 一Ｇ 。 Ｇ ４
１ ５ ＝ 一 Ｇ ４ Ｈ ２
因 为 各 回路 都 互相 接 触 ． 所 以 特征 式 为：
Ａ ＝Ｉ ＋ Ｇｌ Ｇ２ Ｈｌ ＋ Ｇ２ Ｇ３ Ｈ２ ＋ ＧＩ Ｇ ２ Ｇ３ ＋ Ｇｌ Ｇ ４ ＋ Ｇ２ Ｇ４
例ｌ ： 如 图所 示 的 系统 结 构 图 ， 求 系统 的 总 传 递 函 数 。
１ ． 弓 Ｉ 言
回 路有 ４ 个
自动控 制 作 为技 术 改 造 和技 术 发展 的重 要 手 段 ， 在工业 、 农业 、 国防等很多领域都起着重要作用 ， 尤其 是航 天 制 导 核 能 方 面． 自动 控 制 更是 必不 可少 。自动控 制 原 理 基 础 是 电 气 工 程 及 自动 化 类 专 业 及 相 关 专 业 的 一 门 必修 课 程 。
这 与 用 结 构 图 的 等 效 变换 得 到 的结 果 是 一 致 的 。
５ ． 结 语
本 文 介 绍 了 一 种 求 解 传 递 函数 的简 单 方 法 ， 即利 用 梅 森 公 式 。通 过 两 个 例 子 具 体 地 说 明 了利 用 梅 森 公 式 求 解 传递 函 数的过程。
因 为 各 回 路都 互相 接 触 。 所 以 特 征式 为：
Ａ＝Ｉ ＋ Ｇｌ Ｇ２ Ｇ ３ Ｈ２ 十 Ｇ２ Ｇ３ Ｈ３ ＋ Ｇ ３ Ｇ４ Ｈ４ 一 Ｇｌ Ｇ２ Ｇ３ Ｇ ４ Ｈｌ
用 梅 森公 式 可求 得 传 递 函数 ：
， 、
Ｇ Ｇ ２ Ｇ Ｇ ４
Ｉ ＋ ＧＩ Ｇ２ Ｇ３ Ｈ２ ＋ Ｇ２ Ｇ３ Ｈ３ ＋ Ｇ３ Ｇ Ｈ４ 一 Ｇｌ Ｇ２ Ｇ３ Ｇ４ Ｈ
３ ． 系 统 的数 学 模 型 对 系 统 的分 析 和 研 究 都 依 赖 于 合 理 的 数 学 模 型 ，数 学 模 型 既 能 准 确 地 反 映 系 统 的 动 态 本 质 ，又 能 简 化 分 析 计 算 的 工 作 。 常 用 的 数 学 模 型 有 三种 ： 微 分方程 、 传 递函数 、 动 态 结 构
传递函数及方块图
反馈系统如图所 示，我们先熟悉几个
X o s 概念。
前向通路：输入 到输 出的一条线。
Xi s G s Xo s
反馈通路:输出到比较 点的曲线。
反馈回路 ：由前向通路和反馈通路 组成，终点与起点重合，是封闭的曲线。
X i s ×Es G1 s
± Bs Hs
X o s
Xi s+ E sG1
G7 s
X i s
G1 sG2 sG3 sG4 s
X o s
1G2 sG3 sG5 s G3 sG4 sG6 s G1 sG2 sG3 sG4 sG7 s
G
s
1
G2
s
G3
s
G5
s
G1 sG2 sG3 sG4 G3 sG4 sG6 s G1
s s
G2
s
G3
s
G4
s
G7
s
例：求下图所示系统的传递函数。
H3(s)
Xo(s)
5、消去H3(s) 反馈回路
Xi(s)
G1(s)G2 (s)G3 (s)
Xo(s)
1 G1(s)G2 (s)H1(s) G2 (s)G3 (s)H2 (s) G1(s)G2 (s)G3 (s)H3 (s)
G(s)
G1(s)G2 (s)G3(s)
1 G1(s)G2 (s)H1(s) G2 (s)G3(s)H2 (s) G1(s)G2 (s)G3(s)H3(s)
法一
G5 s
X i s ×
-
G1 s
×- G2 s × G3 s G4 s X o s
-
1
2
G6 s
步骤1） 比较点2 前移 G7 s
传递函数的求取方法
解析法： 解析法： 1. 按因果关系写出各元件的微分方程 ;; 1. 按因果关系写出各元件的微分方程 2. 将各微分方程进行拉氏变换 ,变成代数方程 ;; 2. 将各微分方程进行拉氏变换 ,变成代数方程 3. 消去中间变量 ,得输出输入关系式。 3. 消去中间变量 ,得输出输入关系式。 图解法 图解法 1.2. 步骤同解析法 ;; 1.2. 步骤同解析法 3. 按因果关系绘出各代数方程的函数方块图 ;; 3. 按因果关系绘出各代数方程的函数方块图 4. 按信号关系连接各函数方块图得系统方块图 ;; 4. 按信号关系连接各函数方块图得系统方块图 5. 用等效变换法则 ,简化方块图得系统传递函数。 5. 用等效变换法则 ,简化方块图得系统传递函数。
J
d (t ) m(t ) ml (t ) dt 2
m(t ) Cmi (t )
d (t ) dt
E ( s ) C e s ( s )
M ( s ) Cm I ( s ) Js 2 ( s ) M ( s ) M l ( s )
③拉氏变换④消去中间变量可求得分别 以电枢电压、电机轴上负载转矩为输入， 而以电机转角为输出的两个传递函数：
R CeCm
：电枢电压作用系数，rad/（V.s） ：负载转矩作用系数，rad/(N.m.s)
Ke
1 Ce
I1 ( s ) R1 I 2 ( s ) R2
1 1 [ I1 ( s ) I 2 ( s )] U 1 ( s ) C1 s 1 1 1 1 I 2 (s) [ I1 ( s ) I 2 ( s )] C2 s C1 s
五、传递函数
Uo ( s) 1 G( s) U i ( s ) LCs 2 RCs 1
3
几点结论
传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。
10
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
X o ( s) K G( s) X i ( s ) Ts 1
式中，K—环节增益（放大系数）； T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点； 影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性 N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点； 决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性
传递函数为：
G( s)
式中，T—积分环节的时间常数。
15
积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0 时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。
关于求解复杂传递函数的方法讨论及原则归纳
• 79•传递函数作为一种重要的复数域数学模型，在各项领域都应用广泛，在很多实际的问题中，系统越复杂，其传递函数就越难求解。
本文汇总了若干求解此类复杂传递函数的方法，并列出其中的注意事项。
前言：为了分析动态系统的性能往往需要建立系统的微分方程，求解系统的传递函数,为系统的响应及性能分析提供必要的依据。
传统传递函数的求解有以下三种方法：一是通过分析系统建立系统的微分方程取拉氏变换求得;二是利用系统方块图或信号流图进行等效的逐步化简求得;三是利用梅逊公式求得。
除此之外，还有“环路法”本文将具体介绍。
一、等效变换法在非典型电路系统结构中，需要把整个系统的系统结构图绘制出来进行分析求解其传递函数，传统的等效变换化简方法有如下四种：分支点后移与前移，相加点后移与前移，相加点互换，反馈单元化。
需要注意的是，这种传统的等效方框仅给出了等效结构，并未对其适用情况与优先级加以阐述，盲目使用可能会产生新的极点与零点，使原先系统结构更加复杂难以读懂。
本文归纳出等效变换的前提与原则，能有效地避免上述情况，具体如下：（1）确定一条前向主通道，且在等效变换过程中使反馈回路尽可能少；（2）等效变换时遵循同类型点(相加点，引出点)靠近的原则；（3）避免交换2个相邻的且不同性质的点（相加点与引出点）；（4）最终应将系统的结构图变换为若干组串联组合而成的多回环结构。
需要注意的是，等效变换有很多情况无法求解，例如图1所示：图1这是上述原则3的情况，图1中，两引出点直接存在综合点且不能合并，两综合点直接也存在引出点，也不能合并，在此类不同类型点交叉相扣的情况下，等效变换显地十分无力，求解此类复杂结构需用梅逊公式。
二、梅逊公式当仅要求求出系统传递函数，对中间变量不作具体要求时，更多采用梅逊公式求解复杂系统的传递函数。
本文归纳出两个原则，一个方法：原则1：将系统结构图化成信号流图后首先确定系统前向通道的条数；原则2：确定系统的反馈回路，此环节应将反馈回路与双前向通道区分，由此可以很快确定梅逊公式分子上具体的项数。
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1.7.2
传递函数阵的求法：
1.由微分方程的拉氏变式求传递矩阵. 例：机械位移系统 设系统原处于静止状态。 输入：F1, F2 输出：y1, y2 求传递矩阵。 解：写微分方程
d 2 y1 d ( y1 y2 ) m1 2 f k1 y1 F1 dt dt d 2 y2 d ( y2 y1 ) m2 f k2 y2 F2 2 dt dt
1
G11 C adj ( sI A) B D sI A G ( s) n n 1 s a1 s an Gm1
G1r Gmr
可见 sI A 是G(s)中每一项的分母多项式，正是系统 的特征多项式，故A的特征值就是 G(s)的极点。
m1 s fs k1 G ( s) fs
2
fs m2 s 2 fs k2
1
8
2.由系统结构图求传递函数阵： 1) 求出每个输出与各个输入的传递函数 2) 将结构图整理成从各个输入向各个输出前向传 递形式. 3) 按图中输入—输出关系写传递矩阵.
Y2 ( s) G21 ( s)U1 ( s) G22 ( s)U2 ( s)
Gij表示第i个输出与第j个输入之间的传函。 表示成矩阵形式：
Y1 ( s) G11 ( s) G12 ( s) U1 ( s) Y ( s) G ( s) G ( s) U ( s) 2 21 22 2
17
G1 u x ( t) =
y1
y
x1(t)
x2(t) x1(t)
G2
0 B1
y2
x 1( t ) x 2( t )
=
A1
0
A2
x 1( t ) x 2( t )
x2(t)
+
B2
u
y(t) = [C1 C2 ]
18
3. 具有输出反馈的闭环系统 u e G H Y(s) = G(s) E(s) E(s) = U(s) H(s)Y(s) [1 + G(s)H(s)]Y(s) = G(s) U(s) y
13
1.7.4 传递矩阵的性质：
定理：状态变换不改变系统的传递矩阵。 证明：设原系统的传递矩阵为： G(s) = C( sI A ) 1B + D ~ ~ ~ ~ 1 1 取线性变换P： A P AP, B P B, C CP, D D ~ ~ ~ 1 ~ ~ G ( s) C sI A B D
7
2 m s 1 fs k1 Y1 ( s) fsY2 ( s) F1 ( s) 2 m s 1 fs k2 Y2 ( s) fsY1 ( s) F2 ( s)
m1s 2 fs1 k1 Y1 ( s) F1 ( s) fs 2 Y ( s ) F ( s ) fs m2 s fs1 k2 2 2
例： U1
U2 G1 G2 Y
9
U2 U1 G1 G2 Y
Y G1G2 G11 U1 1 G1G2
Y ( s ) G11 U1 G12 U 2
Y G2 G12 U 2 1 G1G2
G(s) G11 G12
10
1.7.3
由状态空间表达式求传递函数阵 Ax Bu x y Cx Du
2
对于双输入—双输出系统(见下图)。按输入的 叠加性，将输出分别用两个方程表示出。如： u1(s),u2(s)为输入，y1(s),y2(s)为输出。
u1
G11 (s)
G21 (s)
y1
G12 (s)
u2
G22 (s)
y2
3
Y1 (s) G11 (s)U1 (s) G12 (s)U 2 (s)
Y ( s ) G( s ) U ( s )
21 22 21
传递函数阵或称传递矩阵
4
对于多输入、多输出线性定常系统，也可把传 递函数阵的概念如上推广。 设系统有r个输入变量，m个输出变量。 则传递矩阵的形式为：
G11 ( s ) G ( s) Gm1 ( s )
G1r ( s ) Gmr ( s ) mr
5
若传递矩阵是方阵(m=r),通过适当线形变换化为 对角形，称为传递矩阵的解耦形式。
G11 ( s ) G22 ( s ) G ( s) 0 Gmm ( s) 0
可见，所谓解耦，即表示系统的第i个输出只与第 i个输入有关。与其它输入无关，实现了分离性控制。
x2(t) x 1 ( t)
x 2( t)
x2(t)
=
B2C1 A2 C2 ] x1(t) x2(t)
+
B1 0
u1
y(t) = [ 0
16
2. 子系统并联
u
G1
y1
y
G2 Y1(s) = G1(s) U(s)
Y2(s) = G2(s) U(s)
y2
Y(s) = Y1(s) + Y2(s) = [ G1(s) + G2(s) ] U(s) G(s) = G1(s) + G2(s)（矩阵维数一致）
现代控制理论基础
1
1.7 多变量系统的传递函数阵 1.7.1 传递函数阵的概念 在经典理论中，我们常用传递函数来表示单输 入单输出线性定常系统输入—输出间的传递特性。 其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比。 即
G( s) Y ( s) , U (s)
或
Y (s) G(s)U (s)
CP P sP P AP
1
CP P
1
1
sI AP
1
1
P 1B D
1
P 1B D
CP P 1 ( sI A)1 P P 1B D
C sI A B D G(s)
14
1.7.5 子系统串并联与闭环传递函数矩阵 1. 子系统串联 y1 = u2 G1 G2 y2
12
例：已知标量系统： 1 5 1 x1 2 x u x 2 3 1 x2 5 x1 y 1 2 x2 求传递函数。 1 1 2 s 5 1 解： G ( s ) C sI A B 1 2 5 3 s 1 s 1 1 3 2 s 5 12s 59 1 2 2 s 6 s 8 5 ( s 2)(s 4)
sX ( s) AX ( s) BU ( s) Y ( s) CX ( s) DU ( s)
X (s) sI A BU ( s)
1
Y (s) CsI A B D U (s)
1
G( s) CsI A B D
1
11
adj( sI A) adj( sI A) [ sI A] n det(sI A) s a1s n1 an
(s) = [1 + G(s)H(s)] 1 G(s)
19
结 束
20
u1
Y1(s) = G1(s) U1(s)
Y2(s) = G2(s) U2(s) = G2(s) G1(s) U1(s) G(s) = G2(s) G1(s)（注意矩阵次序）
15
u1
y1 = u2 G1 x1(t) G2
y2 2 = [ A2 , B2 , C2 ]
1 = [ A1 , B1 , C1] x ( t) = x1(t) A1 0