施密特正交化
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施密特正交化
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
施密特正交化
在中,如果上的一组向量能够张成一个,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个,并可进一步求出对应的。
这种正交化方法以和命名,然而比他们更早的(Laplace)和(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为()。
在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。
记法
:为n的内积空间
:中的元素,可以是向量、,等等
:与的
:、……张成的
:在上的
基本思想
图1v在V2上投影,构造V3上的正交基β
Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。V k是V n上的k维子空间,其标准正交基为,且v
不在V k上。由投影原理知,v与其在V k上的投影之差
是正交于子空间V k的,亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化,即
那么{η
1,...,η
k+1
}就是V k在v上扩展的子空间span{v,η
1
,...,η
k
}的标准正
交基。
根据上述分析,对于向量组{v
1,...,v
m
}张成的空间V n,只要从其中一个向量
(不妨设为v
1)所张成的一维子空间span{v
1
}开始(注意到{v
1
}就是span{v
1
}
的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定扩展正交基的顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下:
这样就得到上的一组正交基,以及相应的标准正交基。
例
考察如下R n中向量的,欧氏空间上内积的定义为=b T a:
下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:
下面验证向量β1与β2的正交性:
将这些向量单位化:
于是{η1,η2}就是span{v1,v2}的一组标准正交基。
不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如,在实向量空间上,内积定义为:
在复向量空间上,内积定义为:
之间的内积则定义为:
与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。