施密特正交化

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

施密特正交化

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

施密特正交化

在中,如果上的一组向量能够张成一个,那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram-Schmidt正交化提供了一种方法,能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个,并可进一步求出对应的。

这种正交化方法以和命名,然而比他们更早的(Laplace)和(Cauchy)已经发现了这一方法。在李群分解中,这种方法被推广为()。

在数值计算中,Gram-Schmidt正交化是的,计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。

记法

:为n的内积空间

:中的元素,可以是向量、,等等

:与的

:、……张成的

:在上的

基本思想

图1v在V2上投影,构造V3上的正交基β

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。V k是V n上的k维子空间,其标准正交基为,且v

不在V k上。由投影原理知,v与其在V k上的投影之差

是正交于子空间V k的,亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化,即

那么{η

1,...,η

k+1

}就是V k在v上扩展的子空间span{v,η

1

,...,η

k

}的标准正

交基。

根据上述分析,对于向量组{v

1,...,v

m

}张成的空间V n,只要从其中一个向量

(不妨设为v

1)所张成的一维子空间span{v

1

}开始(注意到{v

1

}就是span{v

1

}

的正交基),重复上述扩展构造正交基的过程,就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

算法

首先需要确定扩展正交基的顺序,不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下:

这样就得到上的一组正交基,以及相应的标准正交基。

考察如下R n中向量的,欧氏空间上内积的定义为=b T a:

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一组正交向量:

下面验证向量β1与β2的正交性:

将这些向量单位化:

于是{η1,η2}就是span{v1,v2}的一组标准正交基。

不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如,在实向量空间上,内积定义为:

在复向量空间上,内积定义为:

之间的内积则定义为:

与之对应,相应的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

相关文档
最新文档