例析解析几何图形中的隐含条件

曲线的左、右支各一点. 可见, 这里 kAB = - 1
是本题的隐含条件.
3 隐含在图形的对称性上
例 5 直线 y = 2x + m 和圆 x 2 + y 2
= 1交于点 A , B, 以 x 轴的 正方向 为始 边,
OA 为终边( O 点为坐
标原 点 ) 的 角 为 ∀,
OB 为终边的角为 #.
那么 sin( ∀+ #) 是
知道 x A # x B > 0, 这与点 A , B 分别在左、右
支, 即 x A # x B < 0, 矛盾, 于是实数 m 的取值 不存在.
评析: 事实上, 本题双曲线的渐近线斜
率为 )
3 4
,
而对称轴的 斜率为
1,
于是直线
A B 的斜率为 - 1, 由图 3 可知, 直线 A B 只能
交于双曲线的左支或右支, 而不可能交于双
到底隐含在哪里?含在何方?如何去利用它来
解题?本文通过实例来进行分析和探讨.
1 隐含在离心率上
离心率是二次曲线的根本属性, 是二次
曲线种类间相互区别的特征指数, 倘若在解
题中能发现并利用好离心率这一隐含条件,
那顺利完成解题过程是很自然的.
例 1 动点 A , B 在直线 x = 3 上移动,
且 AOB = 60 , 求 !A OB 的外心的轨迹方
程.
解 设 P( x, y) 为
!A OB 的外心, C 为A B 的
中点, 则 PC ∀ A B . 因为
A OB = 60 , 所 以
APB =
1 20
,
故
| |
PO | PC |
=
| |
PA PC
| |
=
1 co s60
=
2,
即点 P 的轨迹是以O 为焦点, A B 为准线的双
曲线 的 一 部 分. 所 以 所 求 轨 迹 方 程 为
2006 年第 14, 16 期
数学通讯
13
例析解析几何图形中的隐含条件
陈尧明
( 上虞春晖中学, 浙江 312353)
数学是以现实世界的数量关系和空间
形式为研究对象, 即研究数、形以及两者之间
关系的一门学科. 解析几何是通过数量关系
的研究来认识图形的关系及性质. 正因为如
此, 使得解析法在具体实施时带来运算上的
助多个变量相互间的转换, 而这方面恰恰是
学生的薄弱点. 但如果能挖掘并使用梅涅劳 斯定理这一隐含条件, 那过程就简洁得多, 自
然成功率就高了. 需要说明的是, 解析几何中
使用定理不但在竞赛中出现, 而且在高考中
也频繁出现, 望同学们引起重视.
( 收稿日期: 2006- 03- 01)
当 EF 平行于 A B 时, 由 1 + 2 = 1 知
| |
PD | CP |
=
1 2
;
当 EF 不平 行于 A B 时, 不妨设 EF 交
A B 于点Q . 那么在 ! A DC 中, 由梅涅劳斯定
理, 得
| |
AE EC
| |
#
| |
CP | PD |
#
| |
DQ QA
| |
=
1,
&
| |
PD CP
方程.
解 过抛物线上的一点 A 作抛物线的 切线, 斜率为 k = 2x = 2, & 切线 AB 的方程
为 y = 2x - 1. 于是点 B, C 的坐标为 B ( 0, -
1) ,
D(
1 2
, 0),
显然, D
是线段A B
中点. 设点
C 的坐标为( m, n) , 点 P 的坐标为 P ( x , y) .
a2 + b2
=
e4 e2 -
e2 2
.
2 隐含在图形自身特征上
例 3 ( 2005 年 全国 高考 征展 题) 设
f ( x ) = ax 2 + bx + c( a > b > c) , f ( 1) = 0,
g( x ) = ax + b. 1) 求证: 函数 y = f ( x ) 与 y = g( x ) 的
一个定点, 弦 BC 与点 A
组成 一 个 直角 三 角 形,
BA C = 90 . 求弦 BC
中点 P 的轨迹方程.
解 设弦 BC 中 点 P (x, y), 因为
BA C = 90 , 所以 | PA | = | PB | = | PC | ; 又因为 | PD | 2 + | PC | 2 = | CD | 2 , 则有( x - d) 2 + ( y - e) 2 + ( x - a) 2 + ( y - b) 2 = d2 + e2 - f , 化简得
点由上至下依次为 A , B( 如图 2) .
1) 当 l 1 与 l 2 夹角为 3 , 双曲线的焦距为
4 时, 求椭圆 C 的方程及离心率;
2)
求||
FA AP
| |
的最大值.
解 ( 由供题者提供) 1) 过程略. 椭圆
C
的方程为x 2 3
+
y2
=
1, 离心率 e =
36 .
2) 由已知 l : y =
14
数学通讯
2006 年第 14, 16 期
大值
2-
1, 即||
FA | AP |
的最大值为
2-
1.
评析: 此题设 A ( x 0 , y0 ) , 虽巧妙回避了
求交点 A , B 的问题, 但运算较复杂, 从实际
情况看, 许多学生走不到这 一步, 得分率甚
低. 这里供题者没有注意到点 P 坐标所提供
x2 +
y2 - (e+
a) x - ( d + b) y +
1 2
(
a2
+
b2 + f ) = 0.
评析 画 出草 图, 就可 揭 露出 条件
| PA | = | PC | , 把 Rt ! A BC 与 Rt !PCD
联系起来, 问题就迎刃而解.
5 隐含在几何定理上
例 7 ( 2005 年全国高 中数学 联赛一
的隐含信息. 由点 P 的坐标可知点 P 在椭圆
的右准线上, 为此, 不妨过点 P 作右准线 l 3,
同时, 过 A
作 AM
∀
l3 ,
那么 | |
FA | AP |
=
| |
FA | AM |
#
| |
AM AP
| |
=
e # sin
=
e # sin
PO F
= e#
b , 两 边 平 方, 就 得 到 2
繁琐. 但如果能够通过图形的直观认识来辅
佐代数演绎, 那可大大简化解题过程, 有时还
可发现简捷明了而富有创新的解题方法. 当
然对这些图形的直观认识不是一目了然的,
它常常隐藏在条件或条件的背后, 即所谓的
隐含条件, 一道解析几何题能否解得正确、快
速、合理, 甚至解法是否有创造性, 往往就在 于能否挖掘与利用好隐含条件. 那隐含条件
| |
#
| |
QA | DQ |
=
1
( 1)
同理在 !DB C 中, 也有
| |
BF | FC |
#
| |
CP PD
| |
#
| |
DQ | QB |
=
1,
&
| |
PD CP
| |
#| |
QB | DQ |
=
2
( 2)
∃ | QA | + | QB | = 2 | DQ | , ( 1) + ( 2) ,
(
x
4
4)
2
-
y2 12
=
1( 左支部分) .
例 2 ( 2005 年湖北黄冈三月模拟题)
已知椭圆 C 的方
程
为
x2 a2
+
y2 b2
=
1( a > b > 0) , 双
曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=
1
的两 条 渐 近线 为
l1 , l2 , 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l , 使 l ∀
l1 , 又 l 与 l 2 交于点 P , 设 l 与椭圆 C 的两个交
2) , 3) 略. 评析: 这虽是一道函数题, 但第一小题 可以归为解几题型. 由于 y = f ( x ) 是过( 0, c) 点开口向上的抛物线, 直线 y = g( x ) 恒过 ( 0, b) 点, 由 b > c 可知, 点( 0, b) 在抛物线 y = f ( x ) 的内部( 这也是题目所隐藏的隐含条 件所在) , 显然, 直线 y = g ( x ) 与抛物线 y =
得| |
PD CP
| |
=
1 2
.
由定比分点坐标公式解得
m
= 3x - 1, n = 3y . 代入抛物线方程, 得 y =
1 3
(
3x
-
1) 2 .
又因为点 C 与点 A 不能 重合, 所以 x
+
2 3
.
& 点 P 的轨迹方程为
y = 1 ( 3x - 1) 2( x + 2 ) .
3
3
评析 本题立意新、要求高, 它需要借
= BOB∗, 这说明此时 ∀+ #的值是一个定
值, 于是将直线定位于 ∀= #的情形, 即直线
2006 年第 14, 16 期
数学通讯
15
与圆相 切的 情形. 不 难得 到 sin( ∀+ #) =
-
4 5
;
当A
在x
轴下方时,
∀+
#的值也是一个
定值, 且比前一种情况大 2 , 故亦有 sin( ∀+
试) 过抛物线 y = x 2
上的 一点 A ( 1, 1) 作
抛物线 的切线, 分 别
交x 轴于D , 交y 轴于
B. 点 C 在抛物线上,
点 E 在线段A C 上, 满
wk.baidu.com
足EA
E C
=
1; 点 F 在线
段 BC
上,
满足BF FC
=
2 , 且 1 + 2 = 1, 线段 CD 与 EF 交于点 P , 当点 C 在抛物 线上移动 时, 求点 P 的轨迹
图象有两个不同的交点; 2) 设 y = f ( x ) 与 y = g( x ) 的图象的交
点在 x 轴上的射影为A 1 , B1 , 求 | A 1 B 1 | 的取 值范围.
3) 求 证: 当 x < - 3 时, 恒 有 f ( x )
> g(x) . 解 1) 由 y = ax 2 + bx + c, 得 y = ax + b ax 2 + ( b - a) x + c - b = 0, != ( b - a) 2 - 4a( c- b) = ( a + b) 2 -
( ).
( A) 关于 m 的一次函数.
( B)
常数且等于
4 5
.
( C) 关于 m 的二次函数.
( D) 常数且等于 -
4 5
.
解 不妨设 A 在 B 的上方. 显然直线 y
= 2x + m 是一族斜率为 2 的平行直线系方 程. 当它与圆 x 2 + y 2 = 1 相交且 A 在 x 轴上
或在 x 轴上方时, 由圆的对称性可知 AOA ∗
a b
(
x
-
c) , 与 l 2 : y =
b a
x
联立,
解方程组得
P(
a2 c
,
acb)
.
令FA
=
A P , 同时设 A ( x 0 , y 0 ) , 则 x 0 =
c
+ 1
# +
a2 c
,
y0
=
# 1+
ab c
.
将A
点坐标代入椭圆方程,
得( c2 +
a2 ) 2 + 2 a4 = ( 1+ ) 2 a2 c2 , 等式两边同除以
#) = -
4 5
.
故选(
B)
.
评析: 本题若用解析计算, 既要涉及参
数, 又要进行繁琐的计算, 显然 ∀+ #的值恒
定不变是本题的隐含条件, 发现了这一隐含 条件, 思路便畅通了.
4 隐含在图形的几何性质上
例 6 点 A ( a, b)
是已知圆 D: x2 + y2 -
2dx - 2ey + f = 0 内的
4ac . ∃ f ( 1) = 0 且 a > b > c, 得 3a > a + b + c > 3c, 即 3a > 0 > 3c, & a > 0, c < 0, 于 是( a + b) 2 (0, - 4ac > 0, 得 != ( a+ b) 2 - 4ac > 0, 所以函数 y = f ( x ) 与 y = g( x ) 的图象有两个不同的交点( 供题者答案) .
a4 , 得( e2 + ) 2 + 2 = e2 ( 1 + ) 2 . 又 ∃ e %
( 0, 1) , & 2 =
e4 - e2 e2 - 2
=-
[(2 -
e2 ) +
2
2 -
e2]
+
3
∋
-
2
(2-
e2 )
#
2 2-
e2
+
3=
3
- 2 2 = ( 2 - 1) 2 ,
当 2 - e2 = 2 即 e2 = 2 - 2 时, 有最
f ( x ) 的图象有两个不同的交点.
例 4 已知双曲
线
x2 16
-
y2 9
=
1. 试确定
实数 m 的范围, 使得对
于直线 y = x + m, 双
曲线左、右支上各有一
点关于该直线对称.
解 假设双曲线左、右支上各有一点
A , B 关于直线 y = x + m 对称, 则直线 A B 的
方程为 y = - x + t, 将 y = - x + t 代入双曲 线方程得 7x 2 - 32tx + 144+ 16t 2 = 0, 不难