线性代数6.1-线性空间的定义及性质

Q[ x ]n 对运算不封闭 .
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例４ 正弦函数的集合 S [ x ] = {s = A sin( x + B ) A, B ∈ R}. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
Q s1 + s2 = A1 sin( x + B1 ) + A2 sin( x + B2 ) = (a1 cos x + b1 sin x ) + (a2 cos x + b2 sin x ) = (a1 + a2 ) cos x + (b1 + b2 ) sin x
λ
= a λ ⊕ bλ = λ o a ⊕ λ o b.
对所定义的运算构成线性空间． 所以 R + 对所定义的运算构成线性空间．
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,L, xn ) x1 , x2 ,L , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ o ( x1 ,L, xn )T = (0,L ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 o x = o, 不满足第五条运算规律 .
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一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n = { p = a n x n + L + a 1 x + a 0 a n ,L , a 1 , a 0 ∈ R , 且 a n ≠ 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间.
0 p = 0 x n + L + 0 x + 0 ∉ Q[ x ]n
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说明
1． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， ． 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算， 称为线性运算 线性运算． 称为线性运算． 2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 判别线性空间的方法：一个集合， 义的加法和数乘运算不封闭， 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．
a1 + b1 + c1 = 0,
a2 + b2 + c2 = 0,
a1 + a2 A+ B = 0
b1 + b2 0
c1 + c2 0
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满足
(a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) + (c1 + c2 ) = 0,
3. 0α = 0;
(− 1)α = −α ; λ 0 = 0.
证明 Qα + 0α = 1α + 0α = (1 + 0 )α = 1α = α ,
Qα + (− 1)α = 1α + (− 1)α = [1 + (− 1)]α = 0α = 0, ∴ (− 1)α = −α .
∴ 0α = 0.
线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算是通常的实数间的加乘运算， 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 m × n 矩阵，对矩阵的加法 矩阵， 和数乘运算构成实数域上的线性空间， 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作R m×n ．
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 α ∈ V , 都有
α + 0 = α;
(4)对任何α ∈V , 都有α的负元素β ∈V , 使
α + β = 0;
(5) 1α = α ;
(6) λ ( µα ) = (λµ )α ;
(7)(λ + µ )α = λα + µα ;
(8)λ (α + β ) = λα + λβ .
a b 0 ( 2 ) W 2 = a + b + c = 0, a , b , c ∈ R . 0 0 c
不构成子空间. 解 (1)不构成子空间 因为对 不构成子空间 1 0 0 A= B= ∈ W1 0 0 0 有
2 0 0 A+ B = ∉ W1 , 0 0 0
Q Am×n + Bm×n = C m×n ,
λAm×n = Dm×n ,
∴ R m ×n是一个线性空间 .
例2 次数不超过 n的多项式的全体 , 记作 P[ x ]n ,即 P[ x ]n = { p = a n x n + L + a 1 x + a 0 a n ,L , a 1 , a 0 ∈ R}, 对于通常的多项式加法 , 数乘多项式的乘法构成 向 量空间. 通常的多项式加法、 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 算满足线性运算规律． ( a n x n + L + a 1 x + a 0 ) + ( b n x n + L + b1 x + b 0 ) = (a n + b n ) x n + L + (a 1 + b1) x + (a 0 + b 0 )∈ P[ x ]n λ (a n x n + L + a 1 x + a 0 ) = (λ a n ) x n + L + (λ a 1) x + ( λ a 0 ) ∈ P[ x ]n P[ x ]n 对运算封闭.
(6) λ o ( µ o a ) = λ o a = (a
µ µ λ
)
= a λµ = (λµ ) o a;
( 7 ) (λ + µ ) o a = a λ + µ = a λ a µ = a λ ⊕ a µ = λ o a ⊕ µ o a;
(8) λ o (a ⊕ b) = λ o (ab) = (ab) = a λ bλ
λ
1
∴ α = 0.
同理可证： 同理可证：若 α ≠ 0 则有 λ = 0.
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三、线性空间的子空间
定义2 是一个线性空间， 定义2 设 V 是一个线性空间，L是 V 的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间， 的子空间． 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
∀λ ∈ R , a ∈ R + , ⇒ λ o a = a λ ∈ R + . 所以对定义的加法与乘数运算封闭． 所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律： 下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a;
( 2)(a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a ⊕ (b ⊕ c );
= A sin( x + B ) ∈ S [ x ].
λs1 = λA1 sin( x + B1 ) = (λA1 )sin( x + B1 ) ∈ S [ x ]
∴ S [ x ] 是一个线性空间 是一个线性空间.
一般地 上全体实连续函数， 例５ 在区间 [a , b] 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 加法与数和函数的数量乘法， 空间． 空间．
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ o a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
T
{
}
由于所定义的运算不是 线性运算 , 所以 S n 不是 线性空间.
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的． 零元素是唯一的． 证明 假设 01 ,02 是线性空间 中的两个零元 是线性空间V中的两个零元 有 素，则对任何 α ∈ V ，
α + 01 = α , α + 02 = α .
由于 01 ,02 ∈ V , 所以 02 + 01 = 02 ,01 + 02 = 01.
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是： 中的线性运算封闭． 必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭．
Biblioteka Baidu 例8
R 2×3的下列子集是否构成子 空间 ? 为什么 ? 1 b 0 (1) W1 = b, c , d ∈ R ; 0 c d
λ 0 = λ [α + (− 1)α ] = λα + (− λ )α
= [λ + (− λ )]α = 0α
= 0.
4．如果 λα = 0，则 λ = 0 或 α = 0 . ． 证明 又 假设 λ ≠ 0 , 那么
1
λ
(λα ) = ⋅ 0 = 0.
λ
1
1
λ
(λα ) = ⋅ λ ⋅ α = α .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
A + B ∈ W2 , 对任意 k ∈ R有
即
ka1 kA = 0
且
kb1 0
0 kc1
ka1 + kb1 + kc1 = 0,
即 kA ∈ W2 , 故W 2是R 2×3的子空间.
四、小结
线性空间是二维、 线性空间是二维、三维几何空间及 n维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 线性空间的元素统称为“向量” 线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 线 是一个集合 性 空 对所定义的加法及数乘运算封闭 间 所定义的加法及数乘符合线性运算
对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间 0 0 0 ( 2) 因 ∈ W2 , 即W2非空. 0 0 0 对任意 a1 b1 0 a2 b2 0 A= , B = ∈ W2 0 0 c1 0 0 c2 有 于是
⇒ 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02.
2．负元素是唯一的． 负元素是唯一的． 证明 假设 α 有两个负元素 β 与 γ ，那么
α + β = 0, α + γ = 0. 则有 β = β + 0 = β + (α + γ ) = (β + α ) + γ
= 0+γ =γ.
向量 α 的负元素记为 − α .
( 3) R +中存在零元素 1, 对任何 a ∈ R + , 有
a ⊕ 1 = a ⋅ 1 = a;
(4) ∀a ∈ R , 有负元素 a ∈ R , 使
a ⊕ a = a ⋅ a = 1;
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−1 −1
+
−1
+
( 5 ) 1 o a = a 1 = a;
定义１ 是一个非空集合， 为实数域． 定义１ 设 V 是一个非空集合，R 为实数域．如果 对于任意两个元素 α , β ∈ V ，总有唯一的一个元 与之对应， 的和， 素γ ∈ V与之对应，称为 α 与 β 的和，记作
γ =α + β
若对于任一数 λ ∈ R与任一元素α ∈ V 总有唯 ， 与之对应， 的积， 一的一个元素δ ∈ V 与之对应，称为 λ 与 α 的积， 记作 δ = λα