向量的概念及表示(公开课)
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高中数学必修 4 第二章 平面向量
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到羊 尖镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可
以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的
长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考：uAuuBr与uBuAur相同吗？uAuuBr
与
uuur BA
相同吗？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作 0 .
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量．
长度相等
A
的有15个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
课堂小结
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 2 和2 2
两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作：a // b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作：a b. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点
分别重合吗？ uuur
uuur
• 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上吗？
• 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
• ４uu、ur若四uu边ur形ABCD是平行四边形，则有
思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向
量,它们终点的轨迹是什么图形?
学生活动
r a
r
（1）、如上图,设图中小正方r 形的边长为1，则|a|=
。
（2）、请在上图中画出与|a |相等的向量（要求所画向量的
起点和终点在方格的格点处，以下要求不变）。
r （3）、请在上图中画出模为| a |的2倍的向量。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
ห้องสมุดไป่ตู้
是否相等？答
．
uuur AO
例2： 在4 5达 到 方 格 中 有 一 个 向 量AB,以 图 中 的 格 点 为 起 点 和 终 点 作向 量 ， 其 中 与AB相 等 的
向 量 有 多uu少ur 个 ？ 与AB长 度 相 等 的 共 线 向 量 有多 少 个？（ AB 除外 ）
B
相等的有 7个
建构数学 2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线Ｎ 段来表示.
i: ii:
有箭向头线所段指的的长方度向表表示示向向f 量量的的大方小向..
Ｇ
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c
来表示; 手写时则可用带箭头的小写字
母 a, b, c 来表示.
AB ＝ DC 吗?
A
B
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与 uAuOur相等的向量为
；A
B
（2）与uAuOur 共线的向量为
（3）与
uuur AO
的模相等的向量为
E；
F
O
D
C
；
（4）向量
uuur AO
与
uuur CO
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到羊 尖镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 判断下列说法是否正确: • 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可
以用负数来表示,所以温度是向量. • 错误,因为温度没有方向. • 坐标平面上的x轴和y轴是向量. • 错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小.
“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的
长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考：uAuuBr与uBuAur相同吗？uAuuBr
与
uuur BA
相同吗？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作 0 .
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量．
长度相等
A
的有15个
课堂小结
向量
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
课堂小结
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 2 和2 2
两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
建构数学 三、向量的关系
平行向量： 方向相同 或相反 的非零向量
叫做平行向量。 记作：a // b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量： 长度相等 且方向相同 的向量
叫做相等向量 。 记作：a b. 共线向量： 平行向量也叫做共线向量。
相反向量 ： 长度相等 且方向相反的向量
叫做相反向量。 记作： a
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点
分别重合吗？ uuur
uuur
• 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、
C、D四点必在一直线上吗？
• 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？
• ４uu、ur若四uu边ur形ABCD是平行四边形，则有
思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向
量,它们终点的轨迹是什么图形?
学生活动
r a
r
（1）、如上图,设图中小正方r 形的边长为1，则|a|=
。
（2）、请在上图中画出与|a |相等的向量（要求所画向量的
起点和终点在方格的格点处，以下要求不变）。
r （3）、请在上图中画出模为| a |的2倍的向量。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
ห้องสมุดไป่ตู้
是否相等？答
．
uuur AO
例2： 在4 5达 到 方 格 中 有 一 个 向 量AB,以 图 中 的 格 点 为 起 点 和 终 点 作向 量 ， 其 中 与AB相 等 的
向 量 有 多uu少ur 个 ？ 与AB长 度 相 等 的 共 线 向 量 有多 少 个？（ AB 除外 ）
B
相等的有 7个
建构数学 2、向量的表示
几何表示
向量常用一条有向线Ｎ 段来表示.
i: ii:
有箭向头线所段指的的长方度向表表示示向向f 量量的的大方小向..
Ｇ
字母表示
向量可以用有向线段的起点和终点字母表 示, 如：AB 在印刷时,常用粗黑体小写字母 a , b , c
来表示; 手写时则可用带箭头的小写字
母 a, b, c 来表示.
AB ＝ DC 吗?
A
B
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
（1）与 uAuOur相等的向量为
；A
B
（2）与uAuOur 共线的向量为
（3）与
uuur AO
的模相等的向量为
E；
F
O
D
C
；
（4）向量
uuur AO
与
uuur CO