【数理方程】第一章典型方程与定解条件

x2 y 2
常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、 二阶线性方程
傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、 余弦级数
三类偏微分方程
☆波动方程： 2u a 2 2u
t 2
琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 ☆热传导方程：u a22u
t
热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动
Q t2
1
t1
k 2udV dt
V
流入的热量：Q1
t2 t1
V
k 2udV dt
流入的热量导致V内的温度发生变化
S nv
u(x, y, z,t1) u(x, y, z,t2 )
M V
温度发生变化需要的热量为：
Q2 cu(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)dV
S
根据物理规律建立微分方程： u E
E /
对方程进行化简：
E (u) u 2u /
2u / 泊松方程 2u 0 拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t) 根据热学中的傅立叶试验定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
S nv
M V
S
dQ k u dSdt ku nˆdSdt ku dSˆdt
n
热场
从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
Q1
t2
t1 S
ku
dSˆ
dt
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
m ds
T
T T'
u(x dx,t) x
x
u ( x, t ) x
gds
其中：
ma
a
2u( x, t ) t 2
ds dx
T
u(x dx, x
t
)
u ( x, t ) x
gds
ma
T
u(x dx, x
t)
u( x, t ) x
gdx
2u( x, t ) t 2
dx
其中：u(x dx,t) x
贝塞尔函数 勒让德函数
微积分知识回顾
哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla
iˆ ˆj kˆ x y z
与梯度算子有关的场论运算
gradu u
divA A
rotA A
拉普拉斯算子 2 2 2 2
x2 y2 z 2
平面上的拉普拉斯算子 2u 2u 2u
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
常见数学物理方程的导出
•确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 •根据物理规律建立微分方程 •通过合理的数学近似对方程进行化简
数学物理方程定解问题的提法
泛定方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）
定解问题：
定解条件（初始条件，边界条件）
☆拉普拉斯方程： 2u 0 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布
两种特殊函数
贝塞尔方程 x2 y xy (x2 n2 ) y 0 的解：贝塞尔函数 Jn (x)
勒让德方程 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0的解：勒让德函数 Pn (x)
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
牛顿运动定律：
y
横向： T cos T 'cos '
纵向：T sin T 'sin ' gds ma
M'
ds
T'
'
M
其中：cos 1 cos ' 1
gds
sin tan u(x,t)
x
T
x
x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
知之者，不如好知者， 好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉
数学方程
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H
v Jc
v
v D t
v E
B
v t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0, v 0
D E
B H
H
E
E
t
H
t
E 0
H 0
H
E
E
t
H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H
( E)
t
Baidu Nhomakorabea
根据矢量运算：
r
r
r
H ( H ) 2H
H 0
r
r 由此得： 2 H
(
H )
即：
t t
2
H
2
H
t 2
2H t 2
1
(
2H x 2
2H y 2
2H z 2
)
——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t 2
1
2E
——电场的三维波动方程
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
u ( x, t ) x
x
u(x,t) x
dx
2u ( x, t ) x2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
dx
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x,t) x2
g
2u( x, t ) t 2
令：a 2
T
忽略重力作用：
2u t 2
a2
u 2 x-2-齐次方程
2u t 2
a2
2u x 2
一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。 不受外力影响。 研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
弦振动的相关模拟
波的传播的相关模拟
弦振动的相关模拟
简化假设：
(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
热场
V c t2 udtdV t2 c udVdt
V Q1 Q2
t1 t
t2
t1 V
t
k 2udVdt t2
c udVdt
t1 V
t1 V
t
u k 2u a22u 热传导方程
t c
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
u a 22u f t
例4、静电场
确定所要研究的物理量：电势u