§1.4 静电势,泊松方程与拉普拉斯方程共42页

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r')
0
(r' r)
(
r
r)
(r
r )d v
1
0
f
( r )
(r
r )d v
0
f (r)
r d v qir r id vqi (1.1.7)
vi
vi i
电动力学
俎栋林
2. 真空中的电场和场强迭加原理
Fq0E(r)
(1.1.8)

试探电荷必须是点电荷,电荷量要小。电场 客观存在,称 为E(电r) 场强度。
F ri n1410 qr iq rr i 3 r i
▪这里须注意两点:①电荷必须静止;
(1.1.2) (1.1.3)
②电荷必须是点电荷。
▪点电荷概念:区别于数学上的点,电荷线度与距离相比很小, 但不是零;电磁学中的点电荷可看成是一个小圆球;在介质内 是宏观无穷小,微观无穷大。
▪若电荷连续分布在一个体积内,可引进电荷密度。
电动力学
俎栋林
E (r)410(r r )r r(3r)dv (1.1.10)
(1.1.10)式是静电学的核心问题。问题是:
1.积分很难:电荷对称分布可积,可求普遍解。 2.一般电荷分布不知道,由于场-电荷相互作用,场和电荷都
不知道。这需要研究场本身的规律。
电动力学
俎栋林
1.静电场的高斯定理
q
E ds
(S)
0
(1.2.1)
电动力学
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证明:把库仑定律(1.1.10)式代入
令 R (Sr )E r 'ds441100V(S)(Vr)d(vr(r)S()rRrRrd33s)ndvds
410V(r)dv d
电动力学
俎栋林
因为
(S)d40
当r在S面 内 时 ; 当r不S 在 面 外 时 。
电动力学
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场-源关系:
散度和电荷密度点-点对应。
回忆散度的 定E 义(r :)(r )/0
E
lim
E ds
v0 v
根据此方程可以断言:在散度不为零的空间点一 定存在电荷;或者说,有电荷的地方,其电场一 定有散度。反过来说,凡是电场无散的地方一定 不存在电荷。
电动力学
俎栋林
2.静电场的无旋性
if
jf
k)(dixdjydkz)
x y x
f dxf dyf dzdf(r) x y x
电动力学
俎栋林
这就证明了静电场满足
Edl 0
利用Stokes定理
Edl Eds0
(c)
(S)

E0
写在一起:
E
/0
E 0
电动力学
(1.2.4) (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7)
俎栋林
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.1 真空中的静电场
§1.1 真空中的静电场
1.库仑定律 2.真空中的电场和场强迭加原理
电动力学
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1.库仑定律
1785年发表,精度4×10-2,数学 表述:
F12410q1qr22(r2r13r1) (1.1.1)
电动力学
俎栋林
F21F12
▪如果点电荷q受到多个点电荷qi的作用
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静电场的规律:场方程的
积分形式:
(
Eds
S)
(V
Edl 0
)
/
0dv
微分形式:
E
/
0
E 0
有源场 无旋场,保守场
电动力学
俎栋林
3.静电场的边值关系
❖界面两边的场可能 连续或不连续、不 可微;
❖场方程微分形式不 能用;
❖ 积分形式永远成立; ❖ 跨界面作高斯柱面:
电动力学
法线由1指向2
电动力学
俎栋林
体电荷密度ρ: ρdv是点电荷
面电荷密度σ : σds是点电荷
lim
q
V0 V
lim
q
s0 S
(1.1.4) (1.1.5)
若点电荷不是连续分布,是分立分布的,可引进一个
特殊的密度函数:
(r) N qi(rri)
(1.1.6)
i1
电动力学
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δ函数有三条性质:
(r
电动力学总目录
第一章 静电场 第二章 稳恒电、磁场和静磁场 第三章 时变电磁场的普遍规律 第四章 时谐辐射电磁场 第五章 电磁波的传播 第六章 狭义相对论 第七章 运动电荷的辐射 第八章 电磁场(波)与电子(物质)相互作用
电动力学
俎栋林
第一章 静电场 目录
§1.1 真空中的静电场 §1.2 静电场的散度和旋度 §1.3 介质中的静电场 §1.4 静电势,泊松方程和拉普拉斯方程 §1.5 静电问题的唯一性定理 §1.6 分离变量法 §1.7 镜像法 §1.8 静电问题的格林函数法# §1.9 静电场的能量 §1.10 电多极矩及其与外场的相互作用
俎栋林
计算穿过此高斯面的电通量:
EdsSE2nSE1n侧 面 通
= S/0
令S一阶无穷小,侧面高度趋于高阶无穷小。
则有
n(E 2 E 1)/0
(1.2.8)

电动力学
E2nE1n/0
(1.2.8a)
俎栋林
再研究界面两边电场切向分量满足什么规律? 跨界面作矩形环路:
E d l lE 1 E 2 l 两短 边 0
对任一闭合回路 c ,电场的环路积分:
cE dl4 10cV (r )(r r r r '3 )dl dv 410V (r)dvcr 1rdl
因为
1 R
R R3
410V (r')cd(R 1)0
电动力学
证毕
俎栋林
附注:
R 1R 1 2 R R 1 2R ˆR R 3
f(r)d(f
场单强独迭存加在原时理在: rN点个产点生电的荷电在场 r的点矢产量生和的。电场等于每个点电荷
迭加原理类似于几何上的公理,用逻辑学无法证明。
从数学上说线性问题都满足迭加原理。
电动力学
俎栋林
第一章 静电场
§1.2 静电场的散度和旋度
§1.2 静电场的散度和旋度
1. 静电场的高斯定理 2. 静电场的无旋性 3 .静电场的边值关系
E(r)
不依赖于q0,
❖ 若电场由n个电荷激发,由(1.1.3)式
E ( r)410 i n1qi r( r ri r3i)
(1.1.9)
❖电荷连续分布,则:
E (r)410(r r)rr(3r)dv
(1.1.10)
电动力学
俎栋林
r是场点坐标,
r 是源点坐标。
(1.1.10)式是从库仑定律和迭加原理直接导出的一 个结果,是静电学的核心问题。
所以有
Eds
1
(r)dv
(S)
0(Vs)
积分体积只限于S面所包围的体积,证毕。
电动力学
俎栋林
根据矢量场论中的高斯定理
E d s E d v /0 dv( 1 .2 .2 )
(S )
( V )
( V )
由于高斯面是任意取的,所以有
E /0
( 1 .2 .3 )
(1.2.1)是高斯定理的积分形式; (1.2.3)高斯定理的微分形式。
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