第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解案例

G r n PA B , G C r O
把 P 1 改写为分块阵 P 1 F 则有 G 1
, 或者 A P 1 B
S , F C
m r r
,S C
m ( n r ) nr
A P B F
S O FG
1 0 0 2 0 1 0 1 A 行 B 0 0 1 1 0 0 0 0 j1 1, j 2 2, j 3 3 ,根据定理2.8, A
4 1 0 2 F 1 2 1 2 而B的前三个非零行组成矩阵
1 0 4 1
1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 0 A E 1 2 1 1 0 1 0 0 2 0 3 1 1 0 2 2 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1
.
最后有
1 0 1 0 1 2 A FG 1 1 0 2 0 3 2 1
于是, 的最大秩分解为
1 0 0 2 3 G 0 1 0 1 2 0 0 1 1 5
4 1 1 1 0 0 2 3 0 0 2 A FG 0 1 0 1 2 1 2 4 0 0 1 1 5 1 2 1
B12 AP1 P ( BP1 ) F F FB12 O 上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的 j1 , j2 , , jr
列构成的矩阵. 证毕.
Er S O
定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为 准形法. 例:用 Hermite 行标准形法求矩阵 1
A P 1 B
S , F C rmr , S C nmr( n r )
设A.B的分块矩阵为 A (a1 , a 2 ,, a n ) , B (b1 , b2 ,, bn ) ,对应A的
P1 (e j1 , e j2 , , e jr , e jr 1 e Байду номын сангаасn )
是单位矩阵的从左至右的n个 .
e1 , e 2 , , e n
j1 , j 2 , , j n 是 1,2, , n 的一个排列
定理2.8 设
j1 , j2 ,, jr 列构成的 m r 矩阵为F, B的前r行构成的 r n 矩阵为G 则A的满秩分解为
2.12), 令A的 .
(3) B的第i行的第一个非零元素1位于第
j1 j2 jr
(4) B的
ji (i 1,2, , r )
列,
;
列为单位矩阵I m的前r列.
j1 , j2 , , jr
那么称B为 Hermite 行标准形. 定义2.13 称n阶矩阵 为置换矩阵,其中 列向量,
P (e j1 , e j2 , , e jn )
最后需要指出, （2.40）给出的最大秩分解 A FG 不是唯一的.事实上，任取一个r阶非奇异矩阵D，则
,则有
Hermite 行标准形B,构造阶置换矩阵
AP1 (a j1 , , a jr , a jr 1 , , a jn )
Er BP1 (b j1 ,, b jr , b jr 1 ,, b jn ) O
再根据 A P 1 B，得
1
B12 r ( n r ) , B C O
AC
mn r
(r 0) 的 Hermite 行标准形为B(如定义
A FG
证 由条件知,存在m阶可逆矩阵P,使得 G r n , 或者 PA B , G C r O 根据定理2.7 ,设 P 1的分块阵为 P 1 F ,可得最大秩分解 A FG .
(2.40)
, 使得
A FG
则称式(2.40)为A的最大秩分解（满秩分解）.
定理2.7 设 A C rmn (r 0)
,使得
,则必存在
F C rmr和 G C rr n
A FG
证 当 rankA r 时,可通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵B, 即存在有限个m阶初等矩阵的乘积P,使得
Hermite行标
的最大秩分解.
4 1 5 6 0 0 0 14 2 A 1 2 4 0 1 1 2 1 1 6
3 2 5 0
解 用初等行变换将A化为 Hermite 行标准形
因此,这里 rankA 3 的前三列组成矩阵
其中F是列满秩阵,G是行满秩阵. (证毕) 这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法.
例:用初等行变换法求矩阵
2 1 0 1 A 1 2 1 1 2 2 2 1
的满秩分解. 解 对 A E 进行初等行变换,当A变成阶梯阵B时，E就变成 初等矩阵P.
求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出 P和P 1 ，下面介绍一个不需求出
P和 P
1 简便方法.
定义2.12 如果 B C rmn (r 0) ,并且满足条件:
(1) B的前r行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个 非零元素等于1;
, (2) B的后m-r行元素都等于零 ;
§3 矩阵的最大秩分解
前面两节介绍了n阶矩阵的几种分解，现在开始介绍几种长 方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解，它在广义逆矩阵的 讨论中是十分重要的. 定义2.11 设是一个 m n 阶秩为r>0的复矩阵,记为 A C rmn (r 0)
,如果存在矩阵
F C rmr 和 G C rr n