大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学

质点动力学习题答案

2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向

与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ϖ

方向为X 轴，平行斜

面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1.

图2-1

X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v

2sin 2

1

t g y α=

由①、②式消去t ，得

220

sin 21

x g v y ⋅=

α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

合力：f P F ϖ

ϖϖ+=

a m f P ϖϖϖ=+

y 分量：dt

dV

m

KV mg =-- dt KV

mg mdV

-=+⇒

即

dt m

KV mg dV 1

-=+

⎰⎰-=+t v

v dt m KV mg dV 01

dt m

KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e

KV mg t m

K

+⋅=+-

mg K

e KV mg K V t m K

1

)(10-+=⇒- ①

0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为

)1ln(ln 000mg

KV K m mg KV mg K m t +=+=

② ∵ dt

dy

V =

∴ Vdt dy =

dt mg K e KV mg K Vdt dy t

t m

K t

y

⎰⎰⎰

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+==-0000

1)(1

mgt K

e KV mg K m

y t m K 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=-

021

()1K

t m m

mg KV e mgt K K

-+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ③ 0t t = 时，max y y =，

)1ln(11)(0)1ln(02max

0mg KV K m mg K

e KV mg K m y mg

KV K m

m K +

⋅-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- )1ln(1

1)(0

22

02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡

+-+=

)1ln()(022

0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K

m +-++=

)1ln(0

220mg KV g K

m K mV +-=

2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一

段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.

解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为

m

xg l

，根据牛顿定律，有

m

F xg ma l

=

= 图2-4

通过变量替换有 m dv xg mv l dx

=

0,0x v ==，积分00

l v

m xg mvdv l =⎰⎰

由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl =

2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连接，跨过滑轮,绳子

不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝

1

2

g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示．

(1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有

)(22a a m T g m -'=-

a m T '=1

题2-5图

联立，解得g a ='方向向下 (2) 2m 对地加速度为

2

2g

a a a =

-'= 方向向上 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝a a a ϖϖϖ+='

∴ g g g a a a 2

5

422

2

2

1=+=+'=

a a '=arctan

θo 6.262

1

arctan ==，左偏上． 2-6 一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体

受冲量之比及动量增量之比各为多少 解：设物体沿+x 方向运动，

2525

50

1===⎰⎰tdt Fdt I N·S （1I ϖ沿i ϖ方向）

75210

5

105

2===⎰

⎰tdt Fdt I N·S （2I ϖ沿i ϖ

方向）

3/12=⇒I I

∵⎩⎨

⎧∆=∆=11

2

2)()(p I p I

∴

3)()(1

2

=∆∆p p

2-7 一弹性球，质量为020.0=m kg ，速率5=v m/s ，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不

变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60α︒

=，⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I ϖ

⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?F = 解:

⎩

⎨

⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212ααα

ααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x ϖϖϖϖϖο

10.060cos 5020.02cos 2=⨯⨯⨯===⇒αN·S

2-9 一颗子弹由枪口射出时速率为1

0s m -⋅v ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(bt a -)N(b a ,为常数)，其中t 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

0)(=-=bt a F ,得b

a t =

(2)子弹所受的冲量

⎰-=-=t bt at t bt a I 022

1

d )(

将b

a

t =

代入，得