《数学史》几何学的变革(上)

高斯
• 高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777 年—1855年），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著 名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。 • 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧 几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆 函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应 用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也 偏重于用数学方法进行研究。
罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基
罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德 （今高尔基城），1807年进入喀山大学，1811年毕 业并获硕士学位。 罗巴切夫斯基毕业后留校任职，历任教授助理 、非常任教授、常任教授、物理数学系主任，35岁 被任命为校长。1846年以后任喀山学区副督学，直 至逝世。 如果没有罗氏几何学，罗巴切夫斯基只能算 一个优秀的科学与教育管理者。
匈牙利数学家----波约
当声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚 名不见经传的匈牙利青年波约却急切地希望通过高斯的评价而 将自己关于非欧几何的研究公诸于世，波约的父亲F.波约是高 斯的朋友，也是一位数学家．
1832 年 2 月 14 日， F. 波约将他儿子的 一篇题为《绝对空间的科学》的 26 页文 章寄给高斯，这篇文章也作为F．波约刚 刚完成的一本数学著作的附录而发表， 其中论述的所谓“绝对几何”就是非欧 几何．F．波约请高斯对他儿子的论文发 表意见。
文艺复兴时期对希腊学术兴趣的恢复使欧洲数学 家重新关注起第五公设．在17世纪研究过第五公设的 数学家有沃利斯等．但每一种“证明”要么隐含了另 一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的 推理错误．而且，这类工作中的大多数对数学思想的 进展没有多大现实意义． 因此，在18世纪中叶，达朗贝尔曾把平行公设的 证明问题称为“几何原理中的家丑”．但就在这一时 期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进 展．在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里、德 国数学家克吕格尔和瑞士数学家兰伯特．
第五公设
第五公设：若一直线落在两直线上，所构成的同旁
内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将 在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
因此，从古希腊时代开始，数学家们就一直没有放 弃消除对第五公设疑问的努力．他们或者寻求以一个比较容 易接受、更加自然的等价公设来代替它，或者试图把它当作 一条定理由其他公设、公理推导出来．在众多的替代公设中， 今天最常用的是：
下见：希尔伯特的评价。
希尔伯特说：“19世纪最富有 启发性和最值得注意的成就是 非欧几里得几何的发现Leabharlann Baidu”
9.2 非欧几何的诞生
前面讲过，在非欧几何正式建立之前，它的 技术性内容已经被大量地推导出来．但最先认识
到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质
空间、像欧氏几何一样正确的新几何学的是高 斯．
从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年开始意 识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并 从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几 何． 他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为 “非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正 是来自高斯．
但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的 思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于 非欧几何的论著．这主要是因为他感到自己的发现 与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻 击． 他曾在给贝塞尔 (P.W.Bessel) 的一封信中说： 如果他公布自己的这些发现，“黄蜂就会围着耳朵 飞”，并会“引起波哀提亚人(特指有世俗偏见的愚 人)的叫嚣”．
非欧几何的诞生
• “非欧几何”的名称来源 于高斯。他从 1799 年开始 意识到平行公设不能由其 他公理推出，并从 1813 年 起发展了这种平行公设在 其中不成立的新几何。
非欧几何的诞生
• 为了验证“非欧几何”应 用的可能性，他实际测量 了由三座山峰构成的三角 形，此三角形的三边分别 为 ： 69 ， 85 与 109 公 里 。 他发现其内角和比 1800 大 了近15〞。
与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导 出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起 矛盾的话，就提供了一种可能的几何．因此，兰伯特 最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几 何学的道路．
萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看成 是非欧几何的先行者．
然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却 由于各自不同的原因或则却步后退 ( 如萨凯里在 证明了一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里 得无懈可击”)，或则徘徊不前(兰伯特（瑞士） 在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定， 《平行线理论》一书是他死后由朋友发表的)．
突破具有两千年根基的欧氏几何传统的束缚， 需要更高大的巨人，这样的时机在19世纪初逐渐成熟， 并且也像解析几何、微积分的创立一样，这样的人物 出现了不止一位．
对非欧几何来说，他们是高斯、波约(J.Bolyai， 1802—1860)和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,17931856)．
“春天的紫罗兰在各处盛开．”
罗巴切夫斯基
在非欧几何的三位发明人中，只有罗 巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的 研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫 自己的新思想的一位。 他先是于1826年在喀山大学发表了 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现， 而后又在1829年发表了题为《论几何原理》 的论文，这是历史上第一篇公开发表的非 欧几何文献 。
设给定了直线 a 和直线外一 点 A ，从 A 引 a 的垂直 线 AB ．按照罗巴切夫斯基的基 本假设，至少存在两条直 线 b, b' ，通过点 A 且不与直线 a 相交 ( 注意图形在这里只起辅助 理解的作用，罗氏论证的并不是 我们普通平面上所作的图．
罗巴切夫斯基考虑所有过 A 不与 a 相交的直 线的极限情形，指出这样的极限直线有两条 c ( c 与 c ' )，并证明了它们也不与 a 相交．因此， 与 c ' ，便构成了所有不与 a 相交的直线的边界， 在这两条边界直线所成夹角 内的所有直线都不与 a 相交．
9.1 欧几里得平行公设
直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统 天下．解析几何改变了几何研究的方法，但没有从 实质上改变欧氏几何本身的内容． 解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了 人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学 严格性的典范始终保持着神圣的地位．
然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得 几何并非无懈可击．事实上，公元前3世纪到18 世纪末，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完 美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀， 这就是欧几里得第五公设，也称平行公设． 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设 显得比较特殊．它的叙述不像其他公设那样简 洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设 而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定 理推出这条公设的想法．
萨凯里的工作激发了数学家们进一步的思 考． 1763 年，克吕格尔（德国）在其博士论文 中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾， 只是得到了似乎与经验不符的结论．
克吕格尔是第一位对平行公设能否由其他 公理加以证明表示怀疑的数学家．他的见解启 迪兰伯特（瑞士）对这一问题进行了更加深入 的探讨．
1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书， 在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形， 不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是 直角、钝角还是锐角作出了三个假设．由于钝角假设 导致矛盾，所以他很快就放弃了它．
波约
然而高斯回信说： “称赞他(即J.波约)就等于称赞我自己．整篇文 章的内容，您儿子所采取的思路和获得的结果，与我 在30至35年前的思考不谋而合．”
J.波约对高斯的答复深感失望，认为高斯想剽窃自己的成 果． 1840年俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作 出版后，更使 J.波约灰心丧气，从此便不再发表数学论文，而 他的父亲倒很开通，安慰他说：
萨凯里（意大利）最先使用归谬法来证明平 行公设．他在一本名叫《欧几里得无懈可击》 (1733)的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发 来证明平行公设．
萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，其中 AC BD, ∠ A =∠ B ，且为直角 。萨凯里需要证明∠C=∠D且为直角。
萨凯里指出：不用平行公设容易证明∠C=∠D，并且顶角 具有三种可能性并分别将它们命名为 1．直角假设：∠C和∠D是直角； 2．钝角假设：∠C和∠D是钝角； 3．锐角假设：∠C和∠D是锐角． 可以证明，直角假设与第五公设等价．萨凯里的计划是证明 后两个假设可以导致矛盾，根据归谬法就只剩下第一个假设 成立，这样就证明了第五公设．
“ 过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知 直线平行”．
—般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家 普莱菲尔(J.Playfair，1748—1819)，所以有时也叫 普莱菲尔公设．
历史上第一个尝试证明第五公设的是古希腊 天文学家托勒玫 (Ptolemy，约公元 150)作出的， 后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假 定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线， 这就是上面提到的普莱菲尔公设．
罗巴切夫斯基后来为发展、阐释这种新几何 学而付出了毕生心血．
他生前发表了许多论著，其中1835--1838年 间的系列论文《具有完备的平行线理论的新几何 学原理》较好地表述了他的思想，而1840年用德 文出版的《平行理论的几何研究》则引起高斯的 关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会 会员．
罗巴切基称 c 与 c ' 为 a 的“平行线”，而落在角 口内的所有直线叫不相交直线．如果按不相交即 平行的意义理解，那么罗巴切夫斯基的几何里， 过直线外一点就可以引无穷多条直线与给定的直 线平行．
罗巴切夫斯基还将夹角 的一半称为“平行 角”，因 小于两直角，故平行角小于直角．罗 A 巴切夫斯基发现，平行角是点 到直线 a 的距离 d 的函数． 若把平行角记作 (d ) ，则 (d ) 2 时，就得到欧 d 0 氏平行公设．若 ，则 (d ) 单调增加且趋于 2 ； 而 d 时， (d )单调减少且趋于0．换句话说，如果 在离直线 a 很远处作与此直线垂线很小夹角的直线， 那么我们可以沿着这条“倾斜”的直线前进而永远不 与直线 a 相遇!
第九章
几何学的变革
几何，就是研究空间结 构及性质的一门学科。它是 数学中最基本的研究内容之 一，与分析、代数等等具有 同样重要的地位，并且关系 极为密切。
几何学发展
• 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、 数论等等关系极其密切。
• 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各 分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法 去探讨各数学理论。
罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、 波约是一致的，即用与欧几里得第五公设相反 的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而 至少是两条直线平行于已知直线，作为替代公 设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几 何学的定理． 罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包 含矛盾，因而它的总体就形成了一个逻辑上可 能的、无矛盾的理论，这个理论就是一种新的 几何学——非欧几里得几何学．
下面回顾一下“欧氏几何公理、公设”:
欧氏几何公理：
（1）等于同量的量彼此相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等； （4）彼此重合的图形是全等的； （5）整体大于部分。
欧氏几何公设：
（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线； （2）一条有限直线可不断延长； （3）以任意中心和半径可以画圆； （4）凡直角部彼此相等； （5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角 和小于两直角，那么把两直线无限延长，它 们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由 钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一 过程中他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形 三内角之和小于两个直角；过给定直线外一给定点， 有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等． 虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨 凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾 而判定锐角假设是不真实的．