第7讲 置换群

=12…t =12…l


{1,2,…,t} ={1,2,…,l }
4
置换的表示法3
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5

(132)(5648) =(13)(12)(56)(54)(58)
5
n元置换的对换表示

S4子群 ？ 个
16
置换群S4子群
平凡子群：<(1)>, S4,
二阶子群：<(12)>, <(13)>, <(14)>, <(23)>, <(24)>,<(34)>， <(12)(34)>, <(13)(24)>, <(14)(23)>， 三阶子群：<(123)>， <(124)>， <(134)> ， <(234)>
17
置换群S4子群
四阶子群：<(1234)>, <(1243)>, <(1324)>,
{(1),(12)(34), (13)(24), (14)(23)},
{(1),(12),(34), (12)(34)},{(1),(13),(24), (13)(24)}
{(1),பைடு நூலகம்14),(23), (14)(23)}
10
4元对称群
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),( 243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
作业

P204，29-31
32

13
置换群子群


{(1)}, S n， n 元交错群An 2元子群,……
14
置换群S3子群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
子群6 个
<(1)>, S3,
<(12)>, <(13)>,<(23)>,
A3=<(123)>
15
置换群S4
S4={(1),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(2 43), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
25
(a * a = b) (结合律) (a * a = b )
(2)证明: 由于V中只有a, b 两个元素， 故分a * b = a 和a * b = b 两种情况讨
°2 若a * b = b，则：
b * b = ( a * a) * b = a * ( a * b) =a*b (a * a = b) (结合律) (a * b = b)

令Sn为{1,2,…,n}上所有n元置换的集合. Sn关于置换乘法构成群，称为n元对称群. Sn的子群称为n元置换群. 所有偶置换的集合做成 Sn的子群称为 n元 交错群An.
9
3元对称群


例 3元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)} 3元交错群A3={(1),(123),(132)}
题例分析
EX12 （x,n）=1 iff 存在整数a,b 使得ax+bn=1
26
题例分析
EX15 设 G 为群，若xG x2 =e, 则 G 为 Abel 群。 证 x,yG, 分析： xy = (xy)-1 = y-1x-1 =yx x2=e x=x-1 幂运算规则
27
题例分析
EX19 设 G 为非 Abel 群，证明 G 中存在非单位元 a,b,ab,且 ab =ba。 证 G 中一定含有阶数大于 2 的元素 a,否则由 EX15 知 G 为交换群（矛盾） 。 考虑 b=aa,则 ab（否则 a 是幂等 元从而是单位元，阶为 1（矛盾） ）,显然 ab =ba。 分析： aa2=a2a 幂运算规则
六阶子群： S3=<(12),(123)> ，<(12),(124)>， <(13),(134)>， <(23),(234)> 十二阶子群：A4
18
置换群S4子群D4
D4 2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1),(13),(24), (12)(34),(13)(24),(14)(23), (1234),(1432)}
7
置换的乘法与求逆



置换的乘法：函数的复合 例 如 ： 8 元 置 换 =(132)(5648) ， =(18246573), 则 =(15728)(3)(4)(6)=(15728) 置换求逆：求反函数 =(132)(5648)，-1=(8465)(231),
8
对称群、置换群、交错群
28
题例分析
EX18 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元. 证 若xG，|x|>2，则 xx-1 由于|x|=|x-1|, 大于 2 阶的元素成对出现，总数 有偶数个. G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有 单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证. 分析：|x|=|x-1|, x2=e x=x-1
29
题例分析
例 1 若群 G 中只有唯一 2 阶元，则这 个元素与 G 中所有元素可交换。 证 设 2 阶元为 x, yG, |yxy-1|=|x|=2 yxy-1 =x yx =xy 分析： |yxy |=|x|
-1
30
题例分析
例 2 设 G 为有限群，x,yG, y 为 2 阶元，xe, 且 x2y=yx, 求|x| 解： x2y=yx yx2y=x (yx2y)(yx2y)=x2 yx4y=x2 =yxy x4=x x3=e |x|=3 分析： 关键是导出关于 xk=e 的等式. 根据 xk=e |x| | k， 使用幂运算规则, 结合律，消去律，|x|=2 x=x-131
2种颜色涂22方格，允许任意旋转 旋转或翻转 1=(1), 2=(1234), 3=(13)(24), 4=(1432) c(1)=4, c(2)=1, c(3)=2, c(4)=1 M= (24+21+22+21) /4=6

22
着色方案举例2
2种颜色涂33方格，允许任意旋转或翻转 (1) (1357)(2468)(9),(1753)(2864)(9) (15)(37)(26)(48)(9) (13)(57)(48)(2)(6)(9), (17)(35)(26)(4)(8)(9), (37)(46)(28)(1)(5)(9), (15)(24)(68)(3)(7)(9) 1 2 M=(29+2*23+25+4*26) /8=102 8 9

1 4 2 3
19
置换群S4子群D4, D”4
2X2的方格图形在空间中旋转、翻转 D4={(1),(12),(34), 1 3 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 4 2 (1324),(1423)} D’’4={(1),(14),(23), 1 2 (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3 4 (1243),(1342)}

11
置换群中元素的阶


元素的阶 k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为k σ=τ1τ2…τl 是不交轮换的分解式，则 |σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]
12
4元对称群
2阶元：(12),(13),(14),(23),(24),(34), (12)(34),(13)(24),(14)(23), 3阶元：(123),(132),(124),(142),(134), (143),(234),(243), 4阶元：(1234),(1243),(1324),(1342), (1423),(1432)
循环群

定义10.7:设G是群，若在G中存在一 个元素a，使得G中的任意元素都是 a的幂，则称该群为循环群，元素a 为循环群G的生成元。记G =<a>. 任何一个循环群必为阿贝尔群

1
置换



定义：设A是一个非空有限集合，从集合 A到A的一个双射称为A的一个置换 A 上的n 元置换：|A| = n 时A 上的一一变 换 置换的表示法：令A={ 1, 2, …, n },
2 3 ...... n 1 (1) (2) (3) ...... ( n )
2
置换的表示法2
1 2 3 4 5 6 7 8 3 1 2 8 6 4 7 5

(132)(5648)
3
n元置换的轮换表示

性质： 任何n元置换都可以表成不交的 轮换之积，并且表法是唯一的.

任意轮换都可以表成对换之积 对换可以有交 表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不 变
1 2 3 4 5 6 7 8 5 2 3 8 7 6 1 4 (1 5 7) (4 8) (15)(17)(48) (17)(57)(48)
6
奇置换、偶置换

奇置换：表成奇数个对换之积 偶置换：表成偶数个对换之积 奇置换与偶置换之间存在一一对应，因 此各有n!/2个

3 4
7
6
5
23
Calay定理
• Calay定理：每个有限群都与一个置换群 同构
24
题例分析
EX5 (1)a * b = a * (a * a)
= (a * a) * a =b*a 论。 ° 1 若a * b = a，则： b * b = ( a * a) * b = a * (a * b) =a*a =b (a * a = b) (结合律) (a * b = a) (a * a = b)

20
着色问题应用

Polya定理：设G是一个n个对象上的置换群， 用m种颜色对n个对象进行染色，当一种方 案在群G中的置换作用下变为另外一种方案， 就认为这两个方案是一样的。那么在这种规 定下不同的染色方案数为：
c( ) m /|G|
其中c()是置换的循环节(轮换个数)。
21
着色方案举例1