特征值问题的性质与估计
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A的特征方程
( ) det(I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
设为A的特征值, 相应的齐次方程组 (I A) x 0 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
(1.2)
但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方 法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
关于计算矩阵A的特征值问题，当n=2，3时，我们还可按行列 式展开的办法求 ( ) 0的根。但当n较大时，如果按展开行列式 的办法，首先求出的 ( )系数，再求 ( ) 的根，工作量就非常 大，用这种办法求矩阵特征值是不切实际的，由此需要研究A的 特征值及特征向量的数值解法．
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R
nn
为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
| 4 | 1, | 4 | 2
或2 6。
且A-1的特征值
1 1 。 6 2
第九章 特征值与特征向量的数值求法
Example1 4 1 0 估计矩阵A 1 0 1 的特征值的范围. 1 1 4
解：A有三个圆盘
D1 :
m i 1
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P 1 AP B, 则 (1) A与B有相同的特征值; (2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理6 （ 1 ）A R nn可对角化， 即非奇异矩阵P使 1 2 P 1 AP n 的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量. (2) 若A R nn有m(m n)个不同的特征值1, 2 ,, m , 则 对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
分析 (1)只要证明 | aii | ri
(1.3)
证 : 设为A的任意一个特征值 , x 0为对应的特征向量 ,即
(I A) x 0。 记x ( x1 , x2 ,.....,xn )T , xi max xk , 则xi 0,
( a ii ) xi
第九章 特征值与特征向量的数值求法
对于矩阵特征值界如何估计？
ri | aij |,( i 1,2,, n), 称为以aii为圆心,以ri为半径的复平面上一个
j 1 ji n
定义3 设 A (aij )nn , 集合 Di { z || z aii | ri , z C }, 其中
第九章 特征值与特征向量的数值求法
(2) 如果A的m个圆盘组成并集S(连通的)且与余下的n-m个 圆盘是分离的(即不相交)，则S内恰包含m个A的特征值。特 别，当S是一个圆盘且与其他的n-1个圆盘是分离的(即S为孤 立圆盘)，则S中精确包含一个特征值。 ——第二圆盘定理
第九章 特征值与特征向量的数值求法
圆盘。 定理8 (盖尔圆盘定理）
(1) 设 A (aij )nn , 则A的每一个特征值必属于某一个圆盘之中,
| aii | ri | aij |, ( i 1,2,, n),
j 1 ji
n
(1.3)
即A的所有特征值都在复平面上n个圆盘(1.3)的并集中。 ——第一圆盘定理
D2 :
-4
0
1
4
| 4 | r1 | a1 j | 1
| | r2 | a2 j | 2
j 1 j 2
n
n
j 1 j 1 n
由上述定理结论可知 A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
D3 :
| 4 | r3 | a3 j | 2
本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及 反幂法(迭代法)，另一类是正交相似变换的方法(变换法)．
第九章 特征值与特征向量的数值求法
4 1 1 4 1 例1 设有 A 试估计A及A-1的特征值的范围。 1 4 1 1 4 n n
解：因为A为对称阵，所以A的特征值均为实数。 由盖尔圆盘定理知A的特征值位于下述某个圆盘中，即
例1： 求 A的特征值及特征向量， 其中
2 1 0 A 1 3 1 0 1 2
第九章 特征值与特征向量的数值求法
解： A 的特征多项式 ( ) det( I A) 3 7 2 14 8 0
求得A的特征值为： A的特征向量 ： 1 1 1 1 1 x 1 ; x 0 ; x 1 2 3 2 2 2 1 1 1 4 3
定义2 设A R nn , 如果A有一个k重特征值 且其对应的 线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
n 第九章 特征值与特征向量的数值求法 对于任一非零向量x R , 称
为关于向量x的瑞雷( Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （ 1 ） （2） ( Ax, x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax, x ) 1 max , xR n ( x, x )
即A (aij ) nn
aij j B , i n n
而A与B有相同的特征值
即可解决上述提出的问题.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
对 上 边 同 一 例 题
若选取D 1
1
1
0.9
作相似变换
1 0 4 1 A A1 D AD 1 0 10 / 9 0.9 0.9 4
9.2 特征值问题的性质与估计
工程实践中有多种振动问题，如桥 梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机 翼的振动，工程实践中有多种振动问题 ，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、 飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和
相关分析可转化为求矩阵特征值与特征
向量的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题。 以下是一些准备知识
第九章 特征值与特征向量的数值求法
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr( A), (称为A的迹) i 1 i 1 (2) det(A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( AT ) ( A).
第九章 特征值与特征向量的数值求法
第9章
教学目的
矩阵特征值问题的数值解法
1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。 教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反
幂法求矩阵特征值的QR方法；
难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a11
a21 ( ) det(I A) an1
a12 a 22 an 2
a1n a2 n a nn
n (a11 a22 ann )n1 (1)n | A | 为A的特征多项式.
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
从而1成立．结论1说明Rayleigh商必位于n 和 1 之间．
对于复矩阵 A C n*n , 亦有类似性质 , 但应注意 " A为对称阵 "应改为 " A为 Hermite阵”，即 AH A, 其特征值都是实数，特 征向量也构成正交向量 组.
E 1 :|
4 | 1
E2 :| | 19 / 9
E3 :| 4 | 1.8
第九章 特征值与特征向量的数值求法
显然E1 E2 E3
3
1
5;
19 / 9 2 19 / 9;
5.8 3 2.2
定义4 设A是n阶实对称阵, ( Ax, x ) R( x ) ( x, x )
x 0
（3）
( Ax, x ) n min . xR n ( x, x )
x 0
第九章 特征值与特征向量的数值求法
设x 0，则有表达式 证明 只证1， n x i xi ,
i 1
( x, x) i2 0,
i 1
n
n i ( Ax, x) 1 i2。
机器 求解
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p) x； (3) k 是Ak的特征值,即 Ak x k x； 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A1的特征值,即 A1 x x.
由于 x j / xi 1( j i ), 有
j i
j 1, j i
a ij x j。
n
aii aij x j / xi aij .
j i
说明属于Di .定理得证 .
定理的证明，不仅指出了 A 的每一个特征值必属于 A的一个 圆盘中，而且指出，若一个特征向量的第 i 个分量最大，则对 应的特征值一定属于第i个圆盘中．
j 1 j 3
第九章 特征值与特征向量的数值求法
由于D1是孤立的所以， 所以D1内恰包含A的一个实特征值
3 1 5 A的其它两个特征值2，3包含在D2 D3中 .
2 3 D2 D3
第九章 特征值与特征向量的数值求法
问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么 范围？ 解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆 盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围. 事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆 盘半径及连通性发生变化.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
具体实施 ?
适当选取 i (i 1, 2, , n)作 11 D 1 = 1 n
-1
2 1
aij j 对A作相似变换D AD , i n n
第九章 特征值与特征向量的数值求法
( ) det(I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
设为A的特征值, 相应的齐次方程组 (I A) x 0 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
(1.2)
但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方 法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
关于计算矩阵A的特征值问题，当n=2，3时，我们还可按行列 式展开的办法求 ( ) 0的根。但当n较大时，如果按展开行列式 的办法，首先求出的 ( )系数，再求 ( ) 的根，工作量就非常 大，用这种办法求矩阵特征值是不切实际的，由此需要研究A的 特征值及特征向量的数值解法．
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R
nn
为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
| 4 | 1, | 4 | 2
或2 6。
且A-1的特征值
1 1 。 6 2
第九章 特征值与特征向量的数值求法
Example1 4 1 0 估计矩阵A 1 0 1 的特征值的范围. 1 1 4
解：A有三个圆盘
D1 :
m i 1
其中每个对角块Aii均为方阵, 则 ( A) ( Aii ).
定理5 若A与B为相似矩阵, 即非奇异P使P 1 AP B, 则 (1) A与B有相同的特征值; (2) 若y是B的特征向量, 则Py是A的特征向量.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理6 （ 1 ）A R nn可对角化， 即非奇异矩阵P使 1 2 P 1 AP n 的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量. (2) 若A R nn有m(m n)个不同的特征值1, 2 ,, m , 则 对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
分析 (1)只要证明 | aii | ri
(1.3)
证 : 设为A的任意一个特征值 , x 0为对应的特征向量 ,即
(I A) x 0。 记x ( x1 , x2 ,.....,xn )T , xi max xk , 则xi 0,
( a ii ) xi
第九章 特征值与特征向量的数值求法
对于矩阵特征值界如何估计？
ri | aij |,( i 1,2,, n), 称为以aii为圆心,以ri为半径的复平面上一个
j 1 ji n
定义3 设 A (aij )nn , 集合 Di { z || z aii | ri , z C }, 其中
第九章 特征值与特征向量的数值求法
(2) 如果A的m个圆盘组成并集S(连通的)且与余下的n-m个 圆盘是分离的(即不相交)，则S内恰包含m个A的特征值。特 别，当S是一个圆盘且与其他的n-1个圆盘是分离的(即S为孤 立圆盘)，则S中精确包含一个特征值。 ——第二圆盘定理
第九章 特征值与特征向量的数值求法
圆盘。 定理8 (盖尔圆盘定理）
(1) 设 A (aij )nn , 则A的每一个特征值必属于某一个圆盘之中,
| aii | ri | aij |, ( i 1,2,, n),
j 1 ji
n
(1.3)
即A的所有特征值都在复平面上n个圆盘(1.3)的并集中。 ——第一圆盘定理
D2 :
-4
0
1
4
| 4 | r1 | a1 j | 1
| | r2 | a2 j | 2
j 1 j 2
n
n
j 1 j 1 n
由上述定理结论可知 A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
D3 :
| 4 | r3 | a3 j | 2
本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及 反幂法(迭代法)，另一类是正交相似变换的方法(变换法)．
第九章 特征值与特征向量的数值求法
4 1 1 4 1 例1 设有 A 试估计A及A-1的特征值的范围。 1 4 1 1 4 n n
解：因为A为对称阵，所以A的特征值均为实数。 由盖尔圆盘定理知A的特征值位于下述某个圆盘中，即
例1： 求 A的特征值及特征向量， 其中
2 1 0 A 1 3 1 0 1 2
第九章 特征值与特征向量的数值求法
解： A 的特征多项式 ( ) det( I A) 3 7 2 14 8 0
求得A的特征值为： A的特征向量 ： 1 1 1 1 1 x 1 ; x 0 ; x 1 2 3 2 2 2 1 1 1 4 3
定义2 设A R nn , 如果A有一个k重特征值 且其对应的 线性无关的特征向量的个数少于k，则称A为亏损矩阵.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论与计算上存在巨大的困难。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理4 设A为分块上三角阵, A11 A A12 A22 A1m A2 m Amm
n 第九章 特征值与特征向量的数值求法 对于任一非零向量x R , 称
为关于向量x的瑞雷( Rayleigh)商.
定理11 设A为n阶实对称阵, 1 n为A的特征值. 则 （ 1 ） （2） ( Ax, x ) 1 n , 对于任何非零向量x R n , ( x, x ) ( Ax, x ) 1 max , xR n ( x, x )
即A (aij ) nn
aij j B , i n n
而A与B有相同的特征值
即可解决上述提出的问题.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
对 上 边 同 一 例 题
若选取D 1
1
1
0.9
作相似变换
1 0 4 1 A A1 D AD 1 0 10 / 9 0.9 0.9 4
9.2 特征值问题的性质与估计
工程实践中有多种振动问题，如桥 梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机 翼的振动，工程实践中有多种振动问题 ，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、 飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和
相关分析可转化为求矩阵特征值与特征
向量的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题。 以下是一些准备知识
第九章 特征值与特征向量的数值求法
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理2 若i (i 1,, n)是矩阵A的特征值, 则 n n (1) i aii tr( A), (称为A的迹) i 1 i 1 (2) det(A) 1 n .
定理3 设A R nn , 则
( AT ) ( A).
第九章 特征值与特征向量的数值求法
第9章
教学目的
矩阵特征值问题的数值解法
1. 掌握求矩阵特征值与特征向量的幂法及反幂法； 2. 掌握求矩阵特征值的QR方法。 教学重点及难点 重点是求矩阵特征值与特征向量的幂法及反
幂法求矩阵特征值的QR方法；
难点是求矩阵特征值的带原点位移的QR方法。
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a11
a21 ( ) det(I A) an1
a12 a 22 an 2
a1n a2 n a nn
n (a11 a22 ann )n1 (1)n | A | 为A的特征多项式.
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
从而1成立．结论1说明Rayleigh商必位于n 和 1 之间．
对于复矩阵 A C n*n , 亦有类似性质 , 但应注意 " A为对称阵 "应改为 " A为 Hermite阵”，即 AH A, 其特征值都是实数，特 征向量也构成正交向量 组.
E 1 :|
4 | 1
E2 :| | 19 / 9
E3 :| 4 | 1.8
第九章 特征值与特征向量的数值求法
显然E1 E2 E3
3
1
5;
19 / 9 2 19 / 9;
5.8 3 2.2
定义4 设A是n阶实对称阵, ( Ax, x ) R( x ) ( x, x )
x 0
（3）
( Ax, x ) n min . xR n ( x, x )
x 0
第九章 特征值与特征向量的数值求法
设x 0，则有表达式 证明 只证1， n x i xi ,
i 1
( x, x) i2 0,
i 1
n
n i ( Ax, x) 1 i2。
机器 求解
第九章 特征值与特征向量的数值求法
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 ( A pI ) x ( p) x； (3) k 是Ak的特征值,即 Ak x k x； 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A1的特征值,即 A1 x x.
由于 x j / xi 1( j i ), 有
j i
j 1, j i
a ij x j。
n
aii aij x j / xi aij .
j i
说明属于Di .定理得证 .
定理的证明，不仅指出了 A 的每一个特征值必属于 A的一个 圆盘中，而且指出，若一个特征向量的第 i 个分量最大，则对 应的特征值一定属于第i个圆盘中．
j 1 j 3
第九章 特征值与特征向量的数值求法
由于D1是孤立的所以， 所以D1内恰包含A的一个实特征值
3 1 5 A的其它两个特征值2，3包含在D2 D3中 .
2 3 D2 D3
第九章 特征值与特征向量的数值求法
问题：如何进一步估计上面两个特征值分别在什么 范围？ 解决途径：若能够改变圆盘的半径，则有可能将圆 盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围. 事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆 盘半径及连通性发生变化.
第九章 特征值与特征向量的数值求法
具体实施 ?
适当选取 i (i 1, 2, , n)作 11 D 1 = 1 n
-1
2 1
aij j 对A作相似变换D AD , i n n
第九章 特征值与特征向量的数值求法